13.2.1三角形的边（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练以“三角形的边”为核心，通过A、B、C组及中考拓展的分层设计，构建从基础概念到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|含判断构成三角形、第三边范围等8类基础题型|聚焦单一知识点，如“等腰三角形边长与周长”，强化几何直观| |B组能力进阶|综合运用三边关系解决含参问题|通过“利用三边关系化简绝对值”等题型，发展推理能力| |C组思维拔高|多知识点融合的复杂情境题|如“四边形中等腰三角形对角线计算”，培养创新意识| |拓展链接中考|中考真题再现|对接“等腰三角形周长取值”等考点，体现应用意识|

分层作业 13.2.1三角形的边 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断线段能否构成三角形 题型02 选取线段构成三角形 题型03 求第三边取值范围 题型04 利用三角形三边关系化简绝对值 题型05 等腰三角形边长与周长 题型06 三角形的稳定性 题型07利用三角形三边关系解决综合问题 题型08 含参等腰三角形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )判断线段能否构成三角形 1． 下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 2．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 ( 题型 0 2 )选取线段构成三角形 4.长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 5.现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） ( 题型 0 3 )求第三边取值范围 5.已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． ( 题型 0 4 )利用三角形三边关系化简绝对值 7.若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8.已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为__________ ( 题型 0 5 )等腰三角形边长与周长 9.已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 10.等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为_________ 11.一个等腰三角形的周长是． (1)如果腰长是底边的3倍，求出三角形各边的长是多少？ (2)能围成一边是的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由． ( 题型 0 6 )三角形的稳定性 12.桥都重庆桥梁总数超过2万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（     ） A．三角形的内角和为 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 13.劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． ( 题型 0 7 )利用三角形三边关系解决综合问题 14.小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 15已知的三边长为a，b，c，且a，b，c均为整数． (1)若，，求边长c的取值范围； (2)在（1）的条件下，若c为奇数，求的周长． 16.已知，，，为的三边长，且满足， (1)求的取值范围； (2)若的周长为18，求的值． ( 题型 0 8 )含参等腰三角形 17.等腰三角形的两边长为和，周长为28，求底边的长度 18.一个等腰三角形的三边长分别为、、,求此等腰三角形的周长 1． 如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知a，b，c为的三边长，b，c满足等式，且a为方程的解，则的周长是_______． 3.用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)所围成的等腰三角形的一边长为，求另两边长． (3)若所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围． 4.（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长； （2）一个等腰三角形的周长为，一边与另一边的差是，求三边的长； （3）等腰三角形的腰长是整数，周长是8，求它的各边长． 5.用一条长44cm的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm． （1）用含x的式子直接表示第三条边长： （2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长； （3）若第一条边长最短，直接写出x的取值范围． 1.等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 3．小刚准备用一段长 50 米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡． 已知第一条边长为m 米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的 3 倍少2 米．若第一条边长最短，则m 的取值范围是 ． 4．已知在中，，，求三角形周长的取值范围． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 3．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.2.1三角形的概念 参考答案 ( 题型 0 1 )判断线段能否构成三角形 1． D 2．B ( 题型 0 2 )选取线段构成三角形 4. 16或17 5. ，，（或，，） ( 题型 0 3 )求第三边取值范围 5.A 6. ( 题型 0 4 )利用三角形三边关系化简绝对值 7.A 8. ( 题型 0 5 )等腰三角形边长与周长 9.12 10. 或 11.（1）解：设该等腰三角形的底边长为， 该等腰三角形的腰长是底边的3倍， 腰长为 ， 又等腰三角形的周长是， ， 解得：， ， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 该三角形各边的长分别是； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形， 有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长是时，设底边长为， 等腰三角形的周长是， ， 解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，不满足构成三角形的条件， 此种情况不存在； ②当该等腰三角形的底边长是时，设腰长为， 等腰三角形的周长是， ，解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 综上所述：能围成一个底边长腰长为的等腰三角形，该等腰三角形的另两边长分别为， ( 题型 0 6 )三角形的稳定性 12.B 13.A ( 题型 0 7 )利用三角形三边关系解决综合问题 14.