精品解析：浙江省金华市开发区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期八年级期末学业水平检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 选择题部分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（　 ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知一组数据：7，8，8，9，如果再添加一个数据8，得到一组新的数据，与原数据相比，发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 7. 如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、丙才是 C. 只有甲、乙才是 D. 只有乙、丙才是 10. 如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 已知5个数据的离差平方和是5，则这组数据的方差等于_________． 13. 设是方程的两个根，则的值为___________． 14. 如图，的面积为，点是边上的一点，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 16. 如图，在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接，作点关于的对称点，连结、．的平分线与延长线相交于点．①当点落在上时，的长是_________；②若点运动到点处，此时点到直线的距离是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，．延长，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，连结，恰好，求的面积． 20. 为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， （2）本次调查样本中数据的众数为 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 21. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为，，两点均在小正方形的顶点上．请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画一个正方形； （2）在图2中画一个菱形； （3）在图3中画以，，，为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于． 22. 依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． （1）当该函数图象经过原点时，求k的值； （2）当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； （3）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 24. 在矩形纸片中，，，点为边上一动点，将沿折叠，得到，点的对应点为． （1）如图1，若点恰好落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，若点恰好落在对角线上时，求的长； （3）如图3，当点落在矩形内部时，将展平后，过点作的平行线，分别交、于点、．作，为垂足．问的长度为何值时，矩形纸片或矩形纸片的长宽比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级期末学业水平检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号，并在试卷首页指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 选择题部分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵最简二次根式的定义为被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式， 对选项A，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对选项C，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项D，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项B，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一作判断． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合的图形． 选项A，是中心对称图形； 选项B，是轴对称图形； 选项C，既是轴对称图形，又是中心对称图形； 选项D，是中心对称图形． 3. 用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，据此分析即可得到答案. 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原命题的结论不成立，本题要证明的结论是， ∴ 第一步应先假设. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可以是（　 ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 5. 已知一组数据：7，8，8，9，如果再添加一个数据8，得到一组新的数据，与原数据相比，发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算原数据和新数据的四个统计量，对比即可得到发生变化的统计量． 【详解】解：原数据为7，8，8，9， 原数据平均数：， 原数据中位数：排序后中间两数的平均数为， 原数据众数：出现次数最多的数为8， 原数据方差：， 新数据为7，8，8，8，9， 新数据平均数：，与原数据相等，没有变化； 新数据中位数：排序后中间数为8，与原数据相等，没有变化； 新数据众数：出现次数最多的数为8，与原数据相等，没有变化； 新数据方差：，与原数据不同，发生变化． 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 7. 如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，为的中点， ． 8. 二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 9. 如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、丙才是 C. 只有甲、乙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 甲：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲正确； 乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确； 丙：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故丙正确； 故选：B． 10. 如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获取的长度以及的值，结合菱形性质求出边长和对角线，判定的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出边上的高． 【详解】解：由图2可知，当时，，此时点M在点O处， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，． 由图2可知，当时，点M到达点D， 此时运动路程为， ∴， ∴． ∵， ∴，即是等边三角形． 当时，为等边的高， ∴． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件、一元一次不等式．根据被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式即可． 【详解】解：由题意，得 ． ． 12. 已知5个数据的离差平方和是5，则这组数据的方差等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据的个数，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵数据的离差平方和为，且数据共有个， ∴这组数据的方差为． 13. 设是方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，，再由，代入计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握，是解题的关键． 14. 如图，的面积为，点是边上的一点，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可推出，，再根据面积的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ∴， ∴，， ∵与同底等高， ∴， ∴． 15. 2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 16. 如图，在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接，作点关于的对称点，连结、．的平分线与延长线相交于点．①当点落在上时，的长是_________；②若点运动到点处，此时点到直线的距离是_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①根据勾股定理求得，设，依题意，，，则，在中，根据勾股定理，即可求解； ②点运动到点处，作交的延长线于点，作交的延长线于点，，证明求得，进而证明四边形是矩形，得出，设，进入根据勾股定理即可求解． 【详解】解：①如图，当点落在上时， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设 依题意，，，则， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得：，即的长为； ②如图，点运动到点处，作交的延长线于点，作交的延长线于点， 由题意知，， 平分，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，同理是矩形， ∴， 设 在中， ∴ 解得：，即点到的距离是 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算的法则进行计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原方程为 提取公因式得 可得或 解得， 【小问2详解】 原方程为 移项得 提取公因式得 可得或 解得， 19. 如图，在四边形中，，的平分线交于点，．延长，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，连结，恰好，求的面积． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，则可证，结合即可得结论； （2）由，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 在中，， ， 平行四边形的面积． 20. 为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， （2）本次调查样本中数据的众数为 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 【答案】（1）28，， （2） （3）120 【解析】 【分析】（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第12、13个数据（均为6）和第25、26个数据（均为7），得b、c的值； （2）众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有6人、有8人、有12人、有14人、有6人、有4人．对比人数，的人数最多，则问题可求解； （3）先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：， 根据样本容量50， 计算各时间段人数：：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数： 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中， 第12、13个数据均为，故； 【小问2详解】 解：众数是一组数据中出现次数最多的数， 由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； 【小问3详解】 解：时间不少于的学生，对应和两个时间段， 总占比为：， 该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人）， 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人． 21. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为，，两点均在小正方形的顶点上．请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画一个正方形； （2）在图2中画一个菱形； （3）在图3中画以，，，为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于． 【答案】（1）如图，正方形即为所求， （2）如图，菱形即为所求， （3）如图，平行四边形即为所求， （答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）借助网格作且，则四边形是正方形； （2）借助网格作，则四边形是菱形； （3）借助网格作，，则四边形是平行四边形且对角线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）每袋酥饼需要降价元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． （1）当该函数图象经过原点时，求k的值； （2）当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； （3）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 24. 在矩形纸片中，，，点为边上一动点，将沿折叠，得到，点的对应点为． （1）如图1，若点恰好落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，若点恰好落在对角线上时，求的长； （3）如图3，当点落在矩形内部时，将展平后，过点作的平行线，分别交、于点、．作，为垂足．问的长度为何值时，矩形纸片或矩形纸片的长宽比为． 【答案】（1）四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴四边形是矩形． （2） （3）的长度为或或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质与折叠的性质可得，，因此四边形是矩形； （2）设，则，由勾股定理可得，由折叠可得，，，从而得到．在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设，分为，，和四类讨论，由折叠的性质可得，，．在中，利用勾股定理构造方程计算出和．在中，再次利用勾股定理构造方程计算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ①当时， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得； ②当时， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得； ③当时，设，则， ∴，， 在中，， ∴， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∴，，， 在中，， ∴， 解得； ④当时，设，则， ∴，， 在中，， ∴， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∵点在矩形的内部， ∴，即， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，当的长度为或或时，矩形纸片或矩形纸片的长宽比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $