精品解析：贵州铜仁市2025-2026学年高一下学期7月质量监测数学试题

2026年7月质量监测试题 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（ ） A. ，甲的成绩更稳定 B. ，乙的成绩更稳定 C. ，甲的成绩更稳定 D. ，乙的成绩更稳定 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某大型商场计划在7月11日举行户外促销活动．根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为30%，下雨的概率为40%，吹南风或下雨的概率为45%，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 8. 在中，是中点，是线段上一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式能使成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆台的上底面半径，下底面半径，体积为，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的母线长为4 B. 圆台的高为 C. 圆台内切球的半径为2 D. 圆台的侧面积为 11. 甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（ ） A. 在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B. 在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C. 若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D. “旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量为________． 14. 在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 一个箱子中装有30盒钢笔，其中有10盒一等品，15盒二等品，5盒三等品，用分层抽样的方法从中抽取6盒， （1）这6盒钢笔中，一等品、二等品和三等品各有几盒？ （2）从这6盒钢笔中，随机取出2盒，求一等品和二等品各有1盒的概率． 17. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 18. 某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过的部分按5元收费，超出的部分按10元收费．从该市随机调查了10000户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图所示． （1）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的人均用水量； （2）如果规定为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为5元，至少可取多少？请说明理由； （3）若用样本中居民的用水量数据估计全市居民用水量数据，用频率估计概率，则从全市居民中任取3户，求恰有2户的用水量不超过的概率． 19. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到的图象，求的解析式； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月质量监测试题 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】， . 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 以下是甲、乙两名射击运动员的射击成绩频率分布条形图，分别设甲、乙的方差为、，则下列说法正确的是（ ） A. ，甲的成绩更稳定 B. ，乙的成绩更稳定 C. ，甲的成绩更稳定 D. ，乙的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据图中数据的离散程度来比较方差，进而比较稳定性即可． 【详解】由图可知，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中， 所以，乙的成绩更稳定． 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数的性质逐项分析. 【详解】对于A，因为在上单调递减，A错误； 对于B，因为在上单调递减，B错误； 对于C，因为在上单调递减，C错误； 对于D，因为时，在单调递增，D正确. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 6. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理与面面垂直性质进行推断即可． 【详解】由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直， 故“”可以得到“”，充分性得证； 反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行， 不能得到线面垂直，必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 7. 某大型商场计划在7月11日举行户外促销活动．根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为30%，下雨的概率为40%，吹南风或下雨的概率为45%，则既吹南风又下雨的概率为（ ） A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 【答案】C 【解析】 【详解】设吹南风为事件，下雨为事件，则既吹南风又下雨为事件， 由得， ，故. 故既吹南风又下雨的概率为. 8. 在中，是中点，是线段上一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得是中点，则， 因为三点共线，所以， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 解得，则的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则下列不等式能使成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 10. 已知圆台的上底面半径，下底面半径，体积为，则下列结论正确的是（ ） A. 圆台的母线长为4 B. 圆台的高为 C. 圆台内切球的半径为2 D. 