培优02三角函数的最值与值域问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

培优02 三角函数的最值与值域 【考点归纳】 三角函数的最值问题，实质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用。 1、注意函数的定义域 2、注意正余弦函数的有界性 3、注意挖掘 隐含条件 4、注意利用 数形结合 5、注意揭示 内在联系 6、注意 变形的等价性 【题型归纳】 题型1 题型2 题型3 题型4 题型5 题型6 题型1 S1 根据正余弦函数的有界性； S2 整体法： 先求或的最值或值域，再令，的范围，最后由正弦(余弦)函数的有界性以及单调性或者图象求值域（最值）。 典例1 已知函数y=acosx+b（a<0）的最大值是1，最小值是-3，试确定的单调递增区间. 【分析】看成关于cosx的一次函数，由一次函数单调性确定a,b,再求单调区间. 变式1-1 函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合定义域，根据的范围求范围，再利用整体法求得cos，最后求得结果。 【详解】，，， ，， ，即， 函数，的值域为. 变式1-2 已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据最小正周期可以求出参数，再结合函数的单调性求出最值. 【详解】化简原函数得，即 由函数的最小正周期为，可得，所以. 因为，所以时，则， 由，得，， 所以，故选A. 题型2 形如 ，其中 叫辅助角公式 1.主要两个特殊角 型，找： 型，找：， 2 类似型函数，把函数形式变成，再利用三角函数的有界性。 3. 注意合成一个角三角函数一定要再逆向检验看合成是否正确。 4. 选择余弦还是正弦看哪个后续研究方便。 典例2 已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简函数的解析式，然后根据是奇函数求出的值，然后根据正弦函数的性质和的范围确定的最大值. 【详解】因为， 所以. 因为为奇函数，所以. 所以. 当时，， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 变式2-1已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数的解析式，利用正弦函数、余弦函数的基本性质可求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】因为， 当时，即当时， ，即， 此时，； 当时，即当时， ，则， 此时，， 所以，函数的值域为，即，， 因此，函数最大值与最小值之差为. 故选：C. 题型3 利用换元法和二次函数给定区间最值求解 设sin x＝t，化为关于的二次函数求值域(最值)，注意新元t的范围 = 典例3 求函数在上的值域？ 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 变式3-1 函数的值域是____________ 【答案】 【分析】由转化为二次函数求解. 【解析】因为， 由，故， 即. 故答案为： 题型4 分式型：分离常数、换元、数形结合、几何意义 分子、分母含cosx或sinx,先换元再求解或反解利用有界性。 分子分母含cosx和sinx，转化为再解。 典例4．函数的值域？ 【分析】将函数式化简，解法一是分离常数，解法二是去分母反解；再利用正弦函数的有界性求出函数的值域； 【解析】解法一： 因为，所以 ∴或，∴或 故的值域为 解法二：由，得，易知， 所以，则，解得或 故的值域为． 变式4-1 求函数的值域？ 【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域； 【解析】∵， ∴， ∴， ∴， ∴，其中． ∴， ∵，∴， ∴， 平方整理得，解得， ∴函数的值域为． 题型5 典例5 求函数的值域？ 【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】化简得，令，则， 由，则函数的值域为. 变式5-1 已知函数，的值域为，求实数的取值范围？ 【分析】将函数式化简，化为利用一元二次函数即可求解. 【解析】， 设，，函数的对称轴为 且，，， 因为函数在区间的值域为， 所以在区间上能取得，但是不能小于0， 所以.即a的取值范围是 题型6 江湖称“三兄弟” s（或 ; ； 关系是； 遇求的最值，则令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 典例6 函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为，借助辅助角公式可得的范围，结合二次函数性质即可得其最大值. 【详解】令，则， 由， 故， 即， 由，故的最大值为.故选：B. 变式6-1 已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的性质求解． 【解析】在上，，在上，， 由题意，函数在两个区间上最值相同，且最小值为， 即两区间左端点函数值均为最小值， 所以两区间右端点函数值不能小于，但两区间内最大值相同， 如图的部分图象，数形结合得且，即. 故选：A 题型7 相关的新定义题型 典例7定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)探究“余正弦”函数的值域. 【答案】（1）R;（2） 【解析】（1）的定义域为. （2）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 变式7-1 已知函数，. (1)求的最大值并写出取得最大值时x的集合 (2)定义，，求函数的最小值 【答案】（1）;（2）; 【解析】（1）因为，故， 故，此时即即. 对应的的集合为； （2）由（2）可知，，， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，， 综上，，故. 【体验高考】 一、单选题 1.已知函数在区间上的最小值是-2， 则的最小值等于（ ） A B C 2 D 3 【分析】由x的范围求出的范围为满足解得 【解析】 又 故选：B. 2.若函数的且最小值等于 则正数 的值为（ ） A B C D 【解析】 3.若函数的图像关于点中心对称则的最小值为 A B C D 4. 将函数的图象向右平移 个单位的到函数 的图象，若对满足 的有 则 （ ） A. B. C. D. 【解析】 答案 D 二、填空题 1、如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________. 答案 8 2. 设当时,函数取得最大值,则______. 3.已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈ . 若a= ,θ= 时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值________ 4.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是______ 5.当函数y=sin x-cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=　　　　.  三、解答题 1.已知函数． (Ⅰ) 求的最小正周期； (Ⅱ) 求在区间上的最小值． 2.已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 3.已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 【作 业】 1.（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（  ） A．-4 B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】对分类讨论，结合余弦函数的有界性，用表示出的最值，得到关于的方程，求解即可. 【解析】当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或. 故选:AC 2．函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的性质求解 【解析】由，可得，则. 故选：A. 3.函数的值域为 . 【答案】 【解析】由转化为二次函数求解. 【解析】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 4．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求解 【解析】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. 5．函数的值域为____________ 【答案】 【解析】由转化为二次函数求解. 【解析】因为 令，则 所以，所以，故函数的值域为 故答案为： 6.函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】由，令，则， 由，则函数的值域为. 故选：C. 7.已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 【详解】因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 8.函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，， 可得，， ，故. 故选：B. 9.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行化简，然后根据正弦函数的范围列出不等式，然后求得一元二次不等式的解集即可. 【详解】原式可化为． 由辅助角公式，得， ∴，整理得， 解得. 故选：B． 10.已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【详解】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 三角函数的最值与值域 【考点归纳】 三角函数的最值问题，实质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此求函数最值的方法都能使用。 1、 注意函数的定义域 2、注意正余弦函数的有界性 3、注意挖掘隐含条件 4、注意利用 数形结合 5、注意揭示 内在联系 6、注意 变形的等价性 【题型归纳】 题型1 题型2 题型3 题型4 题型5 题型6 题型1 S1 根据正余弦函数的有界性； S2 整体法： 先求或的最值或值域，再令，的范围，最后由正弦(余弦)函数的有界性以及单调性或者图象求值域（最值）。 典例1 已知函数y=acosx+b（a<0）的最大值是1，最小值是-3，试确定的单调递增区间. 变式1-1 函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式1-2 已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 题型2 形如 ，其中 叫辅助角公式。 1.主要两个特殊角 型，找： 型，找：， 2 类似型函数，把函数形式变成，再利用三角函数的有界性。 3. 注意合成一个角三角函数一定要再逆向检验看合成是否正确。 4. 选择余弦还是正弦看哪个后续研究方便。 典例2 已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式2-1 已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用换元法和二次函数给定区间最值求解 设sin x＝t，化为关于的二次函数求值域(最值)，注意新元t的范围 = 典例3 求函数在上的值域？ 变式3-1 函数的值域是____________ 题型4 分式型：分离常数、换元、数形结合、几何意义 分子分母含cosx或sinx,先换元在求解或反解利用有界性。 分子分母含cosx和sinx，转化为再解。 典例4 函数的值域？ 变式4-1 求函数的值域？ 题型5 典例5 求函数的值域？ 变式5-1 已知函数，的值域为，求实数的取值范围？ 题型6 江湖称“三兄弟” s（或 ; ； 关系是； 遇求的最值，则令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 典例6 函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1 已知函数在区间上的值域均为，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型7 相关的新定义题型 典例7定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)探究“余正弦”函数的值域. 变式7-1 已知函数，. (1)求的最大值并写出取得最大值时x的集合 (2)定义，，求函数的最小值 【体验高考】 一、单选题 1.已知函数在区间上的最小值是-2， 则的最小值等于（ ） A. B. C. 2 D . 3 2.若函数的且最小值等于 则正数 的值为（ ） A. B. C. D. 3.若函数的图像关于点中心对称则的最小值为 A. B. C. D。 4. 将函数的图象向右平移 个单位的到函数 的图象，若对满足 的有 则 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 1、如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________. 2.设当时,函数取得最大值,则______. 3.已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈ . 若a= ,θ= 时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值________ ; 4.将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是______ 5.当函数y=sin x-cos x(0≤x<2π)取得最大值时,x=　　　　.  三、解答题 1.已知函数． (Ⅰ) 求的最小正周期； (Ⅱ) 求在区间上的最小值． 2.已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最小值． 3.已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 【作 业】 1.（多选）若函数的最大值是4，最小值是，则（  ） A．-4 B．1 C．2 D．3 2．单选题 函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 3.函数的值域为 . 4．函数的值域为 ． 5．函数的值域为____________ 6.单选题函数的值域是（   ） A． B． C． D． 7.单选题已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8.单选题函数的值域是（  ） A． B． C． D． 9.单选题函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10.解答题 已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $