第二章 章末总结（二）一元一次函数、方程和不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学讲义以不等式为核心，通过题型分类构建知识体系，涵盖性质应用、一元二次不等式解法等四大题型。用表格归纳“类题通法”，结合例题解析和迁移运用题，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，如例3结合基本不等式求最值培养数学运算素养，类题通法强调作差法、特殊值法提升逻辑推理能力。含基础迁移题与高考真题，助力不同层次学生巩固提升，也为教师精准教学提供系统支持。

题型一　不等式的性质与应用 1．不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养． 例1　若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　 ) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y 解析：选C.因为当a≠0时，|a|>0，由x>y，得|a|x>|a|y，当a＝0时，|a|x＝|a|y，因此|a|x≥|a|y，故C正确； 选项A，B，D均不满足不等式性质，故不正确． 类题通法 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法． (2) 应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法． 【迁移运用】 1.已知2<a<3，且－2<b<－1，则的取值范围是________． 解析：因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<， 所以<<2. 答案：{|<<2} 题型二　一元二次不等式的解法 1．掌握一元二次不等式及分式不等式的解法． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 例2　已知关于x的不等式2kx2＋kx－<0. (1)若不等式的解集为，求实数k的值； (2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 解：(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集为{x|－<x<1}， 则－和1是2kx2＋kx－＝0的两实根， 由根与系数的关系得－×1＝， 解得k＝. (2)若关于x的不等式2kx2＋kx－<0解集为R， 则k＝0或 解得k＝0或－3<k<0. 故实数k的取值范围为{k|－3<k≤0}． 类题通法 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后分解因式变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点，也是一元二次方程的根. 【迁移运用】 2.若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集． 解：(1)依题意可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2. 由根与系数的关系得×2＝， 解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式得>3， 整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}． 题型三　基本不等式及其应用 1．基本不等式是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3　(多选)已知正数x，y，满足x＋y＝2 ，则下列选项正确的是(　　 ) A．＋的最小值是2 B．xy的最大值是1 C．x2＋y2的最小值是1 D．x(y＋1)的最大值是 解析：选AB.对于A，因为正数x，y，满足x＋y＝2，所以＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝2，当且仅当＝，即x＝y＝1时取等号，故A正确； 对于B，x＋y＝2≥2，所以xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故B正确； 对于C，因为x＋y＝2，即y＝2－x，且0<x<2，x2＋y2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，由抛物线的性质可得，当x＝1时，最小值为2，故C错误； 对于D，由C可得x(y＋1)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋，当x＝时，最大值为，故D错误． 类题通法 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． 【迁移运用】 3.(多选)(2025·安徽期中)已知正数a，b满足4a＋b＋ab＝12，则下列结论正确的是(　　 ) A．ab的最大值为4 B．4a＋b的最小值为8 C．a＋b的最小值为3 D．＋的最小值 解析：选ABD.因为正数a，b满足4a＋b＋ab＝12，所以12－ab＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时等号成立，解得0<≤2，所以0<ab≤4，故ab的最大值为4，故A正确； 12－(4a＋b)＝ab≤4，所以8≤4a＋b，所以4a＋b的最小值为8，当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时等号成立，故B正确； 由4a＋b＋ab＝12可得(a＋1)(b＋4)＝16，所以a＋b＝(a＋1)＋(b＋4)－5≥2－5＝3，当且仅当a＋1＝b＋4时等号成立，此时a＝3，b＝0，又b为正数，矛盾，故C错误； ＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即a＝1，b＝4时等号成立，故D正确． 题型四　不等式恒成立问题 1．熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 2．掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例4　不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的最大值与最小值之和为(　　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：选A.x2－2x＋5＝(x－1)2＋4在x＝1时取得最小值4，故只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即a的最小值为－1，最大值为4，最大值与最小值之和为3. 类题通法 解决不等式恒成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合． (2)分离参数法． (3)转化为最大(小)值问题． 【迁移运用】 4.已知当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　 ) A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 解析：选D.因为1≤x≤2， 所以由x2－ax>0⇒x－a>0⇒a<x， 则有a<1. 1．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为______． 　人教A版必修第一册P52例3. 　解一元二次不等式是高考中的常见题型，直接考查主要利用三个“二次”关系，结合图形解不等式，含参数时需要注意讨论参数对解集的影响，也常和函数、数列、集合等知识点结合，综合考查． 　解一元二次不等式的关键在于理解其与二次函数和一元二次方程的关系，一元二次方程的根就是不等式的临界点，也是函数图象与x轴交点的横坐标． 　 方程x2－2x－3＝0的解为x＝－1或x＝3，故不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}． 答案：{x|－1<x<3}． 2．(2024·全国甲卷)已知实数a，b满足a＋b≥3. (1)证明：2a2＋2b2>a＋b； (2)证明：|a－2b2|＋|b－2a2|≥6. 　人教A版必修第一册P39 探究． 　不等式在高考中是一个重要考点，题型多样，难度从基础到综合不等，本题是在学习了作差法比大小、基本不等式、绝对值不等式的基础上综合考查的． 　在运用基本不等式和处理绝对值不等式的过程中，都需要进行准确的代数运算，包括式子的化简、变形、求解等，把所给不等式问题转化为熟悉的形式． 　 (1)因为2a2＋2b2－(a＋b)2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 当a＝b时等号成立，则2a2＋2b2≥(a＋b)2， 因为a＋b≥3，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2>a＋b. (2)|a－2b2|＋|b－2a2|≥|a－2b2＋b－2a2|＝|a＋b－(2a2＋2b2)|＝2a2＋2b2－(a＋b)≥(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)≥3×2＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $