第07讲 直线的方程 讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第07讲 直线的方程 目录 知识点1 直线的点斜式方程 2 知识点2 直线的斜截式方程 2 知识点3 直线的两点式方程 3 知识点4 直线的截距式方程 3 知识点5 直线的一般式方程 3 知识点6 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 3 题型一 点斜式方程 4 题型二 斜截式方程 6 题型三 两点式方程 7 题型四 截距式方程 9 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 10 题型六 一般式方程 11 题型七 直线过定点问题 14 题型八 由直线的位置关系求直线方程 14 知识点1 直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2 直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点3 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 知识点6 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 题型一 点斜式方程 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2. 过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 3. 分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 4. （多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 5. 已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型二 斜截式方程 6. 倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7. 已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（    ） A． B． C． D． 8. 已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 9. 已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 10. 已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 题型三 两点式方程 11. 已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 12. 已知在中，. （1） 求边的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 13. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 截距式方程 14. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 15. 过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 16. 将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 17. 过点作直线分别交，轴正半轴于，两点. (1)当时，求直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 18. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 19. 直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 题型六 一般式方程 20. 若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 21. 如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 22. 直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 23. 根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 题型七 直线过定点问题 24. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 25. 若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型八 由直线的位置关系求直线方程 26. 已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 27. 已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ） A．-2 B．-2或1 C．2 D．1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线的方程 目录 知识点1 直线的点斜式方程 2 知识点2 直线的斜截式方程 2 知识点3 直线的两点式方程 3 知识点4 直线的截距式方程 3 知识点5 直线的一般式方程 3 知识点6 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 3 题型一 点斜式方程 4 题型二 斜截式方程 6 题型三 两点式方程 7 题型四 截距式方程 9 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 10 题型六 一般式方程 11 题型七 直线过定点问题 14 题型八 由直线的位置关系求直线方程 14 知识点1 直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2 直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点3 直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4 直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 知识点6 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 题型一 点斜式方程 1. 过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 2. 过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 3. 分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)，图形见解析(2)，图形见解析(3)图形见解析 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 4. （多选）同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，， 对于A，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，在轴上的截距，即，符合题意，故C正确． 对于D，由图可得直线的斜率，在轴上的截距； 而的斜率，矛盾，故D错误.故选：BC. 5. 已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，直线的斜率，则直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程是，即. 故选：B 题型二 斜截式方程 6. 倾斜角为且在轴上的截距是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】倾斜角为，直线的斜率为1， 在轴上的截距是，直线方程. 故选：B. 7. 已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不经过第一象限，且，，均不为零， 化为， ，， 与必然同号，. 故选：D. 8. 已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 故答案为：. 9. 已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 10. 已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 题型三 两点式方程 11. 已知的三个顶点是，求： (1)边所在的直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由两点式可知 化简可得 即为边所在的直线的方程， （2）因为边上的高垂直，所以斜率为， 又点在高线上， 所以由点斜式可知 即 12. 已知在中，. （1） 求边的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用两点式方程直接写出直线方程，再化成一般式，再加上横坐标的范围； （2）设的中点为，求出点的坐标，再结合点的坐标，即可得答案； 【详解】（1）边过两点， 由两点式，得，即， 故边的方程是. （2）设的中点为， 则，所以， 又边的中线过点，所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为. 【点睛】本题考查直线方程的两点式和中点坐标公式，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为，因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即，故选：C． 题型四 截距式方程 14. 在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 15. 过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 16. 将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. （2）解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 17. 过点作直线分别交，轴正半轴于，两点. (1)当时，求直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）当时，为中点，则，， 此时直线的方程为：，即. （2）由题可知：直线的斜率存在，且， 设的方程为：，则，， 则，， ， 因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，当取最小值时，直线的方程为. 题型五 直线与坐标轴围成的三角形问题 18. 已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 19. 直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 题型六 一般式方程 20. 若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 【答案】C 【详解】该直线方程可以变形为, 由直线的斜率为1可得，解得或， 故选：. 21. 如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 22. 直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线l：的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：C 23. 根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 题型七 直线过定点问题 24. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【详解】令，解得，故经过定点坐标为. 故答案为： 25. 若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】直线过定点，且斜率， 故该直线不经过第三象限.故选：C. 题型八 由直线的位置关系求直线方程 26. 已知两条直线和，以下说法正确的是（   ）. A． B．与重合 C． D．与的夹角为 【答案】A 【详解】依题意，，所以，与的夹角为， 故A正确，B、C、D错误.故选：A 27. 已知直线与直线互相平行，则实数的值（    ） A．-2 B．-2或1 C．2 D．1 【答案】A【详解】由题意得，解得或， 当时，两直线都为，两直线重合，舍去； 当时，两直线分别为和，两直线平行，满足要求； 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $