广东省揭阳市榕城区2025-2026学年第二学期期末八年级数学试卷

2025−2026学年度第二学期期终质检 八年级数学科目试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．在下列数学式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．在下列等式中，从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ） A．减少的食盐量 B．加入的食盐量 C．蒸发掉的水量 D．增加的水量 6．若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，交于点，，，．则的长是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则分式的值为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，为上一点，，连接，过点作于点，为的中点，连接，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．因式分解：________． 12．若分式的值为，则的值为________． 13．小瑜在公园路边发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点，测量出，则可得出正多边形的边数________． 14．已知不等式的解集是，则一次函数的图象一定经过________象限． 15．如图，在中，，，，连接，、分别是、上的点，连接、，若，则的最小值为________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．） 16．解不等式组，并写出满足条件的所有整数的值． 17．先化简：，再在中选取一个你喜欢的整数的值代入求值． 18．我们知道，在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？ 已知：如图，在中，， 求证：． （1）尺规作图：作的平分线交于点，在上截取，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得 ， 则 解得， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 20．如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）请你探索和的关系，并说明理由． 21．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22．2025、2026年连续两年春节联欢晚会的人形机器人舞蹈表演节目爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人在网上进行预约销售，每个B款人形机器人的售价比每个A款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10个． （1）求该公司A、B两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知A款人形机器人每个的成本是12万元，B款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 23．【问题初探】线段的中点在复杂几何题的证明中往往是一个非常重要的条件，为了让学生能感受到它的重要性，数学刘老师给出了如下问题： （1）如图，在平行四边形中，，且，交于点，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段，若，求和的长． 小红同学在求的时候，考虑到点是的中点，猜想会不会是的中位线？请你利用小红的提示，解决这个问题． 【类比拓展】刘老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，提出了下面问题，请你解答． （2）如图，在中，平分，过点作延长线的垂线，垂足为点，，求证：． 【学以致用】 （3）如图，在中，，点在上，，点，分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求证：． 2025-2026学年度第二学期期终质检 八年级数学科目试卷参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C B B B C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 11． 12．5 13．5 14．一、二、四 15． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分。） 16．解：解不等式①可得：，…2分 解不等式②可得：，…4分 ∴不等式组的解集为：…6分 ∴满足条件的整数x的值是．…7分 17．解：原式， ， ， ，…4分 ， ， 取0， 原式．……7分 18．解：（1）解：如解图，即为所求． …3分 （2）证明：平分， ， 又， ， ， ， …7分 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分。） 19．解：（1）设另一个因式为，得 ， 则 解得： ∴另一个因式为的值为．…4分 （2）设另一个因式为，得 ， 则 解得： ∴另一个因式为的值为．……9分 20．（1）证明：为中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ． 又， 是的中位线， ． 综上所述，，且．…9分 21．解：（1）设， ；……3分 （2）；…5分 （3）原式 ．…9分 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。） 22．解：（1）设每个A款人形机器人在网上的售价是m万元， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：该公司A款人形机器人在网上每个的售价是15万元，B款人形机器人在网上每个的售价是12万元；…6分 （2）设购进A款人形机器人x个，总利润为w， ， ， ， ， 随x的增大而增大， 当时，利润最大，（万元）． 答：购进A款人形机器人40个，购进B款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元．…13分 23．（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 点E是的中点， ， 是的中位线， ， ， ， ， ；4分 （2）证明：如图，延长交的延长线于点G， 平分， ， 又， ， 取的中点F，连接， 则有，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；…9分 （3）证明：如图，连接，取中点H，连接， 分别为和中点， 和分别为和的中位线， 且且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ．…14分 学科网（北京）股份有限公司 $