第05讲用空间向量研究距离、夹角问题讲义----2026年新高二数学暑假衔接班

第05讲用空间向量研究距离、夹角 问题 目录 知识点1空间距离及向量求法…1 知识点2空间角及向量求法 … 2 题型一 点到直线的距离 3 题型二点到平面及异面直线的距离. .5 题型三 异面直线所成的夹角 .6 题型四 直线与平面所成的夹角.… .8 题型五 平面与平面所成的夹角.10 【提升】题型六 已知空间角求其他量.13 知识讲解 知识点1空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设u为直线I的单位方向向量，A∈1，P是直线I外一点， 设AP=a,向量AP在直线1上的投影向量为A0=(aW)4, 则P0=VAPP-a0=a-(a-dj 2.点到平面的距离 1 设已知平面a的法向量为n,A∈，P是直线a外一点， n AP.n 向量40是向量D在平面上的投影向量，则PQ=P AP n 知识点2空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为0，两直线的方向向量分别为.-，则c0s00sa,) u,V 注意：①范围为 ②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 2.用向量运算求直线与平面所成的角 设直线1与平面x所成的角为8,1的方向向量为u,平面a的法向量为n,则 sin-os u·n 注意：①范围为 ②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的 余角。 3.用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面B相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角.设平 面a与平面B的夹角为8，两平面，B的法向量分别为nn2,则 cos0=cos() m 'n 注意：①范围为 0,5 ②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角. 2 题型训练 题型一 点到直线的距离 1.在空间直角坐标系中，己知4AL,山，-1)，B(L,2,2),C(-3,4,2),则点A到直线BC的距离为 () 75 V39 3W5 A.5 B.10 C.2 D.2 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=3, BC=2 E是P8上-点且BE=2EP 求点E到直线PD的距离. E D 3. 如图，已知正三棱柱1BC-4BC的所有棱长均为1，动点P在线段M8上，则△P8C百积 的最小值为 A P 3 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD1平面ABCD,PD=AD=2,且点 E,F分别为AB和PD中点 D D (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离 4 题型二点到平面及异面直线的距离 5.在空间直角坐标系中，已知点 ,),8(0,20,D(-1,-15),若点D到平面4BC的距离为 V1 ,则点C的坐标可以是() A.(2,3-) B.(2,-3,) c.（-23,) D.(23,1) 6.正方体 BCD-4BCD的技长为2，EF分别为40，B8的中点，0为底面4BCD的中心 则三棱锥O-EFC的体积是() V30 5 3 5 A.6 B.6 C.4 D.2 7. 己知正方体 BCD-ABGD的技长为1，E为DG中点，求下列问题： ①求异面直线D8与45的距离： B ABE (2)求到平面 的距离； DC」 (3)求到平面 4BE的距离： (④求平面4DB与平DCB 与平面 的距离 5 题型三异面直线所成的夹角 8.如图，已知棱长为2的正方体 BCD-ABCD,E,F,G分别为4B,CD,MD 的中点， AG 则异面直线 与EF 所成角为() D C A B F D G A E B A.6 B C.3 D.2 BCD-ABGD中，E,F分别为 BB DD (多选)如图，在棱长为2的正方体 的中点，则 () D C A B 5 A.OC⊥OF B.CE与OF所成角的余弦值为5 A,E,C,F 四点共面 D △AE 的面积为2v6 6 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，且△ABD是 等边三角形，AB=2 (I)求证：BD⊥平面PAC: (2)若△PAB是等腰三角形，求异面直线PB与AC所成角的余弦值. B 7 题型四】 直线与平面所成的夹角 11.如图，在正方体 BCD-4BCD中，E为BB的中点. B D BC/ ADE (1)求证： 平面 CG与平面 ADE (2)求直线 所成角的正弦值. 12.在三棱柱 BC-ABC中，平面 B8A+平面4BC,aMBC 正三角形， B D、E分别为BC和4C； 的中点 Q求证：DE/平面4B84。 @诺4B=2.M=3,8上C,米E与T西4C 所成角的正弦值】 8 13.(多选)如图所示，设E,F分别是正方体 BCD-ABCD的校CD上两点，且E,F与 C,D两点均不重合，且AB=2,EF=1,其中正确的命题为() D D-B EF A.三棱锥 的体积为定值 B B.异面直线BD与EF所成的角为60° D: BD⊥B,EF E 平面 B D.直线 B,D与平面 BEF 30 所成的角为 14.已知四棱柱 ABCD-ABCD 的底面是正方形.B=4,4=45,点8在底面4BCD的 AD 射影为BC中点五，则直线4D与平面 ABCD 所成角的正弦值为 9 题型五平面与平面所成的夹角 15.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC,点M为棱AB的中点，AB=AC=2, D BC=22,AD=2 : (I)证明：AC LBD: (2)求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值. M.- B 16、如图，四棱锥S-ABC 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的万 倍， SD上平面 PAC,P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为() S D 2 A.2 B. 2 C. 2 D.2 10 17.(多选)如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,ADIIBC,AD L AB,AE=BC=2, AB=AD=1' 7,则() E 41 4 A.BD⊥EC B.BF∥平面ADE C,平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为3 5 D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥ AB,AD=DC=CB=2,AB=4 DP=3 (I)证明：BD⊥PA: (2)求平面ABD与平面PAB的夹角 D B 11 ,E,C 19.如图，在三棱 ABC-ABC中， 4C,CG的中点分别为 在平面MBC, 内的射影为 D,△AB A4=2 是边长为2的等边三角形，且 ,点F在棱 C BG上运动（包括端点）· B D (I)若点F为棱BC的中点，求点F到平面BDE的距离； B (2)求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围. 12第05讲用空间向量研究距离、夹角 问题 目录 知识点1空间距离及向量求法…1 知识点2空间角及向量求法.… .2 题型一 点到直线的距离 ,3 题型二点到平面及异面直线的距离. 题型三 异面直线所成的夹角 .…11 题型四 直线与平面所成的夹角.14 题型五 平面与平面所成的夹角 18 知识讲解 知识点1空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设w为直线I的单位方向向量，A∈1，P是直线I外一点， 设AP=a,向量AP在直线1上的投影向量为A⑨=(aw)u, 则Pg=APP-40=a-(a 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为n,A∈，P是直线C外一点， 向量一是向量一在平面上的投影向量，则PQ=AP AP.nl AP n 知识点2空间角及向量求法 1,用向量运算求两条直线所成的角 u 设两异面直线所成的角为8，两直线的方向向量分别为-，则c0s8cosu,)= u,v 注意：①范围为 ②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系， 2.用向量运算求直线与平面所成的角 设直线1与平面a所成的角为8,1的方向向量为u,平面a的法向量为n,则 sin eos,引 注意：①范围为 0.2 ②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的 余角 3.用向量运算求平面与平面所成的角 平面α与平面P相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角.设平 面a与平面B的夹角为0，两平面，B的法向量分别为nn2,则 cos9=os() 注意：①范围为 0, ②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角. 2 题型训练 题型一 点到直线的距离 1. 在空间直角坐标系中，已知41,1，-)，B1,2,2),C(-3,4,2),则点A到直线BC的距离为 () 5 V39 3V5 A.5 B.V10 C.2 D.2 【答案】A BC 255 【详解】BC=（-4,2,0)' -55 ,0,BA=(0,-1-3) 2 故选：A 3 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=3, BC=2E是PB上一点，且B6=2EP,求点E到直线PD的距离 B √221 【答案】13 E, A 【详解) 以A为原点， AB,AD,AP 分别为，少，2轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 则E(L.0,2,P(00,3),D(02,0) 所以E乎=-l0,),P而=(02,3) EP.PD -3 3 设<n,PD=0:则cos9 EF叫P丽V2x1丽V26, 则sin0=V-cos'a=7 √26 所以点E到直线PD的距离d=sin0=2x反V2 √2613 3如图，已知正三棱柱1BC-4BC的所有棱长均为1，动点P在线段8上，则△P8C面积 的最小值为 A 3 010 【答案】10/10 ZA 【详解】如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， 所以B=,0,1),BC 因动点P在线段MB上，则令P=t8=化，0,00≤1≤1 即有点P,00所以丽--10，)则8P=-少+r=2r-2+1 BP.BC 1 从而IBCI 23+0 因此点p到直线BC的距离dB即P-( y=2r-2+1- BC +21+0 当且仅当1=时取等号，所以线段B上的动点P到直线C的距离的泰小值为。 又因为BC=VBC2+CC=V2 牙议aC百织的装小a-c*5-酒 10 【点睛】关键点点晴：求出点P到直线BC的距离的最小值是解决本题的关键 5 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD1平面ABCD,PD=AD=2,且点 E,F分别为AB和PD中点 D (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值， (2)求点F到直线EC的距离 【答案】(1)5 V105 (2)5 【详解】(1)解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD 所以以D为坐标原点，以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系，如图所示， A B 则D(0,0,0),A(2,0,0),F(0,0,1),E(2,1,0),P(0,0,2),C (0,2.0) 所以AF=（-2,0.1),EC=(-2,1,0) AF·EC cosa= 设异面直线AF与EC所成角为o,则 AFIECI=5 4 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为5 (2)因为BC-(-2.1.0),所以直线EC的一个方向向量i=(-2,10) 又FC=(0,2,-1),FC=5 FC.m 2 √105 所以点F到直线EC的距离d= 5 题型二点到平面及异面直线的距离 在空间直角坐标系中，已知点 ,)B(02,0),D(-1,-15),若点D到平面ABC的距离为 V14 则点的坐标可以是() (2,3,-1) B.(2,-3,) c.（-23,) D.(2,3,1) 【答案】D 【详解】对于A,当C(2,3-)时，设”=(，)为平面ABC的一个法向量。 AB=(-1,1-1),AC=(1,2,-2)DA=(2,2,-4) AB.n=0 -x+乃-31=0 所以4C2=0,即x+2y-2z=0,令y=2,则m=(0,2,2) 则点。到平面，p的距离为d= DA:网_4-8=2+4 D ABC 网 故A错误； 对于B,当C(2-3,时，设5=(，为，)为平面4BC的一个法向量， AB=(-1,l,-1),AC=(1,-4,0)DA=(2,2,-4) AB.n2=0 「-x2+y2-22=0 所以4Cm=0,即x-4,=0，令与=1则元，=(4,1，-3 则点。到平面，0的距离为d Da同8+2+1_26+4，故B销误 D ABC V26 13 对于C,当C(-2,3时，设西=（偶，2）为平面48C的一个法向量， AB=(-11,-1),AC=(-3,2,0）DA=(2,2,-4) ABn3=0「-x+y3-3=0 所以4Cm=0,即1-3x+2为=0，令为=3，则元厉=(2,31) 8 则点n到平面，的距离为d= Da网4+6-434，故C错误： 14 7 ABC 对于D,当C(23,1)时，设=(：2，)为平面4BC的一个法向量， AB=(-11,-1),AC=(1,2,0）DA=(2,2,-4) ABm4=0-x4+y4-24=0 所以4Cm=0,即x+2y=0，令，=1，则m=(-21,3) 则点到平面，。 