（1）解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． （2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 15（1）解：∵的三边长为a，b，c，且，， ∴，即， ∴； （2）解：∵在（1）的条件下，c为奇数， ∴或， 当时，的周长， 当时，的周长， 综上所述，的周长为10或12． 16.（1）解：，，分别为的三边，，， 解得：； （2）的周长为18，， ， 解得． ( 题型 0 8 )含参等腰三角形 17. 解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 18.解：若=，则x=2，则三边为3,3,4，符合条件，周长为10； 若=，则x=1，则三边为1，1，2 无法构成三角形. 若=，则x=，则三边为，，2，符合条件，周长为7； 综上该等腰三角形的周长为10或7. 1．C 2.7 3.（1）解：设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据题意，得 ，     解方程，得， 所以三角形三边长为3，9，9． （2）若底边长为，设腰长为，根据题意，得， 解方程，得， 若腰长为，设底边长为，根据题意，得 ， 解方程，得 ， 由于，可知为腰长不能构成周长的等腰三角形． 所以三角形另外两边长都是． （3）∵等腰三角形的腰长为， ∴等腰三角形的底边长为，由，得， ∴的取值范围为：． 4.解： （1）设腰长为 底边长为 则 解得： 所以三角形的三边长分别为： （2）设腰长为 则底边长为或 当腰长为 底边长为时，则 此时三角形不存在，舍去， 当腰长为 底边长为时，则 所以三角形的三边分别为：，此时三角形存在， （3）设腰长为 底边长为，都为整数，则 而 所以：＜＜，且是2的倍数， 所以三角形的三边长为： 5.（1）第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm，则第二条边长为cm， 第三边长为， （2）已知三角形的三边长分别为， ①当， 解得，则底边长为， ， 此情况不存在， ②当， 解得，则底边长为， ， 此情况不存在， ③当， 解得，则底边长为，两腰的长分别为， 综上所述，若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长分别为； （3）依题意， 解得 1.C 2. 3. 4． 解：， 设， ， 这个三角形的周长， 由三角形三边关系定理得到：， ， ， ， ， ． 1．B 2．C 3．9 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.2.1三角形的边 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断线段能否构成三角形 题型02 选取线段构成三角形 题型03 求第三边取值范围 题型04 利用三角形三边关系化简绝对值 题型05 等腰三角形边长与周长 题型06 三角形的稳定性 题型07利用三角形三边关系解决综合问题 题型08 含参等腰三角形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )判断线段能否构成三角形 1． 下列各组线段长度，不能够构成三角形三边的是（   ） A．2，4，5 B．4，6，9 C．5，5，9 D．3，6，9 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若大于则能构成，反之不能构成． 【详解】解：∵选项A中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项B中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C中，，满足三边关系，能构成三角形； 选项D中，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． 2．下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据构成四边形的条件“最长线段的长度小于另外三条线段的长度和”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意； B．最长边为，，故能构成四边形，符合题意； C．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意； D．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意． ( 题型 0 2 )选取线段构成三角形 4.长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 【答案】16或17/17或16 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形； ，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17； 6，11，，，不能组成三角形； 6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，11，，，不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为16或17． 故答案为：16或17． 5.现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【答案】，，（或，，） 【知识点】构成三角形的条件 【分析】先列举从4根木条中任取3根的所有组合，再利用三角形三边关系判断各组合能否构成三角形，任写一种符合条件的组合即可． 【详解】解：从长度为，，，的4根木条中任取3根，所有组合为：，，；，，；，，；，，． ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形； ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形 综上：，，；，，这两种组合能构成三角形． ( 题型 0 3 )求第三边取值范围 5.已知三角形的三边长分别为，若为奇数，则这样的三角形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合为正奇数确定符合条件的的个数，即可得到答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系可得，， 整理得， ∵为奇数， ∴满足条件的奇数只有，共个，即这样的三角形有个． 6.一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、求不等式组的解集 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． ( 题型 0 4 )利用三角形三边关系化简绝对值 7.若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边的关系，化简绝对值和整式的加减运算，先利用三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行整式的加减运算即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 8.