圆台的侧面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得圆台的上底面半径，下底面半径，体积为， 设圆台的高为，可得，解得，故B正确， 由勾股定理得圆台的母线长为，故A正确， 若圆台存在内切球，则圆台的母线长刚好等于上下底面半径之和， 则圆台的内切球的半径为，故C错误， 由圆台的侧面积公式得圆台的侧面积为，故D正确. 11. 甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（ ） A. 在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B. 在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C. 若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D. “旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将每个选项的事件合理拆分，再利用互斥事件与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，在第一轮活动中，甲恰好投进一个， 即甲第一球投进第二球不投进或第二球投进第一球不投进， 故其概率为，故A正确； 对于B，在第一轮活动中，“旭日队”晋级， 则甲投进2球乙投进1球或甲投进1球乙投进2球或甲乙全部投进， 而乙恰好投进一球的概率为， 故“旭日队”晋级的概率为，故B错误； 对于C，在第一轮活动中，甲已经投进2球， 则乙至少投进1球“旭日队”即可晋级，故其概率为，故C正确； 对于D，队伍获得晋级，则每轮中至少一人全投进，另一人至少投进一个， 我们分甲全部投进和乙全部投进两种情况进行讨论， 设第轮甲全部投进为事件，甲恰好投进一个为事件， 乙全部投进为事件，乙恰好投进一个为事件，队伍获得晋级为事件， 则， 法一：由题意得 ，故D正确. 法二： ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得在方向上的投影向量为. 14. 在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先作出截面，再根据正六边形的性质，勾股定理，及三角形的面积公式即可求解． 【详解】取中点，因为为中点，故， 又因为，分别是，的中点，所以， 由正方体性质可得，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 延长，与直线交于点，与直线交于点， 连接，交于点，连接，交于点， 则过，，三点的平面截正方体所得截面为正六边形， 记，，的交点为，则， 又正方体的棱长为，且为正六边形， 则， 所以， 所以， 故过，，三点的平面截正方体所得截面面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 16. 一个箱子中装有30盒钢笔，其中有10盒一等品，15盒二等品，5盒三等品，用分层抽样的方法从中抽取6盒， （1）这6盒钢笔中，一等品、二等品和三等品各有几盒？ （2）从这6盒钢笔中，随机取出2盒，求一等品和二等品各有1盒的概率． 【答案】（1）2；3；1 （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得抽样比为，故一等品有盒， 二等品有盒，三等品有盒. 【小问2详解】 将这6支钢笔中的一等品记为，二等品记为，三等品记为， 则样本空间为， 样本容量为15，其中符合题意的事件所包含的样本点为，共6个， 故由古典概型概率公式得所求概率. 17. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）， 在中，，由余弦定理得，解得， ，， 平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理得到，结合勾股定理得到，再结合线面垂直的判定定理求解即可. （2）结合题意作出符合题意的图形，找到二面角的平面角，再利用定义求解正切值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为的中点，连接， 由是等边三角形，可知，且， 平面平面，， 又，且平面平面， 平面，， 故为二面角的平面角. 由（1）知平面平面， ， ， 故所求二面角的正切值为. 18. 某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过的部分按5元收费，超出的部分按10元收费．从该市随机调查了10000户居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图如图所示． （1）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民该月的人均用水量； （2）如果规定为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为5元，至少可取多少？请说明理由； （3）若用样本中居民的用水量数据估计全市居民用水量数据，用频率估计概率，则从全市居民中任取3户，求恰有2户的用水量不超过的概率． 【答案】（1）2.4() （2）用水量不超过2的居民频率为0.45，用水量不超过3的频率为0.85， 又为整数，故至少定为3时，可使以上居民在该月的用水价格为5元· （3）0.441 【解析】 【小问1详解】 由题意得平均用水量为 ()· 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，居民用水量不超过的频率为0.7， 分别记被抽取的3户居民用水量不超过为事件， 恰有户的用水量不超过为事件， 则. 19. 已知函数在一个周期内的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到的图象，求的解析式； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】（1） （2） （3）证明：函数，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， ， 根据零点存在定理，使得， 在上有且只有一个零点. ②当时，单调递增，单调递减， 所以， ， 在上不存在零点； ③当时，单调递增，， 在上不存在零点； 综上所述：有且只有一个零点，且. ， ，， 又在上单调递减， ， . 【解析】 【分析】（1）根据图像可直接求出，根据周期以及点的坐标，即可求得解析式； （2）根据图像变换规律得到解析式； （3）分，，三段讨论函数的单调性，分析函数是否存在零点，判断零点的取值范围，根据零点方程得到 ，根据函数的单调性进行证明. 【小问1详解】 由及函数图象知，， 又，， 由函数图象可知点在函数图象上，则， 又，， . 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位后得到函数为， 图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到的函数为， 的解析式为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $