精品解析：贵州省铜仁市2024-2025学年高一下学期7月教学质量监测数学试卷

铜仁市2025年7月高一年级教学质量监测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合B，然后由交集的概念即可判断. 【详解】由题得，又，所以． 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法公式计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：A 3. 如图，在正方体中，下列判断正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线直线 C. 直线平面 D. 直线与直线是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面位置关系判断各项的正误. 【详解】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误； 假设平面，即平面， 因为平面，所以， 在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误； 由正方体性质可知，而直线与直线相交， 所以直线与直线不平行，故B错误； 因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确. 故选：D 4. 天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.3 C. 0.25 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共5组随机数，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到： 907 925  683 257 537共5组随机数， 所以所求概率为. 故选：C 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算得，再利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以， 又当时，在上单调递增， 所以，即. 故选：D 7. 已知事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. A与互对立事件 B. 若，则 C. 若A与互斥，则 D. 若A与相互独立，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件、互斥事件、对立事件的概念计算判断即可. 【详解】对A，由，但并未表明事件是否为互斥事件，所以无法判断A与互为对立事件，故错误； 对B，若，则，故正确； 对C，若A与互斥，则，故错误； 对D，若A与相互独立，则，故错误. 故选：B 8. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 甲：平均数为3，中位数为2 B. 乙：极差为3，众数为3 C. 丙：平均数为2，方差为2.4 D. 丁：众数为2，方差为2.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C． 【详解】对于A，甲5个点数分别是，平均数为3，中位数为2，A可出现； 对于B，乙的5个点数分别是，极差为3，众数为3，B可出现； 对于D，丁的5个点数分别是，众数为2，平均数为3， 其方差为，D可出现； 对于C，丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，丙不会出现点数6. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入求值判断A，求出判断BC，求出判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误； 当时，，故D正确. 故选：ABD 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的实部是1，则点的集合所构成的图形是直线 D. 若，则点集合所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A举例说明；对B，共轭复数的概念，对CD，利用复数的几何意义判断即可. 【详解】对A，，满足，故错误； 对B，若，则，正确； 对C，若的实部是1，则点的集合所构成的图形是直线，正确； 对D，若，则点的集合所构成的图形的面积为，故正确. 故选：BCD 11. 如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（ ） A. B. 与所成角为定值 C. 为定值 D. 存在点，使得直线与平面所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】令，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，判断A；利用余弦定理计算判断C；确定所成角，计算判断B；确定直线与平面所成角，计算判断D. 【详解】在正方形中，令，则， ，如图，连接，， 显然，而平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面， 于是，，故选项A正确； ，， 因为， 所以为定值，故C正确； 显然，即有，因为，则是AC与MN所成的角， ，当且仅当时取等号， 所以与所成角为定值，故B错误； ，平面平面，平面平面， 平面，则平面，所以是与平面所成的角， 从而，当时，， 化简得，方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故答案为：. 13. 函数的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】， ， ，当且仅当，即时取等号， 当时, 有最小值为, 故答案为：. 14. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出正三棱台的上下底面的面积，代入棱台体积公式求解第一空，利用正三棱台的几何性质计算出球心到下底面的距离，可求出外接球的半径，结合球体表面积公式可得第二空. 【详解】因为正三棱台的上下底面的边长分别为和， 所以上下底面的面积分别为，， 又正三棱台的高为1，故正三棱台的体积为； 如下图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为、， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心在直线上， 正的外接圆半径为， 正的外接圆半径为， 设，若球心在线段上，则，， 设外接球的半径为，则， 即，解得，不合乎题意； 故球心在射线上，则， 同理 由，即，解得. 所以，故该正三棱台的外接球表面积为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求； （2）当时，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数值计算； （2）利用整体法结合正弦函数的性质计算即可. 【小问1详解】 ，由，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以， 所以，故值域为 16. 某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． （1）求的值； （2）若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，列式可求得实数的值； （2）根据频率分布直方图求出跳绳良好的频率，即可得解. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为， 可得，解得. 【小问2详解】 可知高一学生1分钟跳绳成绩良好包括两组， 故高一学生1分钟跳绳成绩良好的频率为， 因此该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数约为（人）. 17. 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）若，求第二次取到红球的概率； （2）若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. 【小问2详解】 两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面内的两条相交直线分别平行于平面，然后根据平面与平面平行的判定定理进行证明； （2）过点A作交BF于点G，利用三角形全等证明或其补角即为平面与平面BMF所成角的平面角，等面积法求出AG，再利用余弦定理求出，即可求出； （3）取AM的中点为H，连接BH、FH，首先证明平面ABM，然后利用等体积法求点M到平面ABF的距离. 【小问1详解】 因为且为的中点，所以, 因为，所以四边形BCDM是平行四边形，则, 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE, 同理可得平面CDE， 又因为,平面BMF，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面与平面所成角即平面与平面BMF所成角，过点A作交BF于点G，连接MG， 易知，所以，则或其补角即为平面与平面BMF所成角的平面角， 在中由余弦定理得， 则, 因为，解得， 在中，由余弦定理得, 所以平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 取AM的中点为H，连接BH、FH， 因为△AFM为等腰三角形、△ABM为等边三角形，所以， 所以,， 因为，所以，， 因为，，，平面ABM， 所以平面ABM， 设点到平面的距离为h， ， 所以点到平面的距离为. 19. 已知分别是的内角的对边，且． （1）求； （2）若，是内一点，过作垂线，垂足分别为． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如三维分式型柯西不等式：均为正实数，，当且仅当时等号成立．据此求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）结合已知利用正弦定理得，化简得，根据角的范围求解即可. （2）（ⅰ）利用余弦定理及基本不等式得，结合解不等式即可得解. （ⅱ）利用面积分割得，利用三维分式型柯西不等式得，结合得，令，则，利用二次函数性质及不等式的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又，则，可得， 即， 又，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）在中，，由（1）知. 由余弦定理，即， 由得，所以， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为； （ⅱ）， 又，，， 因为， 所以， 由三维分式型柯西不等式有： ， 当且仅当，即时等号成立. 由余弦定理，得：， 所以，即， 则， 令，则，， 所以， 令，则，所以， 在上单调递减，所以， 则，当，即时，取得最小值， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 铜仁市2025年7月高一年级教学质量监测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方体中，下列判断正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线直线 C. 直线平面 D. 直线与直线异面直线 4. 天气预报预测未来三天每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用计算机产生出之间的整数随机数，指定0，1，2，3表示不下雨，4，5，6，7，8，9表示下雨．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计这三天中恰有两天下雨的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.3 C. 0.25 D. 0.2 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. A与互为对立事件 B. 若，则 C. 若A与互斥，则 D. 若A与相互独立，则 8. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是（ ） A. 甲：平均数为3，中位数为2 B. 乙：极差为3，众数为3 C. 丙：平均数为2，方差为2.4 D. 丁：众数为2，方差为2.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A B. C. D. 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的实部是1，则点的集合所构成的图形是直线 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 11. 如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（ ） A. B. 与所成角定值 C. 为定值 D. 存在点，使得直线与平面所成角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则实数_____. 13. 函数的最小值为_______. 14. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为______；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求； （2）当时，求的值域． 16. 某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． （1）求的值； （2）若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数． 17. 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）若，求第二次取到红球的概率； （2）若取出的2个球都是红球的概率为，求． 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知分别是的内角的对边，且． （1）求； （2）若，是内一点，过作垂线，垂足分别为． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如三维分式型柯西不等式：均为正实数，，当且仅当时等号成立．据此求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$