已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为__________ 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． ( 题型 0 5 )等腰三角形边长与周长 9.已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】12 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，不满足三角形三边关系，舍去 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是12． 10.等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为_________ 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 11.一个等腰三角形的周长是． (1)如果腰长是底边的3倍，求出三角形各边的长是多少？ (2)能围成一边是的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)能围成一边是的等腰三角形，其它两边长分别为， 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是易错点． （1）设该等腰三角形的底边长为a，则腰长为 ，依题意得，由此解得，则此时该等腰三角形的三边长分别为，满足构成三角形的条件，据此即可得出该三角形各边的长； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形，分两种情况讨论如下：①该等腰三角形的腰长是时，则底边为，不满足构成三角形的条件；②当该等腰三角形的底边长是时，则腰长为，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为， 该等腰三角形的腰长是底边的3倍， 腰长为 ， 又等腰三角形的周长是， ， 解得：， ， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 该三角形各边的长分别是； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形， 有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长是时，设底边长为， 等腰三角形的周长是， ， 解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，不满足构成三角形的条件， 此种情况不存在； ②当该等腰三角形的底边长是时，设腰长为， 等腰三角形的周长是， ，解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 综上所述：能围成一个底边长腰长为的等腰三角形，该等腰三角形的另两边长分别为， ( 题型 0 6 )三角形的稳定性 12.桥都重庆桥梁总数超过2万座，桥的类型丰富多样，每一座桥都有着独特的设计和建造技术．如图，千厮门大桥在建造时采用斜拉索设计．这种设计蕴含的数学原理是（     ） A．三角形的内角和为 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】三角形的稳定性及应用 【详解】解：由题意得这种设计蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 13.劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． ( 题型 0 7 )利用三角形三边关系解决综合问题 14.小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架． (1)若x为奇数，求x的值； (2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)或或或 (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可； （2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵x为奇数， ∴x的值为5或7或9或11． （2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形， ∴或， 当时，三边长为4，8，4， 由于，不满足三角形的三边关系，故舍去； 当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系， ∴这个等腰三角形的周长为． 15已知的三边长为a，b，c，且a，b，c均为整数． (1)若，，求边长c的取值范围； (2)在（1）的条件下，若c为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)10或12 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）由三角形三边关系可得，即可得解； （2）由题意可得或，再分两种情况，结合三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵的三边长为a，b，c，且，， ∴，即， ∴； （2）解：∵在（1）的条件下，c为奇数， ∴或， 当时，的周长， 当时，的周长， 综上所述，的周长为10或12． 16.已知，，，为的三边长，且满足， (1)求的取值范围； (2)若的周长为18，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式组求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：，，分别为的三边，，， 解得：； （2）的周长为18，， ， 解得． ( 题型 0 8 )含参等腰三角形 17.等腰三角形的两边长为和，周长为28，求底边的长度 【答案】8或或4 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结果． 【详解】解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 18.一个等腰三角形的三边长分别为、、,求此等腰三角形的周长 【答案】10或7 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】三边的长度都不清楚，所以需要讨论三种情况，然后找出能组成三角形的组合，算出答案. 【详解】解：若=，则x=2，则三边为3,3,4，符合条件，周长为10； 若=，则x=1，则三边为1，1，2 无法构成三角形. 若=，则x=，则三边为，，2，符合条件，周长为7； 综上该等腰三角形的周长为10或7. 【点睛】求三角形的周长一定要注意三边能否构成三角形. 1．如图，四边形中，，，，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据构成三角形的条件可得，则由等腰三角形的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为等腰三角形，且，， ∴， 故选：C． 2.已知a，b，c为的三边长，b，c满足等式，且a为方程的解，则的周长是_______． 【答案】 7 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】先求出，，根据三角形的三边关系求出，当时，2，3，6不能组成三角形，不符合题意，舍去，当时，2，2，3能组成三角形，则的周长是，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得或2， 当时，， ∴2，3，6不能组成三角形，不符合题意，舍去， 当时，， ∴2，2，3能组成三角形， ∴的周长是． 3.用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的3倍，求各边长； (2)所围成的等腰三角形的一边长为，求另两边长． (3)若所围成的等腰三角形的腰长为，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)三角形三边长为3，9，9； (2)三角形另外两边长都是； (3)． 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】（1）设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解，并利用三角形三边关系进行检验； （3）根据题意不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设等腰三角形底边长为，则腰长为，根据题意，得 ，     解方程，得， 所以三角形三边长为3，9，9． （2）若底边长为，设腰长为，根据题意，得， 解方程，得， 若腰长为，设底边长为，根据题意，得 ， 解方程，得 ， 由于，可知为腰长不能构成周长的等腰三角形． 所以三角形另外两边长都是． （3）∵等腰三角形的腰长为， ∴等腰三角形的底边长为，由，得， ∴的取值范围为：． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 4.（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长； （2）一个等腰三角形的周长为，一边与另一边的差是，求三边的长； （3）等腰三角形的腰长是整数，周长是8，求它的各边长． 【答案】（1）6，6，6；（2），，；（3）3，3，2 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、等腰三角形的定义 【分析】 （1）设腰长为 底边长为再根据周长为18，腰长的3倍比底边的2倍多6，列方程组，再解方程组可得答案； （2）设腰长为 则底边长为或 再分两种情况讨论，结合三角形的周长求解 再结合三角形的三边关系可得答案； （3）设腰长为 底边长为，都为整数，再利用三角形三边关系求解的范围，利用周长为8列方程，从而可得答案. 【详解】解： （1）设腰长为 底边长为 则 解得： 所以三角形的三边长分别为： （2）设腰长为 则底边长为或 当腰长为 底边长为时，则 此时三角形不存在，舍去， 当腰长为 底边长为时，则 所以三角形的三边分别为：，此时三角形存在， （3）设腰长为 底边长为，都为整数，则 而 所以：＜＜，且是2的倍数， 所以三角形的三边长为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等，灵活应用分类讨论，方程思想是解本题的关键. 5.用一条长44cm的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm． （1）用含x的式子直接表示第三条边长： （2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长； （3）若第一条边长最短，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】（1）根据题意表示出第二条边长，进而根据三角形的周长公式，即可求得第三边的长； （2）由（1）的结论可知三边的长度，进而分类讨论即可，同时注意满足构成三角形的条件； （3）依题意列出不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围． 【详解】（1）第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm，则第二条边长为cm， 第三边长为， （2）已知三角形的三边长分别为， ①当， 解得，则底边长为， ， 此情况不存在， ②当， 解得，则底边长为， ， 此情况不存在， ③当， 解得，则底边长为，两腰的长分别为， 综上所述，若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长分别为； （3）依题意， 解得 【点睛】本题考查了列代数式，等腰三角的定义，构成三角形的条件，一元一次不等式组的应用，理解题意分类讨论是解题的关键． 1.等腰三角形的周长为12，则腰长可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解不等式，三角形的三边关系等知识，解题的关键是确定x的取值范围． 设腰长为x，底边长为y．利用三角形的三边关系确定x的取值范围即可判断； 【详解】设腰长为x，底边长为y， 根据题意得， ∴， 由，得， 由，得， ∴， ∴腰长可能是5． 故选：C． 2．已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围 【分析】设，根据的周长用表示出和的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：设，由可得， 又∵的周长为， ∴． 则，解得：， 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解第三个不等式得， 综上得，， 即． 3.小刚准备用一段长 50 米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡． 已知第一条边长为m 米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的 3 倍少2 米．若第一条边长最短，则m 的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【详解】第二条边长为(3m−2)米， ∴第三条边长为50−m−(3m−2)=(52−4m)米； 由题意,得 解得<m<9. 故答案为<m<9. 【点睛】考查列代数式以及三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组是解题的关键. 4．已知在中，，，求三角形周长的取值范围． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】设，，结合三角形的三边关系列出不等式，进而求出周长的取值范围即可解答． 【详解】解：， 设， ， 这个三角形的周长， 由三角形三边关系定理得到：， ， ， ， ， ． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解、构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 3．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 【答案】9 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大值，即可得到三角形周长的最大值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长，即第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $