25.1　一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义。通过矩形铁皮制作方盒和排球邀请赛情境导入，引导学生抽象方程，对比一元一次方程归纳共同点，构建从实际到概念的学习支架。 亮点是问题驱动教学，以现实情境培养数学眼光，对比观察发展数学思维，例题变式训练数学语言。如矩形铁皮问题抽象方程，课堂小结梳理认知逻辑。助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供结构化资源，提升教学效果。

一元二次方程的概念 第二十五章　一元二次方程 25.1 探究与应用 问题1　如图25-1-1,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒(图25-1-2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮?设各角切去 的正方形铁皮的边长为x cm,则列方程 为　　　　　 　　　(不必化简).  活动1　理解一元二次方程的概念与一般形式 问题情境 图25-1-1 (100-2x)(50-2x)=3600 图25-1-2 问题2　要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参赛?设应邀请x支球队参赛,则列方程为　　　 　(不必化简).  x(x-1)=28 将上述问题情境中列出的方程化简,并按所含未知数的降幂排列,等号右边变为0,得到两个方程x2-75x+350=0①;x2-x-56=0②. (1)方程①②与一元一次方程的区别在哪里?   引发思考 解:(1)未知数的最高次数是2. (2)方程①和②有什么共同点?   解:(2)①都是整式方程;②都只含有一个未知数;③未知数的 最高次数都是2. 关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数)是一元二次方程,只需要满足a≠0,b,c可以为任意实数. 巧 归纳 1.一元二次方程:只含有　　　　个未知数,且含有未知数的式子都是　　　　,未知数的最高次数是　　　　,这样的方程叫作一元二次方程.  2.一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般形式是 　　　　　　　　,二次项、一次项、常数项分别是　　　　　,二次项系数、一次项系数分别是　　　　　　.  概括新知 一 整式 2 ax2+bx+c=0(a≠0) ax2,bx,c a,b (教材补充例题)数学课堂上,王老师让同学们各自列出一个一元二次方程,甲、乙两位同学分别给出自己的结果,甲:x-42=0;乙:x2-4=0.下列说法正确的是 (　　) A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 例 1 B 理解应用 变式1 若方程□=5x是关于x的一元二次方程,则“□”可以是 (　　) A.2y2 B.22 C.3x2 D.x C 变式2 下列各式中,一定是一元二次方程的是 (　　) A.x+=1 　　　　　 B.x2+3=(x-1)2 C.ax2+bx+c=0(a,b,c为常数) 　　　　　D.x2-1=0 D 判定一元二次方程的关键要素 方程中: (1)含有未知数的式子都是　　　　;  (2)只含有　　　未知数;  (3)未知数的最高次数是　　　　.  记 关键 整式 一个 2 (教材典题)将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 例 2 解:去括号,得3x2-3x=5x+10. 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10. 变式 已知一元二次方程(3x-2)(x+1)=8x-2. (1)将方程化成一般形式为　　　　　　;  (2)它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　　,　　, 　　　　.  3x2-7x=0 3 -7 0 (教材补充例题)用一根长12 cm的铁丝围成一个斜边长 为5 cm的直角三角形,求这个直角三角形较短直角边的长.设这个直角三角形较短直角边的长为x cm,根据此问题可列方程为 　　　　　　　　,化成一元二次方程的一般形式为 　　 　　,它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是　 　　　　.  例 3 x2+(12-5-x)2=52 x2-7x+12=0 1,-7,12 要确定一元二次方程的项及各项系数,必须先将一元二次方程化成一般形式.一元二次方程的项和各项的系数都包含前面的符号. 防 易错 一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边　　　　的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的　　　　.  相等 活动2　理解一元二次方程根的意义 初识概念 根 (教材补充例题)下列哪些数是一元二次方程x2+3x+2=0的根? -3,-2,-1,0,1,2,3.   解:-1,-2是一元二次方程x2+3x+2=0的根. 理解概念 例 4 拓展 (2025青海)若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值为　　　　.  3 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.下列方程中,是一元二次方程的是 (　　) A.x2+=1 　　B.2x2-x=1 C.3x3=1 　　D.xy=4 | 课堂检测 | B 2.将一元二次方程3x2-2=4x化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为 (　　) A.3,-2 B.3,4 C.3,-4 D.3x2,-4x C 3.若m是方程x2+4x-5=0的一个根,则2m2+8m=　 .  10 4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个数学问题:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,已知长与宽的和为60步,问长比宽多几步.设矩形田地的长为x步,则可列方程为　　　　　　　 　.  x(60-x)=864 $