25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，核心涵盖求根公式推导、判别式应用及解题步骤。课堂通过配方法解具体方程导入，衔接一般形式方程的推导，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以问题链驱动推理，如“用配方法解一般方程”引导学生经历推导过程，培养数学思维中的推理能力。通过判别式分类讨论，渗透抽象能力（数学眼光），步骤总结“一化二定三求四判”强化模型意识（数学语言）。典例覆盖不同根的情况，学生能规范解题，教师可直接用于教学，提升效率。

25.2.2 公式法 第二十五章 一元二次方程 22051 1.了解求根公式的推导过程. 2.掌握用公式法解一元二次方程. 3.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 学习目标 22051 解方程5x2＋4x－1＝0. 解: 移项，得 , 二次项系数化为1，得 , 配方，得 ＝, , 由此可得 , 解得 . 复习导入 22051 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) 【问题1】那么我们能否也用配方法得出它的解呢？ 新知讲解 22051 解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0： 解：我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题 移项，得： , 二次项系数化为1，得： , 配方，得 ＝, 即 . ① 对于方程①接下来能用直接开平方解吗 新知讲解 22051 【问题2】如何解 ？ 需要对的值进行分类讨论，因为因此只需要对b2−4ac的值讨论. (1)当b2−4ac >0时，，由①得 方程有两个不相等的实数根 式子b2−4ac的值有以下三种情况： 新知讲解 22051 (2)当b24ac =0时，，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3)当b2−4ac＜0时，，由①可知( ，而取任何实数都不能使( 成立，因此方程无实数根. 【问题2】如何解 ？ 新知讲解 22051 可以发现，式子b2−4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ =b2−4ac. 根的判别式△与方程的根的关系： ①当Δ > 0时, 方程有两个不相等的实数根; ②当Δ＝0时, 方程有两个相等的实数根; ③当Δ < 0时, 方程无实数根. 归纳 22051 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 归纳 22051 【练习】用公式法判断下列方程是否有实数根? (1) 5x2＋4x－1＝0; (2) 2x2＋3＝4x; 解: a＝5，b＝4，c＝－1, ∵△＝42－4×5×(－1)＝36>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 解: a＝2，b＝－4，c＝3, ∵△＝(－4)2－4×2×3＝－8<0, ∴方程无实数根. 巩固练习 22051 思考1：在使用根的判别式时，我们需要注意什么？ 使用根的判别式前一定要先把一元二次方程变为一般形式. 如果一元二次方程有实数根, 那么应包括相等或不相等两种情况, ∴△≥0. 思考2：若一元二次方程有实数根, 则△的取值范围是? 新知讲解 22051 【例】用公式法解下列方程: (1)x2－4x－7＝0; (2)2x2 － 2x ＋1＝0. 解：(1)因为=1，=－4，=－7， 所以∆==(－4)²－4×1×(－7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 = =2± 即 , . 典例精析 22051 【例】用公式法解下列方程: (2)因为=2，=－2，=1， 所以∆==(－ 2)²－4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 == (1)x2－4x－7＝0; (2)2x2 － 2x ＋1＝0. 典例精析 22051 (3)5x2－2x＝x+1; (4)x2 ＋17＝8x. (3)方程化为5x2－4x－1＝0，此时=5，=－4，=－1， 所以∆==(－4)²－4×5×(－1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 = = 即 , . 【例】用公式法解下列方程: (4)方程化为x2－8x+17＝0，此时=1，=－8，=17， 所以∆==(－8)²－4×1×17=4＜0. 方程无实数根. 典例精析 22051 运用公式法解一元二次方程的步骤 易错点：注意a，b，c符号. 1.变形：先将方程化为一般形式， 2.确定系数：确定a,b,c的值； 2.计算：计算判别式Δ=b2-4ac的值； 3.判断：若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 归纳 22051 公式法 根的判别式 定义 步骤 把各系数代入求根公式，直接得出方程的根的方法叫作公式法. 一化（一般形式）；二定（系数值）； 三求（△值）；四判（方程根的情况） 求根 公式 课堂小结 22051 1.用公式法解方程 x2－2＝－3x 时，a，b，c的值依次是(　　) A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3 B 　 2.已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程 x2－9x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是_________.　 22　 当堂检测 基础 22051 3.用公式法解下列方程： （1）x2+x－12=0； （2）x2+4x+8=2x+11； 解：a=1，b=1，c=-12 Δ= b2－4ac=12-4×1×(-12) =49>0 解：化简，得 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3 Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3)=16>0 当堂检测 基础 22051 4.关于x的一元二次方程x2−2mx＋(m−1)2＝0有两个相等的实数根. (1)如何求m的值? 解: △＝ (－2m)2－4(m－1)2＝8m－4 由题意得8m－4＝0，解得 (2)求这个方程的解. 解: 将代入得, 由(1)得△=0，∴ . 当堂检测 提升 22051 $