精品解析：广东汕尾市陆丰市2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测八年级数学

2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 八年级 数学 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B：被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项C：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 对选项D：被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，3，4 D. 4，5，6 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形，不符合题意． 选项B，最长边为，计算得，，，能作为直角三角形三边长，符合题意． 选项C，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 选项D，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 3. 函数 中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，建立不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 4. 某校八年级10名学生的体育测试成绩（单位：分）如下：28，30，29，28，27，30，29，28，30，30．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 30，29 B. 28，29 C. 30，28 D. 28，28 【答案】A 【解析】 【分析】先根据众数定义找出出现次数最多的数得到众数，再将数据排序，根据中位数定义计算中位数即可． 【详解】解：首先统计各成绩出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次， ∵出现次数最多， ∴众数为； 将这组数据从小到大排序得：， ∵数据共个，为偶数个，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，第个数据为，第个数据为， ∴中位数为； 因此这组数据的众数和中位数分别是和． 5. 若正比例函数y=kx的图象经过点(-2，6)，则k的值为（ ） A. -3 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点(-2，6)代入求解即可． 【详解】把点(-2，6)代入，得， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征．掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 6. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法即可解题，根据判定定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴A是假命题，不符合题意. ∵对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. ∴B是假命题，不符合题意. ∵根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴C是真命题，符合题意. ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形， ∴D是假命题，不符合题意. 故选：C. 8. 王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将王大爷的运动过程分为三个阶段：去公园、在公园休息、回家，分别分析各阶段离家距离随时间的变化情况，确定关键的时间节点和图像走势即可． 【详解】解：王大爷从家出发走到离家的公园， 第一阶段图像为从上升到的线段； ∵在公园休息了， ∴第二阶段离家距离不变，时间从持续到，图像为平行于轴的线段； ∵用返回家中， ∴第三阶段离家距离从减小到，时间从持续到，图像为下降的线段； 观察各选项，只有D选项符合上述特征． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，再利用“直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”和勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直轴，垂足为点， ， ∵四边形是菱形，顶点的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 10. 如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，过作于，延长线交于，根据矩形的性质和等面积法可算得，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， 作点关于直线的对称点，可得，最小值为的长度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于，延长线交于， ∵四边形为矩形，，， ∴矩形面积， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴点的轨迹是平行于、且到距离为2的定直线， 以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， ∴，，点所在直线为， 作点关于直线的对称点， ∴，最小值为的长度，  由勾股定理： ， ∴的最小值为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 我国气候复杂多样，内陆地区气候大陆性强，气温年较差、日较差大，降水稀少且集中，气候干旱，“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国西北地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是_________． 【答案】时间 【解析】 【分析】根据函数中自变量的定义，判断变化过程中主动变化的量即可得到结果． 【详解】解：本题描述的变化过程中，气温随时间的变化而变化，对于时间的每一个确定值，都有唯一确定的气温值与之对应，因此自变量是时间． 12. 已知一次函数（，），则该函数的图像不经过第_________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据已知的和的符号，结合一次函数的性质判断函数图像经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：在一次函数中，， 函数图像经过第二，四象限， 又， 函数图像与轴交于正半轴，图像又经过第一象限． 一次函数的图像经过第一，二，四象限，即该函数图像不经过第三象限． 13. 如图，在中，，，，且，分别是，的中点，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知条件运用勾股定理求得的长，再根据三角形中位线定理得，可得答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 14. 某中学为了选拔一名运动员参加区运会100m短跑比赛，有甲、乙、丙3名运动员备选，他们100m短跑的平均成绩和方差如下表所示 甲 乙 丙 12.83秒 12.85秒 12.83秒 s2 2.1 1.1 1.1 如果要选择一名成续优秀且稳定的人去参赛，应派_______去． 【答案】丙 【解析】 【分析】比较甲，乙，丙的平均成绩可得成绩好的，比较甲，乙，丙的方差可得成绩比较稳定的，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：＞ 所以丙，甲的成绩比乙好， 又＞ 所以乙，丙的成绩比甲稳定， 所以，从平均成绩与方差结合来看，应派丙参赛， 故答案为：丙. 【点睛】本题考查的是利用平均数与方差作决策，掌握平均数与方差的含义是解题的关键. 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，由轴，轴，，得四边形是矩形，再由点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 17. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，是对角线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，． 又， ，即． ，， ∴四边形的对角线互相平分． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定证明即可． 【详解】略 18. 截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动已在中国空间站开展多场．中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生的探究热情．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧的长度与所挂物体的质量的对应值（在弹簧弹性范围内）． 所挂物体的质量/ 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度/ 15 18 21 24 27 30 （1）由表可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长_________； （2）设所挂物体的质量为，弹簧的长度为，则与之间的关系式为_________，自变量的取值范围是_________； （3）当弹簧的长度为时，求所挂物体的质量． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格信息即可得出答案； （2）根据表格得出不挂物体时，弹簧的长度为，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加，得出伸长量与增加的质量的关系，即可解答； （3）将代入，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由表可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长. 【小问2详解】 解：从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为 ，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加， ∵， ∴当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长， ∴y与x之间的关系式为． ∵弹簧最大能够承受的重物， ∴自变量x的取值范围是. 【小问3详解】 解：将代入， 得， 解得， 当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲、乙两校参加县区教育局举办的学生数学竞赛，且两校的参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在扇形统计图中，“7分”所在扇形的圆心角度数为_________； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数，并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； （4）如果该县教育局要组织8人的代表队参加市级团体数学竞赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析一下，应选哪所学校． 【答案】（1）144 （2） （3）平均分分，中位数为分；由于两校的平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校成绩的中位数，所以从平均分和中位数的角度分析，乙校成绩较好． （4）因为选名学生参加市级团体数学竞赛，甲校得10分的有人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校． 【解析】 【分析】（1）根据圆的圆心角为，用总的角度减去其他部分的角度求解； （2）根据“总数某部分的数量该部分的占比”求得总数，用总人数减去其他部分的人数得到8分的人数，再补全条形统计图即可； （3）套用平均数和中位数的公式，根据中位数的定义确定答案； （4）根据统计图直接得出答案． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图得； 【小问2详解】 解：根据条形统计图得，分的学生为人， 根据扇形统计图，分的学生在样本中的占比为， ∴总人数为（人）， 分的人数为（人）； 条形统计图见答案； 【小问3详解】 解：∵两校参赛人数一样， ∴甲校参赛人数为人， 则9分的人数为（人）， ∴甲校的平均分， 甲校的成绩从小到大排列第10个成绩和第11个成绩均为7， ∴甲校成绩的中位数为， ∵两校的平均数相等，甲校的中位数小于乙校的中位数，说明乙校分数高的学生更多， ∴乙校的成绩更好； 【小问4详解】 解：∵选名学生参加市级团体数学竞赛，甲校得10分的有人，而乙校得10分的只有5人， ∴应选甲校． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【小问1详解】 解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 21. 【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 （1）计算：； （2）猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； （3）设，则_________． 【答案】（1） （2） 证明： ， ∴猜想成立； （3）2027 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可； （2）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可得到猜想，然后，再进行证明即可； （3）根据阅读材料发现的规律，通过分母有理化先化简，得到的值，再将的值代入代数式进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据阅读材料规律，得 ， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师让同学们探究“中点四边形”的性质． 【操作发现】 如图1，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当原四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． 【拓展探究】 如图2，在矩形中，，，，，，分别是，，，的中点． （3）求四边形的面积． （4）若点是矩形内部一动点，连接，，，，则，，，的数量关系是_________． 【答案】（1）证明：如图，连接，． 在中，，分别是，的中点， ，． 在中，，分别是，的中点， ，． ，． ∴四边形是平行四边形． （2）解：当原四边形对角线相等时，四边形是菱形．理由如下： 由（1）知，． ， ． ∵四边形是平行四边形, ∴四边形是菱形． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线的性质与平行四边形的判定证明即可； （2）根据菱形的判定推导即可； （3）证明，互相垂直平分，进一步求解即可； （4）过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，根据题意，设，则由勾股定理，分别求得，可得 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，交点为，连接． ∵矩形， ∴，，，，， ，，，分别是，，，的中点， ∴，， ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴，， 结合（1）（2）可得：四边形是菱形， ∴，互相垂直平分． ∴，． ∴四边形的面积． 【小问4详解】 解：过点向矩形的四边分别作垂线，垂足分别为，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设， 则， ∴. 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，与直线交于第一象限的点，且点的纵坐标为． （1）求直线对应的函数解析式； （2）点为直线上的一点，且点在第二象限，若的面积与的面积相等，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为线段上的一点，过点作轴的平行线，与直线、直线分别交于点，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）已知直线过、两点，用待定系数法设，代入两点坐标解出、即可得到直线的解析式． （2）先把代入直线解析式求出点坐标，再设点坐标为．将的面积拆成与的面积之和，以为公共底，高分别为和，从而列方程求出，得到． （3）由、分别求出直线、的解析式．设点的横坐标为，由于轴，点、的横坐标也为，分别代入直线、得到纵坐标．因为点在线段上移动时，、两点相对轴的位置会改变，所以需要分点在线段上（）和点在线段上（）两种情况表示、的长度，再由列方程求解，进而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线对应的函数解析式为． 把点，分别代入， 得，解得， 直线对应的函数解析式为． 【小问2详解】 解：点的纵坐标为， 把代入，得，解得． 点的坐标为． 设点的坐标为． 的面积与的面积相等， ． 解得． 点的坐标为． 【小问3详解】 解：由点可得直线对应的函数解析式为． 由点可得直线对应的函数解析式为． 设点的坐标为． 轴， 点的坐标为，点的坐标为． ①如图，当点在线段上时． ， ． 解得． 点的坐标为． ②如图，当点在线段上时， ， ． 解得． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末教学质量监测 八年级 数学 本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和班级填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，3，4 D. 4，5，6 3. 函数 中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某校八年级10名学生的体育测试成绩（单位：分）如下：28，30，29，28，27，30，29，28，30，30．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 30，29 B. 28，29 C. 30，28 D. 28，28 5. 若正比例函数y=kx的图象经过点(-2，6)，则k的值为（ ） A. -3 B. 3 C. D. 6. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 王大爷饭后出去散步，从家出发，走到离家的公园，在公园休息了后，用返回家中．下面各图中，表示王大爷离家距离y（单位：m）与离家时间x（单位：）之间的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（ ） A. B. C. 7 D. 8 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 我国气候复杂多样，内陆地区气候大陆性强，气温年较差、日较差大，降水稀少且集中，气候干旱，“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国西北地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中自变量是_________． 12. 已知一次函数（，），则该函数的图像不经过第_________象限． 13. 如图，在中，，，，且，分别是，的中点，则_________． 14. 某中学为了选拔一名运动员参加区运会100m短跑比赛，有甲、乙、丙3名运动员备选，他们100m短跑的平均成绩和方差如下表所示 甲 乙 丙 12.83秒 12.85秒 12.83秒 s2 2.1 1.1 1.1 如果要选择一名成续优秀且稳定的人去参赛，应派_______去． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，是对角线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 18. 截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动已在中国空间站开展多场．中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生的探究热情．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧的长度与所挂物体的质量的对应值（在弹簧弹性范围内）． 所挂物体的质量/ 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度/ 15 18 21 24 27 30 （1）由表可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长_________； （2）设所挂物体的质量为，弹簧的长度为，则与之间的关系式为_________，自变量的取值范围是_________； （3）当弹簧的长度为时，求所挂物体的质量． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 甲、乙两校参加县区教育局举办的学生数学竞赛，且两校的参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在扇形统计图中，“7分”所在扇形的圆心角度数为_________； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数，并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好； （4）如果该县教育局要组织8人的代表队参加市级团体数学竞赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析一下，应选哪所学校． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 21. 【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 （1）计算：； （2）猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； （3）设，则_________． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师让同学们探究“中点四边形”的性质． 【操作发现】 如图1，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当原四边形满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由． 【拓展探究】 如图2，在矩形中，，，，，，分别是，，，的中点． （3）求四边形的面积． （4）若点是矩形内部一动点，连接，，，，则，，，的数量关系是_________． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，与直线交于第一象限的点，且点的纵坐标为． （1）求直线对应的函数解析式； （2）点为直线上的一点，且点在第二象限，若的面积与的面积相等，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点为线段上的一点，过点作轴的平行线，与直线、直线分别交于点，，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $