黑龙江哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷聚焦必修二核心内容，以复数虚部、立体几何线面关系、统计方差等基础考点为主体，融入八卦正八边形文化情境题，通过频率分布直方图分析等现实问题，体现数学眼光观察现实、数学思维推理的素养，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/52分|单选考复数、全面调查、中位数等；多选含空间向量命题判断、八卦正八边形向量运算|基础巩固与文化传承结合，如第10题以八卦图形考查向量关系| |填空题|3题/15分|古典概型（1,2,5组成三位数）、解三角形、数据平均数|聚焦运算能力，如第11题通过排列组合考概率| |解答题|3题/33分|向量运算、频率分布直方图（知识竞赛成绩分析）、三棱锥线面证明与二面角|梯度设计，从基础运算（题14）到综合应用（题16空间向量求二面角），体现数据意识与空间观念|

出题人：韩嘉 审题人：高一备课组 2025-2026学年度下学期高一数学期末考试 试 卷 (考试范围：必修二；考试时间：60分钟，试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的虚部为（ ） A． B． C． D．2 2．下列情况适合用全面调查的是（    ） A．了解一批玉米种子的发芽率 B．了解某城市居民的食品消费结构 C．调查一个县各村的粮食播种面积 D．调查一条河的水质 3．样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（    ） A．7 B．6 C．4 D．2 4．已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．5，3 D．4，12 5．已知两条相交直线，和三个不同的平面，，，则下列条件成立推不出的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若，，， 6．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 7．设向量，，且，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或3 8．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ）    A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分. 把答案填在题中的横线上. 11．用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______． 12．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则______. 13．一组5个数据中，前4个数据的平均数是20，全部5个数据的平均数是19，则第5个数据是______． 四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14．已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 15．为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将其整理后分成组，各组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并画出如图所示的频率分布直方图. (1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表； (2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线. 16．如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．   (1)证明：平面． (2)求二面角的余弦值． 数学期末考试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C C D C D AC ACD 11．/0.5 12．或 13．15 14．(1)；(2)；(3) 15．（1）由，得 这名参赛学生的平均成绩约分，故估计所有参赛学生的平均成绩为分 （2）获得表彰的学生人数的频率为， 设获得表彰的学生的最低分数线为，由分数在区间的频率为，可知， 由，得， 故估计获得表彰的学生的最低分数线为分 16．(1)分别为的中点， 平面， 平面， 平面. (2)以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面AEF的法向量为，可得，故， 令，则解得，，得到平面的一个法向量为 易得平面的一个法向量为由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 第 2 页 共 2 页 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $