13.2.1三角形的边 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形三边关系，通过基础巩固、中档提升、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形稳定性、三边关系直接判断|单选4（斜拉桥稳定性）、填空11（热水器三角形结构）考查直观应用| |中档|第三边取值范围、等腰三角形边长讨论|单选9（等腰三角形腰长计算）、填空13（含参数边长范围）强化运算能力| |拔高|方程与几何综合、分类讨论|填空14（方程与等腰三角形周长）、解答17（周长与形状判断）发展推理与应用意识|

13.1三角形的边 一、单选题 1．下列每组的三个数字分别代表三条线段的长度，能组成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 3．三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（     ） A．36 B．40 C．44 D．50 4．滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 5．下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 6．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 7．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 8．已知三角形的三边长分别为3，a，7，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 10．中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    12．设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 13．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 14．已知，，是等腰的三边长，满足，则的周长是_____． 15．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 三、解答题 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 17．已知的三边、、满足，，且． (1)求的取值范围； (2)若的周长为26，请判断的形状． 18．已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 19．已知等腰三角形一边长为，一边长为，且，求它的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1三角形的边 一、单选题 1．下列每组的三个数字分别代表三条线段的长度，能组成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用“较短两边之和大于最长边”判断三条线段能否组成三角形，符合条件的即为正确选项. 【详解】解：根据三角形三边关系，三条线段能组成三角形的条件是：较短两边之和大于最长边. 对选项A，最长边为，，∴不能组成三角形； 对选项B，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 对选项C，最长边为，，满足三边关系，∴能组成三角形； 对选项D，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 2．已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可得到结果． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 四个选项中只有在该范围内，因此第三边长可以是． 3．三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（     ） A．36 B．40 C．44 D．50 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，求和后选出正确选项． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 4．滨河公园的网红桥是座斜拉桥，斜拉桥是由拉索、主梁和塔柱形成的三角形结构，这样设计是利用了（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具备稳定性，桥梁搭建三角形结构设计是利用了三角形的稳定性． 5．下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最长边，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项B：较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项C：三边均为，较小两边和为，，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合题意． 选项D：设三条线段长分别为，较小两边和为，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意． 6．如图，小明为估计池塘岸边，间的距离，在池塘一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系定理，确定第三边的取值范围，进而判断选项即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据三角形的三边关系可得： ， 即 ，选项中只有符合该范围． 7．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， ∵两根木棒的长度分别为，， ∴，即 ∴第三根木棒的长度可以是． 8．已知三角形的三边长分别为3，a，7，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴根据三角形三边关系可得， 化简得． 9．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分两种情况：①当腰长为时，②当底边长为时，再结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：①当腰长为时，则底边长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意，舍去； ②当底边长为时，则腰长为， 三角形的三边长分别为，，，此时，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 综上，该等腰三角形的腰长为． 10．中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 在数轴上表示为： ． 二、填空题 11．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 12．设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合条件的三角形周长即可 【详解】解：，且平方与绝对值均为非负数， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去； 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， 此时三角形的周长为 13．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 14．已知，，是等腰的三边长，满足，则的周长是_____． 【答案】20或22 【分析】根据绝对值和平方的非负性，推出和的值，利用等腰三角形的两边相等，分情况讨论和两种情况时，求出对应的的周长即可，解题过程需要注意检验求出的三边是否满足三角形三边关系． 【详解】解： ，， ，． 为等腰三角形，且三边为，，， ①若、为腰，则，则底边，此时三边为6、6、8，满足三角形三边关系，周长为. ②若、为腰，则，底边，三边为6、8、8，满足三角形三边关系，周长为． 的周长为20或22． 15．太空漫步机是一种有氧运动器材，可以增强人体的心肺功能及下肢、腰部肌肉力量如图，一种双人漫步机的支架设计为三角形，这种设计应用的几何原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 【详解】解：太空漫步机是一种有氧运动器材，它的三角形支架设计应用的几何原理是三角形具有稳定性． 三、解答题 16．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 17．已知的三边、、满足，，且． (1)求的取值范围； (2)若的周长为26，请判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】（1）先通过已知等式将，用含的代数式表示，再结合三角形三边关系和的条件求出的取值范围； （2）根据周长求出的值，进而得到三边长，即可判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵， ∴变形整理得 两式相加得，即 两式相减得，即 ∵， ∴代入得， 解得 ∵， ∴代入得， 解得 ∵， ∴代入得， 解得 ， ， 解得 ， ∴的取值范围是； （2）的周长为 将代入得 解得，满足 将代入得， ，，有两边相等 是等腰三角形． 18．已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，理由： ， 线段， ， ， (2)不能构成三角形，理由： ， ， ， ， ，即、、不能构成三角形 【分析】（1）根据题意可得线段，再利用作差法即可解答； （2）得到，再利用作差法得到，结合三角形三边关系即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 19．已知等腰三角形一边长为，一边长为，且，求它的周长． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，从而得出，，根据等腰三角形的定义分类讨论，再结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 当腰长为时，，不能构成三角形； 当腰长为时，周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $