1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题讲义-2026年暑假新高二数学预习（人教A版选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 知识点1：点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解． 2．平行线间的距离转化为点线距求解． 知识点2：点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． 知识点3：利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点4：利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)求平面的法向量n． (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝． 知识点5：利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 考点一　利用向量法求解线线角 考点二　利用向量法求解线面角 考点三　利用向量法求解面面角 考点四　利用向量法求点到面的距离 考点五　利用向量法求线到面、面到面的距离 考点六　利用向量法求点到线的距离 考点七　利用向量法求异面直线的距离 考点八　利用向量法解决探究性问题 考点一　利用向量法求解线线角 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线得，再由线面平行判定证得平面. （2）以为原点建系，用向量法求异面直线所成角：先写出各点坐标，求出向量与，再用公式计算余弦值. 【详解】（1）因为是的中点，是的中点. 所以是的中位线. 故，又平面，平面 所以平面. （2）因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以两两垂直. 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，为中点， 所以，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，， 则. 所以异面直线与所成角得余弦值为 4．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 5．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，，所以平面平面. （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设（），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 6．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 考点二　利用向量法求解线面角 7．（2026·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即.    8．（25-26高二下·重庆·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，因为平面，所以 ， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为， 所以侧面为正方形，所以 ， 因为，且平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理，通过两次线线垂直，推导出直线垂直平面即可； （2）解法一：先利用三棱锥等体积互换，换顶点、换底面，由算出到平面距离；再依据线面角定义：线面角正弦=垂距/斜线长，代入求值即可；解法二： 先根据垂直条件建空间直角坐标系，写出坐标，再借用第(1)问线面垂直结论直接得到平面法向量，搭配斜线方向向量，最后套用线面角向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）解法一（等体积法）：设点到平面的距离为． 因为， ． 由得，即． 所以直线与平面所成角正弦值为． 解法二：如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由（1）知， 平面， 所以平面的一个法向量为，取， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角正弦值为． 9．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明：过点作，交于点，连接， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以、， 在中，，， 又因为， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 在中，， 在中，由勾股定理可得， 在中，因为， 所以， 又因为， 所以； (2) 【分析】（1）过点作，交于点，连接，由面面垂直的性质定理可得平面，根据已知条件和余弦定理，求得，在中，由勾股定理的逆定理可得，即可得证； （2）结合（1），建立坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成的角的正弦值即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知平面， 由三棱台， 可得， 所以直线与平面所成的角， 即为直线与平面所成的角， 以为坐标原点，分别以为轴，轴的正半轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，得， 即， 直线与平面所成的角为， 则 10．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．    则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 11．（云南红河州、文山州2026届高三数学考前模拟试题）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【详解】（1）是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. （2）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. 考点三　利用向量法求解面面角 13．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴， 建立空间直角坐标系，设，根据已知求得，计算即可求得结果； （2）分别求得平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系． 由题意可取，，，，． 设，，， 则． 于是，． 由可得． 即． 整理得， 所以． 因此． （2）由（1）可知． 平面中，，． 取平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为 设平面与平面所成二面角为，则． 所以． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 因为M为的中点，N为的中点，所以，． 有． 平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则， 又，则， 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量证明线面平行即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求平面与平面的夹角即可． 【详解】（1）略 （2）易得平面的一个法向量为． 在平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则． 设平面与平面所成角为， 则， 因此， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 15．（25-26高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，，， 所以，，， 所以，所以， 又，BC，平面PBC，所以平面PBC， 因为平面PAC，所以平面平面PBC． (2)． 【分析】（1）通过计算由勾股定理可证得，利用条件证明平面PBC，再由线面垂直可证面面垂直即可. （2）法一建系，写出相关点的坐标，求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得，法二作出符合题意的图形，构造二面角的平面角，再利用三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一：因为平面ABCD，， 所以以C为原点，以，，分别为x，y，z轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面ACE的法向量为，则 取，得平面ACE的一个法向量为， 易知平面PAC的一个法向量为， 设平面PAC与平面ACE的夹角为， 则， 故平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为． 法二：如图，过点E作BC的平行线交PC于点F， 由（1）可知平面PAC，， 所以就是平面PAC与平面ACE所成角， 因为，，所以． 16．（2026·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥中，，，． (1)求证：平面平面； (2)线段PB上是否存在点M（不包括端点），使得平面PAB与平面MCD夹角的余弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【详解】（1） 取中点，连接 . 由题意得，故，又，， 因此， ，所以四边形、为平行四边形， 进而，， 即 均为边长为2的等边三角形. 因为​，是中点，故，且 . 又​，故，得. 因为， 平面，故平面. 又平面，因此平面平面. （2）建立如图所示空间直角坐标系： 由题意知：，，，， 假设存在点使得满足题意． 设，其中. 反解得：M点坐标为： 设平面ABP的法向量为， 设平面MCD的法向量为， 所以． 解得，又因为， 故不存在点M使得满足题意． 17．（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； (3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以四棱锥的底面为直角梯形， 又因为平面ABCD， 所以四棱锥的体积为：. （2）因为平面ABCD，， 所以可将三棱锥补成长方体，则过四点的外接球即为长方体的外接球， 所以为长方体体对角线的中点， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以， 设异面直线BC与OD所成角为， 所以. 所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为. （3）设，则，， 由题意平面ABP的法向量， 设平面MBP的法向量为， 所以， 令，则，， 所以， 因为平面ABP与平面MBP的夹角为， 所以， 整理得， 所以， 所以当时，， 所以． 18．（2026·江西南昌·三模）如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. (1)求异面直线与所成角； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）先证明直线，，两两垂直，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，即可得解； （2）由（1）所建空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，结合二面角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 由，，得， 则，而， 因此，所以直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，所以，， 则，所以， 所以异面直线与所成角为； （2）由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为1. 考点四　利用向量法求点到面的距离 19．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先根据条件确定点坐标，利用空间向量证明线面平行. （2）先求平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】（1）以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以. 因为为平面内的一点，且，所以可设，. 因为，所以. 所以. 所以. 又因为，，平面，且， 所以平面. 所以为平面的法向量. 因为，且平面， 所以平面. （2）因为，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 所以. 所以点到平面的距离为. 20．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）利用向量法求得平面的法向量，进而求得结果. 【详解】（1）如图，在平面内，过与垂直的直线为轴，，所在的直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为． 则有，即 所以平面的一个法向量，且， 所以与平面所成角的正弦值为． （2）又，设平面的法向量为， 则  ，故可取． 因为，所以到平面的距离为． 21．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，得到，结合，得到点到平面的距离； （2）由（1）得是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体  A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1  的棱长为4， 分别为，中点，且． 则， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，所以， 则，所以，即向量和为共线向量， 所以也是平面的一个法向量，所以平面， 又由，所以点到平面的距离. （2）由（1）知：向量是平面的一个法向量， 且，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 22．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， 又，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由及为中点，利用等腰三角形“三线合一”得；结合平面及，得到，从而由线面垂直判定定理证得平面； （2）以平面为基础，构造出二面角的平面角；利用已知边长、、，通过勾股定理与面积公式求出与，进而得到余弦值； （3）将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法建立方程；结合、及，计算得到所求距离. 【详解】（1）略 （2）由(1)可得平面，平面，故， 过作于，连接，因为，平面， 所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角， 是中点，，则，； 且，， 故， ，得， 因为平面，又平面，故， 在中：， 故，即二面角的余弦值为. （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. 23．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在中，利用勾股定理的逆定理可得．结合，可得平面．由线面垂直的性质定理即可得证； （2）先证明平面，可得，，两两垂直，然后建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）如图所示，由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于为的中点，故． 又， 可得 ， 所以． 又因为，， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）由（1）可知， 又因为平面．平面, 所以， 又因为，平面，且， 所以平面， 所以，，两两垂直． 以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，，，，， 则，，． 设是平面的法向量， 则,即， 取，得． 设点到平面的距离为，则． 24．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．    (1)求证//平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过构造平行四边形证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再通过向量夹角公式计算出平面夹角的余弦值； （3）在空间直角坐标系中，利用点到平面的距离公式直接计算点 B 到平面的距离. 【详解】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有且，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面． （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，    有，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为． 考点五　利用向量法求线到面、面到面的距离 25．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 26．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 27．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 28．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是线段和上的点，且，，为线段的中点. (1)求证： 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以C为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明与法向量垂直即可； （2）求出平面的法向量，根据平面夹角公式即可求出； （3）因为平面，只需求出到平面的距离即可. 【详解】（1）依题意，两两垂直，以C为原点，分别以，，的方向为轴的正方向，建系如图： 得， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为， ∴， 又∵平面，∴平面. （2）设平面的一个法向量为， 因为，则， 取， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）由（1）知平面， 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又∵， ∴点到平面的距离为. 29．（25-26高二下·广东珠海·期中）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由. (2)判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由. (3)求直线与平面的距离. 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)不垂直，理由见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证； （2）取的中点，连接，可证平面，得到，利用反证法及面面垂直的性质定理进行说明； （3）转化为求点与平面间的距离，根据（2）问建立合适空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果. 【详解】（1）取的中点，连接，因为为中点， 所以且， 因为，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）取中点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 又平面，所以平面， 因为，所以平面，所以， 所以，又，所以不垂直， 又，平面平面， 假设平面与平面垂直，则平面，， 与推出的不垂直相矛盾，所以平面与平面不垂直； （3）由（2）可知平面，，又平面， 则平面平面， 以为原点建立如上图所示空间直角坐标系，则， 所以，所以 ， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 所以直线与平面的距离为 30．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【详解】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2），又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 考点六　利用向量法求点到线的距离 31．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 【答案】 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 32．（25-26高二下·甘肃武威·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 【答案】/ 【详解】依题意，，，，， 所以. 33．（2026·湖北·模拟预测）（多选）在长方体中，，四边形为边长为2的正方形，为四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离与到直线的距离相等，则线段的长度可能为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，设点，进而根据坐标法求得，再结合空间两点距离公式求得即可得，进而判断各选项即可. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系. 设点，其中， 则点到平面的距离为， 所以， 点到直线的距离为， 所以，则， 因为， 所以，即线段的长度可能为范围内的任意实数. 34．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 35．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 36．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，PA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC． (1)求证：AD⊥PC； (2)求平面PCD与平面PAB的夹角； (3)在线段PB上是否存在一点M，使得直线PC与平面ADM垂直，如果垂直，求此时点M到平面PCD的距离，如果不垂直，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)存在， 【详解】（1）取为中点，则，，. 故四边形为矩形，则. 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. ，. 则，故，即. （2）由题意可知，平面的一个法向量. 因为，. 设平面的一个法向量为. 则 令，得. . 由题意可得，平面与平面所成二面角的平面角为锐角. 所以平面与平面所成角为. （3）存在，理由如下： 设，则. 所以. 由平面，可得，则. 所以，. 则到平面的距离. 考点七　利用向量法求异面直线的距离 37．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 38．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取BD中点H，连接EH， FH，先证明，可得BD⊥平面EFH，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角即可； （3）先求出和的公垂线的方向向量，进而求解即可. 【详解】（1）取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 39．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，由空间向量线性运算的坐标表示，判断A；求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离的向量求法求得异面直线与间的距离，判断B；根据点到直线的距离的向量求法，求得点到直线的距离，判断C；根据点到平面距离的向量求法求得点到平面的距离，判断D. 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 40．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 41．（25-26高二上·安徽·期中）（多选）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可. 【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部． 以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ， ，，， 则，故平面， 则存在与平面的交点使得平面，故A正确； 对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为， 则，即，解得， 显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离， 则，即. 方法二：，， ，， 由于，则四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面 同理可得平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 由于在三角形边界及其内部，则， 令， ， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得， 当时，， 则当时， 当时，， 则当时，， 则 ，故B错误； 对C，由题意可知，， 设，使得， ，令，解得， 设异面直线与的距离为， 则，故C正确； 对D，， 当时，，， 此时，即平面，则 ， 则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心， 如图2，正三角形边长为，取中点，可得， 则，则， 则点的轨迹长度为，故D选项正确.    故选：ACD. 42．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【分析】要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形， 因此，故A正确. 对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，， 则，故B错误. 对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    则，那么 根据点到直线的距离公式： 又，， 代入可得.故C正确. 对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取， 根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确 故选：ACD. 考点八　利用向量法解决探究性问题 43．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． (1)求证：； (2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点，理由见解析 【分析】（1）首先根据余弦定理计算出，进而利用勾股定理证明，然后根据线面垂直的判定定理证明平面，最后根据线面垂直的性质即可证明. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，首先根据，求出点的坐标，然后根据在线段上，设，得，最后根据线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，，，故，为中点，， 由余弦定理得： ， 故， 即，得，， 翻折后，仍成立， 又，平面， 故平面， 又平面，因此. （2）存在，为的中点，过程如下： 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标： ，，，， 设，由得， 由，得， 代入，解得，故， 在线段上，设，得，则， 平面中，，设平面的一个法向量为， 由得，取 得，， 设直线与平面夹角为，则， 代入计算： ，化简得，解得（舍去，超出范围）. 因此存在点，为的中点满足条件. 44．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角，进而可得二面角的大小； （2）先假设存在点，先求平面的法向量为，再由平面可得，从而可得，进而可得点的位置. 【详解】（1）因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． （2）略 45．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即， 又平面，平面，故平面， 由题意可知四边形是直角梯形，且， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，故平面， 而，平面，所以平面平面， 由平面，显然平面． (2) (3) 【分析】（1）构造面面平行即可证线面平行； （2）结合（1）找出直线与直线所成的角，再根据勾股定理，及余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法即可确定的位置，进而根据等积法即可求出三棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，直线与直线所成角为， 又平面平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，， 所以，，， 则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）连接，， 结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面， 又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 又线段上存在一点，则设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以是线段的中点， 所以． 46．（2026·山西·二模）在如图（1）所示的直角梯形中，，，，点是的中点，将图形（1）沿折起至图（2），使得到处，且.是上一动点，且， (1)求证：平面平面； (2)是否存在，使得平面与平面的夹角为？若存在，则求的值及点到的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）根据题意，由，得到，证得平面，得到，再由，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，由，得到，分别求得平面和平面的法向量和，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，得到，结合距离公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图（1）所示的直角梯形中， 由，，，点是的中点， 可得四边形是边长为2的正方形，且， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）可知平面，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 因为，可得，其中， 所以，，，， 设，分别是平面和平面的法向量， 则和 取，可得，取，可得. 设平面与平面的夹角为， 则 可得，即，解得或 因为，所以， 即存在，使得平面与平面的夹角为， 此时点，所以，， 则点到的距离. 所以点到的距离是. . 47．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． (1)证明：平面． (2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为与的交点 (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1），分别为，的中点， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ，， 平面，平面， 平面． （2）取的中点，连接，取中点，连接， ，，，， ∵平面平面，平面，平面平面， 平面． ∵四边形是边长为2的正方形，为中点， ，， 分别以，，所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，则，，，， 假设存在点到点，，，距离都相等， 解得，，即， ∴点存在，且点为与的交点； （3）设平面、平面的法向量分别为，， 由（2）知，，，， 令，． 令，． 设平面、平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为． 48．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值. 【详解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，面， 面面，面面， 所以面， 又因为面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 因为，， ，面，面， 所以面. （2）因为面，面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，，则，， 且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 所以， 又，所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此； ②设，则， 即有，且， 设面的法向量为，则有 即有 令，则，， 即， 由已知是面的一个法向量， 所以， 解得． 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值从而求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 4．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 6．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 7．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 8．（25-26高一下·陕西西安·期中）（多选）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 【答案】BCD 【详解】设正方体棱长为，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为： . A：，若两直线平行，则，即，方程组无解，直线与不平行，A错. B：平面，交平面于点，点不在直线上，所以与是异面直线，B对. C：因为平面是底面，所以易得平面的法向量；设平面法向量，，， 取，得，设平面与平面所成角为，，C对. D：，，所以，一组平行线确定一个平面，故四点共面，D对. 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 10．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）如图，在棱长为的正方体中，P，Q分别为的中点，点在正方体的表面上运动，满足．其中所有正确结论是（    ）    A．线段长度的最小值为； B．点到直线的距离为 C．点的轨迹是梯形； D．点的轨迹围成的多边形的面积为． 【答案】ABD 【分析】以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出点到直线的距离，从而判断B；由，，可得点的轨迹为矩形EFGH，即可判断C；求出其面积可判断D；由题意可得，求出其最小值，即可判断A. 【详解】由题知，以点为坐标原点， 以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设正方体的棱长为， 则，，，，，， ，，，，设， ，，故B正确． ， 因为，所以， 当时，，当时，， 取，，，， 连接，，，， 则，， 所以，即，所以四边形EFGH为矩形， 因为，，所以，， 又和为平面中的两条相交直线， 所以平面EFGH， 又，， 所以为EG的中点，则平面EFGH， 为使，必有点平面EFGH， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形EFGH， 又，，所以， 则点的轨迹为矩形EFGH，故C错误； 面积为，即，故D正确 又因为，，， 则，即， 所以，点在正方体表面运动， 则，解得， ， 结合点的轨迹为矩形EFGH， 分类讨论下列两种可能取得最小值的情况 当，或时，， 当，或时， 因为， 所以当，或时，取得最小值为，即，故A正确． 11．（2026·湖南长沙·三模）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则直线与直线是异面直线 B．若为的中点，点到直线的距离为 C．存在点，使得 D．存在点，使得平面 【答案】BC 【详解】选项A，，因为为中点，为中点， 所以，所以与在同一平面，所以和不是异面直线. 选项B，，建立如图直角坐标系，设，易得，，， 因此， 因为，，. 所以，. 选项C，设，，所以，， 因为，所以，，解得，即存在符合题意. 选项D，因为， 所以，， 设平面法向量， 因为且, 则且,令可得, 所以解得， 若平面，则，，解得，不满足条件，即不存在符合题意的点. 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】/ 【详解】由，，， 可得，， 则，，与同方向的单位向量为， 则点到直线的距离为. 13．（2026·湖南株洲·一模）棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 【答案】． 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，再根据和与平面所成的角的大小均为可解得法向量，进而可求点到平面的距离. 【详解】如图：以A点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，所以， 设平面的法向量为，因为与平面所成的角的大小均为， 所以，即——① 再由与平面所成的角的大小均为，所以 ，即——②. 联立①②得，解得或. 当时，代入①得，，， 解得，令，得，， 则到平面的距离为； 当，代入①得，， ，即，因为，所以方程无解，舍去. 综上所述，点到平面的距离为. 故答案为： 14．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由题意可取，，， ，，， 为的中点，E为的中点， ，，故， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，且不在平面内， 平面． (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量坐标，求出平面法向量，进而利用法向量与垂直证明结论； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而求出二面角正弦值． 【详解】（1）略 （2）易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则 ， 设平面与平面所成二面角为，则， ． 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. (1)当为何值时，直线与平面所成的角为. (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，设出点坐标，再表示出直线的方向向量与平面的法向量，借助空间向量的夹角公式表示出线面角的正弦即可得解； （2）求出平面的法向量后，利用空间向量的夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 则， 整理得，故，则（负值舍去）， 则， 即当时，直线与平面所成的角为； （2），， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得， 又平面的法向量， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为. 16．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在正方形中，由，得， ，则，， 因此，由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又，，平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证； （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即可. 【详解】（1）略. （2）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线，，两两垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设（），则，， ，， 由点到直线的距离是，得，则， 而，解得，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，为锐角， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（2026·宁夏银川·三模）如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得； （2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）连接，由为中点，则，又， 则四边形为菱形，设，则为中点， 则，所以三角形是直角三角形，且；    （2）当时，是边长为的等边三角形， 又因为梯形的面积为，所以的面积为， 所以，所以， 以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，所以， 设为平面的法向量，则， 即，令，则，，所以， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）略 （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 知识点1：点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解． 2．平行线间的距离转化为点线距求解． 知识点2：点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 用向量法求点到平面的距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． 知识点3：利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点4：利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)求平面的法向量n． (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝． 知识点5：利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 考点一　利用向量法求解线线角 考点二　利用向量法求解线面角 考点三　利用向量法求解面面角 考点四　利用向量法求点到面的距离 考点五　利用向量法求线到面、面到面的距离 考点六　利用向量法求点到线的距离 考点七　利用向量法求异面直线的距离 考点八　利用向量法解决探究性问题 考点一　利用向量法求解线线角 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 4．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 5．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 6．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    考点二　利用向量法求解线面角 7．（2026·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； (2)已知与平面所成角的大小为，求． 8．（25-26高二下·重庆·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 9．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 10．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 11．（云南红河州、文山州2026届高三数学考前模拟试题）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 12．（25-26高二下·福建厦门·期中）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 考点三　利用向量法求解面面角 13．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点在线段上． (1)若，求； (2)在（1）的条件下，求平面与平面所成二面角的正弦值． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 15．（25-26高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（2026·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥中，，，． (1)求证：平面平面； (2)线段PB上是否存在点M（不包括端点），使得平面PAB与平面MCD夹角的余弦值为？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由． 17．（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； (3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 18．（2026·江西南昌·三模）如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. (1)求异面直线与所成角； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 考点四　利用向量法求点到面的距离 19．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 20．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，点为的中点． (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离． 21．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 22．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 23．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，平面，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)设，的中点为，求点到平面的距离． 24．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．    (1)求证//平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 考点五　利用向量法求线到面、面到面的距离 25．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 28．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别是线段和上的点，且，，为线段的中点. (1)求证： 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 29．（25-26高二下·广东珠海·期中）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由. (2)判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由. (3)求直线与平面的距离. 30．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 考点六　利用向量法求点到线的距离 31．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 32．（25-26高二下·甘肃武威·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 33．（2026·湖北·模拟预测）（多选）在长方体中，，四边形为边长为2的正方形，为四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离与到直线的距离相等，则线段的长度可能为（    ） A． B． C．2 D．3 34．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 35．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 36．（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，PA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC． (1)求证：AD⊥PC； (2)求平面PCD与平面PAB的夹角； (3)在线段PB上是否存在一点M，使得直线PC与平面ADM垂直，如果垂直，求此时点M到平面PCD的距离，如果不垂直，说明理由． 考点七　利用向量法求异面直线的距离 37．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 38．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 39．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 40．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·安徽·期中）（多选）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 42．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 考点八　利用向量法解决探究性问题 43．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． (1)求证：； (2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 44．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 45．（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 46．（2026·山西·二模）在如图（1）所示的直角梯形中，，，，点是的中点，将图形（1）沿折起至图（2），使得到处，且.是上一动点，且， (1)求证：平面平面； (2)是否存在，使得平面与平面的夹角为？若存在，则求的值及点到的距离；若不存在，请说明理由. 47．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． (1)证明：平面． (2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 48．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·陕西西安·期中）（多选）如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（     ）． A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．M，N，B，四点共面 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 10．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）如图，在棱长为的正方体中，P，Q分别为的中点，点在正方体的表面上运动，满足．其中所有正确结论是（    ）    A．线段长度的最小值为； B．点到直线的距离为 C．点的轨迹是梯形； D．点的轨迹围成的多边形的面积为． 11．（2026·湖南长沙·三模）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若为的中点，则直线与直线是异面直线 B．若为的中点，点到直线的距离为 C．存在点，使得 D．存在点，使得平面 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知空间三点，，，则点到直线的距离为______. 13．（2026·湖南株洲·一模）棱长为1的正方体的各顶点均在过点的平面的同侧，若和与平面所成的角的大小均为，则点到平面的距离为___________． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 15．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，四棱锥底面为矩形，平面平面，是边长为的等边三角形，，点为中点，点为线段上一点（与点，不重合）. (1)当为何值时，直线与平面所成的角为. (2)在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 16．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱，上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．求直线与平面所成角的正弦值． 17．（2026·宁夏银川·三模）如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.    (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $