一元二次不等式的解法课时作业14----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦一元二次不等式解法，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次不等式基本解法（如选择题1-3）|直接考查解法步骤，强化符号意识与运算能力| |能力提升|含参数/绝对值不等式及集合结合（如选择题4-10、填空题11-16）|引入参数讨论与绝对值转化，培养逻辑推理与分类讨论思维| |综合应用|综合问题与实际情境（如解答题18-21）|结合函数、不等式证明及收益问题，发展数学建模与应用意识|

课时作业14　一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式x(2－x)>0的解集为(　　) A．{x|x>0}　　　　　　 B．{x|x<2} C．{x|x>2或x<0} D．{x|0<x<2} 2．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4<x<3}　　　　　　 B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 3．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　) A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} 4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A. B．{x|x>a} C. D. 5．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　 ) A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2，或x>2} C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1，或x>1} 6．已知a<0，关于x的一元二次不等式ax2－(2＋a)x＋2>0的解集为(　　) A．{x|x<，或x>1} B．{x|<x<1} C．{x|x<1，或x>} D．{x|1<x<} 7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A. B. C. D. 8．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－4<x<1}，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为(　　) A. B. C．{x|－1<x<4} D．{x|x<－2，或x>1} 9．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　) A．(2,3) B. C.∪ D．(－3，－2) 10．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．a＋b＋c>0 2、 填空题 11．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________． 12.不等式≥1的解集为________． 13.对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________． 14.若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为 . 15.若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是 . 16.不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝ ，c＝ . 17.关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 18．求下列不等式的解集． (1)－2x2＋x＋<0； (2)3x2＋5≤3x； (3)9x2－6x＋1>0. 19．已知y＝x2－x＋1. (1)当a＝时，解不等式y≤0； (2)若a>0，解关于x的不等式y≤0. 20．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 21．某小商品在2025年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2026年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件． (1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式； (2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2026年的收益比2025年至少增长20%? 课时作业14　一元二次不等式的解法 （答案） 一、选择题 1．不等式x(2－x)>0的解集为(　　) A．{x|x>0}　　　　　　 B．{x|x<2} C．{x|x>2或x<0} D．{x|0<x<2} 解析：选D　原不等式化为x(x－2)<0，故0<x<2. 2．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4<x<3}　　　　　　 B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 解析：选C　由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C. 3．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　) A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} 解析：选B　由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0， 即(x－5)(x＋1)>0，解得x>5或x<－1， 故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}． 4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A. B．{x|x>a} C. D. 解析：选A　∵a<－1，∴a(x－a)·<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a. 5．不等式x2－|x|－2<0的解集是(　　) A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2，或x>2} C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1，或x>1} 解析：令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2<0，即(t－2)(t＋1)<0.∵t＝|x|≥0.∴t－2<0.∴t<2. ∴|x|<2，得－2<x<2.故选A. 6．已知a<0，关于x的一元二次不等式ax2－(2＋a)x＋2>0的解集为(　　) A．{x|x<，或x>1} B．{x|<x<1} C．{x|x<1，或x>} D．{x|1<x<} 解析：ax2－(2＋a)x＋2>0等价于(ax－2)(x－1)>0，∵a<0，∴(x－1)<0，解得<x<1，故原不等式的解集为.故选B. 7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A. B. C. D. 解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 8．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－4<x<1}，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为(　　) A. B. C．{x|－1<x<4} D．{x|x<－2，或x>1} 解析：由题可知，ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，分别为－4，1.根据根与系数的关系得即 因此，b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0 可化为3ax2－3a＋ax＋3a－4a>0， ∴3x2＋x－4<0，解得－<x<1，故选A. 9．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　) A．(2,3) B. C.∪ D．(－3，－2) 解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为，，∴－＝＋，＝，∴a＝－6，b＝－5，∴x2－bx－a<0⇒x2＋5x＋6<0，∴(x＋2)(x＋3)<0，∴不等式的解集为(－3，－2)．故选D. 10．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．a＋b＋c>0 解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象可知当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故D正确，故选BCD. 3、 填空题 11．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________． 解析：因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}， N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以MN. 答案：M N 12.不等式≥1的解集为________． 解析：≥1⇔－1≥0⇔≥0⇔≥0⇔≤0⇔⇔－2<x≤－. 答案： 13.对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________． 解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)． 答案：[2,8)． 14.若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为 . 解析：因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}． 答案：{x|3a2≤x≤3a}． 15.若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是 . 解析：依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1<4＋2a，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3. 答案：－1<a<3. 16.不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝ ，c＝ . 解析：由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为，， 根据根与系数的关系得解得 答案：a＝－6，c＝－1. 17.关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围是 . 解析：关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可转化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，不等式无解； 当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a≤5； 当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1,0，则－3≤a<－2. 故a的取值范围是－3≤a<－2或4<a≤5. 答案：－3≤a<－2或4<a≤5. 三、解答题 18．求下列不等式的解集． (1)－2x2＋x＋<0； (2)3x2＋5≤3x； (3)9x2－6x＋1>0. 解：(1)原不等式可以化为2x2－x－>0.∵方程2x2－x－＝0的解是：x1＝，x2＝， ∴原不等式的解集是. (2)原不等式变形为3x2－3x＋5≤0. ∵Δ<0，∴方程3x2－3x＋5＝0无解． ∴不等式3x2－3x＋5≤0的解集是∅. ∴原不等式的解集是∅. (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝，∴不等式9x2－6x＋1>0的解集为. 19．已知y＝x2－x＋1. (1)当a＝时，解不等式y≤0； (2)若a>0，解关于x的不等式y≤0. 解：(1)当a＝时，不等式为y＝x2－x＋1≤0， ∴(x－2)≤0， ∴不等式的解集为． (2)∵y＝(x－a)≤0， 当0<a<1时，有>a， ∴不等式的解集为； 当a>1时，有<a， ∴不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}． 20．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：令M＝{x|2x2－3x－2≥0} ＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝， N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0} ＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0} ＝{x|x≤a－2，或x≥a}． 由已知p是q的充分不必要条件得，M是N的真子集， 所以或解得≤a<2或<a≤2，所以≤a≤2， 即所求a的取值范围是. 21．某小商品在2025年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2026年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件． (1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式； (2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2026年的收益比2025年至少增长20%? 解：(1)由题意知，该商品价格下调后为x元/件，则年销量增加到件，故经销商的年收益y＝(x－3)，5.5≤x≤7.5. (2)当k＝2a时，依题意有(x－3)≥(8－3)a×(1＋20%)，化简得≥0， 解得x≥6或4＜x≤5. 又5.5≤x≤7.5，故6≤x≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2026年的收益比2025年至少增长20%. 学科网（北京）股份有限公司 $