的距离为d Da-同4+2-12=4， V14 故D正确， D ABC 故选：D 6.正方体 8CD-AACD的校K为2，EF分别为A0,B品的中点，O为底面16CD的中公， 则三棱锥O-EFC的体积是() V30 5 3 5 A.6 B.6 C.4 D.2 【答案】B E(1,0,2),F(2,2,1),C(0,2,0),0(1,1,0) 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 0E=(0,-1,2),0C=(-11,0),FC=(-2,0,-1) 设平面OFC法向量为” =(x,八，z) m.OC=-x+y=0 则m-F元=-2x-z=0,取x=1则m=(11,-2): 故E到平面OrC的距离为d OF.m m6, 而0C=2,0F=3,FC=5,0c+0r2=Cr,:0C10F 9 故5m0r.0c-5x5= 2 2, S.ord- 1V655 3266, 故选：B z小 D C A B F ABCD-ABCD 7. 已知正方体 的棱长为1，E 为D,C中点，求下列问题： B,AE (1)求异面直线 与 的距离； ABE (2)求到平面 的距离： DC ABE (3)求到平面 的距离： ADB DCB (4)求平面 与平面 的距离 1421√3 【答案】(1)14(2)3(3)34)3 【详解】(1)如图，建立空间直角坐标系， z D E A B B 10 则D(0,00）、A0,0)、B1,0)C0,10).4L0,1)B(,1l) c(al.no,、02 所(. DB=1L,-) 设=(，y)是与4正，DB都垂直的向量， 元.4E=0 +=0 (y=2x 则n-DB=0,即x+y-2=0,即2=3x,令x=1得元=02,3)， 选4E与BD的两点向量为 4=(1,0,0) 得AE与BD的距离d D4列1-网 1414 11 m·AE=0 (2)AB=(0,1-)设m=(a,b,c)为平面48E的法向量，则m.4B=0, -a+b=0 (b=2a 即b-c=0,即c=2a,令a=1得m=12,2) 选点B到平面4BE两点向量为48=(0,10) =48m2 由公式得：点B,到平面A,BE的距离 m3. ABE m=(1,2,2) (3)由(2)可知：平面 的法向量可设 设DC与平面465的两点向量为D4-10,0), 故直线c到平省45器得d-回网{ 3 （4)D4=0,1.DB=L1,0）.DC=(0,1-),D8=(L,10) 设4=(，)西=（为3）分别为平面AD8、平面DC8的一个法向量， DAm==0 所以D8m=x+y=0,令x=1可得y=-1,云=-1，所以=(1，-1，-1) DC·n2=2-22=0 D,Bn=5+为=0：令6=1，可得y2=-1,2=-1,所以m=(1,-1,-1), 所以”=，所以平面4DB/平面DCB, 可得4点到平面DC8的距离即为所求.D4=L0,0), 所以4点到平面DCB的距离为D4 cos.,网- D4%1_5 33, 12 5 故平面ADB与平面D,CB的距离为3. 13 题型三异面直线所成的夹角 8.如图，已知棱长为2的正方体 BCD-ABCD,E,F,G分别为4B,CD,MD 的中点， 4G 则异面直线 所成角为() D C A B D G A E B A.6 B c D.2 【答案】D DA,DC,DD ,y,2 【详解】如图分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系， A(2,0,2),G1,0,0),E2,1,0),F0,1,1) 则 所以4G=(-10,-2,F=(←2,0，) 设异面直线46与旷所成角为”， COS0=_ 4G.EF1_12-21 =0 则 AGEF5.5 所以异面直线AG与EF所成角为2 故选：D. 14 B1 D G d 15 9.(多选)如图，在棱长为2的正方体 BCD-AB,CD中，E,F分别为 BB,DD 的中点，则 () D A B 5 A.OC⊥OF B.CE与OF所成角的余弦值为5 A,E,C,F 26 C. 四点共面 D. △AEF 的面积为 【答案】AC 【详解】如图，以点D为坐标原点， DA,DC,DD x,y,z 为 轴的正方 D C 向，建立空间直角坐标系， B 对于A项，因01,1,0，C(0,2,0),F(0,0,1),则 0C.0F=(-1,1,0)(-1,-1,1)=1-1=0 即OC⊥OF,故A项正确： 对于B顶，因O,0C0,20,F0052.2D,则正=(2,0，.oF=(-1,-,, c5所为0.围0-受0侣52 A2,0,0),C(0,2,2),F(0,0,1),E(2,2,1) 对于C项，因 则 AC=(-2,2,2),AE=(0,2,1),AF=(-2,0,1) 易得C=征+征，即AC,延，F为共面向量，故1E,C,F四点共面，即C项正确： 16 对于D项，因 20,0,F0,0,E22,D,则4E=02,.F=-2,0D,记∠EAF=a 则cosa 5,故m“-小-白-26 |AE·AF11 5, 故△AEF的面积为2 正亚sna-分55x25-6 5 ,故D项错误。 故选：AC. 1O.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，且△ABD是 等边三角形，AB=2. (I)求证：BD⊥平面PAC: (2)若△PAB是等腰三角形，求异面直线PB与AC所成角的余弦值. 6 【答案】(1)证明见解析：(2)4· D 【详解】(1)因为底面ABCD是平行四边形，且△ABD是等边三角形， 所以四边形ABCD是菱形，则有BD⊥AC, 又PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,PAc平面PAC,ACc平面PAC, 所以BD⊥平面PAC: (2)设4CnD=0,:aPB是等膜三角形，片PA=AB=2,40=0C=5 以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系0-2， 如图， B 17 则P0,-5,2,A0,5,0）.BL0,0).c(0,5.) 所以PB=(5.-2,Ac=(0,25,0） 设PB与AC所成角为8， PB·AC 所以cos0= PB.AC hx0+W3x23+(-2)x0 6V6 V+(5+(-2y×V0+23+022x24 6 即PB与AC所成角的余弦值为4. 题型四 直线与平面所成的夹角 11.如图，在正方体 BCD-4BCD中，E为BB的中点. A D BC// ADE (1)求证： 平面 ②求直线CG与平面 DE 所成角的正弦值. 2 【答案】(1)证明见解析(2)3 【详解】(1)证明：在正方 ABCD-ABCD中，因为 B1cA,且48=CD, 所以四边形ABCD BC//AD 为平行四边形.所以 BC ADE BC/ADE 又 平面 ,所以 平面 18 (2)不妨设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系A-z, 42 A B D B C 则 00,0,D(2,0.2,E0,2.所以d=20,2,正=0,21CC=0.0,2) m·AD=0,2x+2z=0 设平面AD,E的法向量为m=c,,z)则mA正=0，即2y+z=0., 令z=2,则x=-2,y=-1, 于是m=(-2-12) G与平面 DE 设直线 所成的角为“， m.CC 则sina=cosm,cC (-2,-1,2)-(0,0,2_2 CG 24+1+43 12.在三棱柱 BC-AB,C中，平面 BBA上平面ABC,aMBC为正三角形， D、E分别为BC和4G 的中点 DE/ ABB A (1)求证： 平面 (2)若1B=2.A4=3BB上AC ,求DE与平面 BC 所成角的正弦值。 3V10 【答案】(1)证明见解析(2)20 【详解】（山）证明：如图，取的中点为P,连接DF、4 19 则DF1/AC且DF= 24C, 在直三棱柱 BC-4BG中，4C1AC且4C=4G 又E为4G的中点，所0 DF/IAE DF=AE 且 AFDE AF//DE 所以四边形 为平行四边形，所以 又DE ABBA AF ABBA 平面 平面 所以DE1/平面 ABB A 平面B ABB,A⊥ (2)由于平面 C,且交线为B, 又AB⊥CF,CFc平面ABC, ZA 因此CFL ABBA B 平面 BB ABB A CF⊥BB 又 平面 ，故 BB⊥AC CFNAC=-C,CF,ACC平面 BC BB 平面ABC BB 故可建立如图所示的空间直角坐标系，其中？轴 则由题意 4a3 ci.o.n时兽on号9 所以4g=(2,00,4C=5-3).D正=←10,3) 元·4B=0「2x=0 设方=(x,y,)为平面48c的一个法向量，则元4C=0,即x+3y-3z=0, 令y= 5,所以=0，，D 设直线DE与平面48，C所成的角为9， 20 n.DE 则sinB=cos元，DEl 3310 DE 2×V10 20, 3V10 所以直线DE与平面ABC所成的角的正弦值为20. 13.(多选)如图所示，设E,F分别是正方体 ABCD-ABCD 的楼CD上两点，且E,F与 C,D两点均不重合，且AB=2,EF=1,其中正确的命题为(） D D-BEF A.三棱锥 的体积为定值 B B.异面直线B,D与EF所成的角为60 D B,D⊥ BEF E C 平面 B,D与平面 EF 0 D.直 所成的角为 【答案】AD 【详解】以D为原点，D1,DC,D 0分别为，’，轴建 立如图所示的空间直角坐标系， D D0,00.4(20,0,D（0,02,B(2,22).设E01,0 ,则 B F(0,t+1,0)0<t<1), A选项，台4as亏5o8G-写产2x1x2-号 1 11 3 为定值，故A对； B选项，正方体 BCD-ABCD中，CD/CD,即有 EFIICD 异面直线 A与F所成的角与直线8D与CD 所成的角为同一个角， 即异面直线8D与EF所成的角的平面角为 B,DC1=45 ,故B错： 21 C选项，BD=(22,0),BE=(-2,1-2-2BF=(-21-1-2) AD=(-2,0,2)AD·B,E=4-4=0AD·BF=4-4=0 则孤1死，而18F.平百8F的法向为孤=(202) 设直线A0与平面BF所成的二面角的平面角为， BEF 则0-loa0,0 -2×(-2)+(-2)×0+0×2 V(-2)}+(-2}2+0V(-2)2+0+2 2 则8-30 ,故C错： D与平面8，所成的角为0，故D对 BEF 30° D选项，由C选项可知直线 故选：AD. 14.已知四棱柱 ABCD-ABCD 的底面是正方形，B=4,4=45,点8在底面ABCD的 射影为BC中点五，则直线 D ABCD 与平面 所成角的正弦值为. 万 【答案】4 B ABCD BC BH⊥ ABCD 【详解】因为点在底面 的射影为中点H,则 平面 又因为四边形ABCD为正方形， 以点H为坐标原点，BA、C、西的方向分别为、八、轴的正方向建立如下图所示的 空间直角坐标系H-z, 22 ZA B C A D B H 因为 平面1BCD.BCC平面1BCD,则BH1BC, 因为AB=4,4=4W2,则BH=VBB-BH=V32-4=2万 则1(4，-2,0、D(4,20)、B(0,-2,0)、B(0,0,27) 所以D=D+D西=AD+8服=(0,40)+(02,2)-(0.6,2) 易知平面CD的一个法向量为”=Q,0) cos AD,n= ADn27√万 4D川8x14, 万 因此，直线AD与平面ABCD所成角的正弦值为4 万 故答案为：4 23 题型五平面与平面所成的夹角 15.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC,点M为棱AB的中点，AB=AC=2, D BC=2√2，AD=2 (I)证明：AC LBD: (2)求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值. M. 2√2 B 【答案】(1)证明见解析(2)3 【详解】(1)：AD⊥平面ABC,又ACC平面ABC,AC⊥AD. AB=AC=2,BC=22.AB2+AC2=BC2 :AC L AB 又ADOAB=A,AD,ABC平面ABD,:ACL平面ABD. 又BDC平面ABD,AC⊥BD (2)由题及(1)可知AB,AC,4D两两相互垂直，以AB,AC,4D所在直线分别为x,八，2轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 24 M B D(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,0,0) 则根据题意可得： ∴.BC=(-2,2,0),DC=(0,2,-2),CM=(1,-2,0) 设平面BCD和平面DCM的法向量分别为 =(x,y,2),n=(a,b,c) [m.BC=-2x+2y=0 「i.DC=2b-2c=0 则m.DC=2y-2z=0，i.CM=a-2b=0 24 取m=,1,万=(2,1) ∴.平面BCD和平面DCM夹角的余弦值为： m 42√2 cosm,n= 历√3x√63. 16.如图，四棱锥S-ABCD, 2 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， SD上平面 PAC,P为侧棱SD上的点，则二面角P-AC-B的余弦值为() S D A B V3 √5 2 A.2 B.2 c.2 D.2 【答案】B 【详解】连接BD,设AC交BD于点O,则SO⊥平面ABCD, 以0为坐标原点， OB,OC,OS 的方向分别为，少轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系， B o6 2a006 a) 设底面边长为a,则 2 a,0,0.SD=()21 a06 2 25 显然=(0,0，)是平面ABC的一个法向量， 因为SD⊥平面PAC,所以 2a,0-6 =( 2 a) 是平面PAC的一个法向量， 设二面角P-AC-B为B,所以 、v6 cos0=cos<元，SD>i:D a 2 3 1万川SD 2a2+22 2 故选：B. 26 17.(多选)如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,ADIIBC,AD L AB,AE=BC=2, AB=AD=1' CF=8 7,则() E A.BD⊥EC B.BF∥平面ADE C,平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为3 5 D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【详解】因为AE⊥平面ABCD,AD L AB, 由盟意，以小为坐标原点，分别以孤，D,正的方向为轴、'轴、“轴正方向建立空 y 间直角坐标系， 2孙 E 可得4@Q0,800.c2.0.D010,E00,2).F12别 则D=(-L0）.元=(2-2) 27 所以 D.EC=-1x1+1x2+0x(-2)=1≠0，所BD,BC不垂直，故A错误： 依题意， B=0,0是平面4DE的法向量， 又 可得BF·AB=0,则BF⊥AB, 又因为直线BF￠平面ADE,所以BF∥平面ADE,故B正确： m.BD=0 设m=(ab,c)为平面BDF的一个法向量，则m.BF=0, -a+b=0 即=0,令61”可狗--引】 依题意， BD=(-l1,0)BE=(-1,0,2） 设=()为平面BDE的法向量， iBD=0 -x+y=0 则：B证=0，即1-x+2z=0,不妨令z=1可得=(2,2，)： mi 1 osm,= 所以 同3， 1 故平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为3，故C正确： 设直线CE与平面BDE所成角为8，C正=1，-2,2) 则sin8=cosCE,= CE4 CE同9，故D错误 故选：BC 28 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥ AB,AD=DC=CB=2,AB=4 DP=3 (1)证明：BD⊥PA: (2)求平面ABD与平面PAB的夹角. 【答案】(1)证明见解析 暖 【详解】(1)证明：在四边形ABCD中作DE上AB于E,CF⊥AB于F,如图 :CD∥AB,CD=AD=CB=24B=4,四边形 BCD ..AE=BF=1 为等腰梯形， DE-3.BD-23 AD+BD-AB ADLBD 又：PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,∴PD⊥BD, 又PD∩AD=D,PD,ADC平面PAD :BD⊥平面PAD. 又PAC平面PAD,.BD⊥PA (2)如图，以D为原点建立空间直角坐标系 由(1)可得BD=25,则4(20,0)，B(0,25,0),P0,05) 则-(2,05)，BP=(0-25,5)】 C B 设平面PB的法向量=x). 29 n.AP=-2x+3z=0 则有元BP=-2W3y+3z=0,令z=2:则x=√5，y=1即元=(W51,2 m列√2 取平面ABD的一个法向量m=(0,01), ..cosm,= 园2， √2 即平面ABD与平面PAB所成夹角的余弦值为2， 所以平面ABD与平面PAB的夹角为4 30 19.如图，在三棱柱 BC-ABC中，棱 C,CG的中点分别为 EC在平面4C内的射影为 D,△ABC A4=2 是边长为2的等边三角形，且 点F在棱 BG上运动（包括端点）· (I)若点F为棱B,C的中点，求点F到平面BDE的距离： (2)求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围. 3v3 「15 【答案】(1)4(22'2 DC 【详解】(1)连接， 依题意可 DG+平面4BC,由 AC,BDC平面 BC,所以 DC⊥AC,DC⊥BD 由于三角形ABC是等边三角形，所以BD1AC,BD=V2-下=V5 又DC=V2-下=5，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则caw.co95o】 G网-=(15.0.数81同.号5 DB=(0,5,0), 设平面BDE的法向量为 =(X,y,2) 230 则 mDB=3y =0 令=1则x 9x=-5’片=0' 31 板m-原a.又丽-（55 3V3 所以点p到面BDE的E离为d- Fm_235 2 4 32 (2)设CF=CB(0≤元≤)，CB=（l,5,0) 则DF=DC+CF=DC+C4=(0,05)+-15,0=(元，5a,) 设平面BDF的法向量为” =(22,3) [m-DF=-x+5y2+V3z2=0 则mDB=3y2=0 ，令x,=3,则2，=元，为=0， 故可设i=(5,0. 设锐二面角F-BD-E为B, 则cos0 m.n -3+元 -1.3-元13- m同2×3+2 23+0=2V2+3, 令3-=(e2,30 1t2 c0s0= 212-6t+ 所以 g-1,楼》 则cos1/ 1 2V12s2-6s+1, 8改-1-1--的新n上.到为- 1 se/117 所以当3'2时，该二次函数单调递增， 所以当3时，该二次函数有最小值2× -61- 当5-2时。该二次函数有最大值2× 1 1)2 +1=1 (2 33 e 乙，乙闺哥明影径￥a-a8-4,里二将帷 跡i [0ms9\a