2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册12《第3章图形的相似第3节相似三角形判定定理的证明》预习讲义学生版

本讲义聚焦相似三角形判定定理的证明，系统梳理AA、SAS、SSS普通三角形及HL直角三角形判定的推导逻辑，衔接图形相似基础，构建从证明思想到题型应用的学习支架，助力学生从“会用”升级为“懂原理”。 资料通过结构化知识梳理（如判定方法比较表格）培养推理意识，常见题型答题模板规范数学语言表达，分层例题与练习设计提升抽象能力，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，深化对几何难点的理解与应用。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册12 《第3章图形的相似第3节相似三角形判定定理的证明》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解相似三角形判定定理证明的核心思想：作平行线、构造全等、转化相似。 2.能独立看懂、默写 AA、SAS、SSS 普通三角形相似完整证明过程。 3.掌握 HL直角三角形相似 的推导逻辑，区分直角三角形特殊证明方法。 4.突破几何难点：学会在大三角形中截取小三角形、添加辅助线的通用套路。 5.从 “ 会用定理 ” 升级为 “ 懂原理、能证题 ” ，解决考试压轴证明题型。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.AA两角相等相似定理的标准证明。 2.SAS两边成比例夹角相等、SSS三边成比例相似定理的规范推导。 （二） 难点 1.辅助线构造：在长边上截取等线段、作平行线构造相似的固定模型。 2.理解：先证小三角形与原三角形相似，再证小三角形与已知三角形全等，等量代换得证。 3.规避误区：相似证明中 SSA不能证相似 的底层原理 ) 三．知识梳理 （一）四大判定方法 1.两角分别相等判定相似（AA判定） 两角分别相等的两个三角形相似。 在△ABC和△A'B'C'中 ∵∠A=∠A',∠B=∠B' ∴△ABC ∽△A'B'C' 2.两边成比例且夹角相等判定相似（SAS相似判定） 两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似。 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=AC：A'C',∠A=∠A'∴△ABC∽△A'B'C' 3.三边成比例判定相似（SSS相似判定） 三边对应成比例的两个三角形相似。 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=BC：B'C'=AC：A'C'∴△ABC∽△A'B'C' 适用场景：题目只给边长数据、无角度时，优先用SSS判定 4.直角三角形专属相似判定（HL相似判定） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵∠C=∠C'=90o AB：A'B'=AC：A'C'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' （二）四大判定方法的比较 判定方法 适用三角形 核心条件 优先级 AA 任意三角形 两组角对应相等 最高（最常用） SAS相似 任意三角形 两边成比例+夹角相等 中等（易错） SSS相似 任意三角形 三边对应成比例 仅边长题使用 HL相似 直角三角形 斜边、一直角边成比例 直角三角形专属 （三）常见题型 1.平行线型相似（A字型与8字型） 【解题方法】： （1）识图定模型： ①若平行线在三角形的内部，形似字母“A”，称为A字型。 ②若平行线在两条交叉直线之间，形似数字“8”，称为8字型。 （2）抓等角寻比例：由平行线性质直接得出两对内错角（或同位角）相等，结合公共角（或对顶角），利用“AA”判定相似。同时可直接得到成比例线段。 （3）列比例式求值：找准对应边，代入已知线段长度求解未知量。注意在8字型中，对应线段交叉相乘的积相等。 【答题模板】： （1）找：寻找图中明显的平行线与相交线，确定是“A字型”还是“8字型”。 （2）推：由平行推出角相等。 （3）判：结合公共角（或对顶角），得出相似。 （4）算：根据相似比，代入已知数据进行计算。 2.旋转型相似（共点型/手拉手雏形） 【解题方法】： （1）找公共角/对顶角：确定两个三角形的公共顶点（如点A）。 （2）转化夹角：通过加（减）公共部分，推导出夹角相等。 （3）验证夹边比例：根据题目已知条件，验证构成这个相等角的两组对应边是否成比例。 （4）得出结论：满足“两边成比例且夹角相等”，根据“SAS”判定两三角形相似。 【答题模板】： （1）找：找出两组三角形中相等的对应角（通常是已知角或公共角）。 （2）转：通过等式性质（同加同减）证明被公共部分隔开的另外两个角相等。 （3）比：列出包含相等角的两组对应边的比例式，化简验证是否成立。 （4）判：若比例成立，则相似；否则不相似。 3.母子相似型（共享一角型） 【解题方法】： （1）找公共元素：明确两个三角形共用的角和边。 （2）找第二对角：结合平角、直角或已知角度，找出另一对相等的角。 （3）应用判定：利用“两角分别相等（AA）”判定相似。 【答题模板】： （1）审：观察图形，确定两个三角形的公共角为∠A。 （2）找：寻找另一对相等的角。 （3）判：结合公共角，得出相似。 （4）用：根据相似性质，得到对应边成比例。 4.双垂直型相似（K字型/一线三垂直） 【解题方法】： （1）定基线：找出那条唯一的“水平线”或“基准线”。 （2）抓直角：确认所有的垂直关系，标记出所有的90°角。 （3）导锐角：在由两个直角组成的四边形（或三角形）中，利用“同角的余角相等”，推导出两组锐角分别相等。 （4）判定相似：结合直角相等和推导出的锐角相等，利用“AA”判定两个直角三角形相似。 【答题模板】： （1）标：在图上明确标出所有的垂直符号。 （2）推：根据同角（或等角）的余角相等，推导出一对锐角相等。 （3）判：结合已有的直角相等，得出相似。 （4）算：利用直角三角形中边角关系的特殊性，结合相似比进行计算。 四．经典例题 1．下列命题一定正确的是（    ） A．两个等边三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个含有角的等腰三角形一定相似 【答案】A 【解析】A、两个等边三角形的各角度都为60°，所以两个三角形相似，故A正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故C不正确；C、两个含30°角的等腰三角形只有一对30°角可以确定相等，其他两个角度未知故D不正确；故选：A． 2．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在和中，已知，A中，无法推出和另外一对角相等，故选项不符合题意；B中，，，两边成比例，但不是夹角相等，无法证明，故选项不符合题意；C中，∵， ∴，又∵，∴，故选项符合题意；D中，，无法得出和的两边成比例，无法证明，故选项不符合题意；故选：C． 3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(    ) ①； ②；③ ；④； ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】∵AB∥CD，∠A=90°∴∠A=∠D=90°，又∵CE和BE均为角平分线，∴∠DCB+∠CBA=2∠ECB+2∠CBE=180°，∴∠ECB+∠CBE=90°，∴∠CEB=90°， ∴△CDE∽△CEB∽△EAB，∴，，故②和③正确， ∴，故④正确.正确的为②③④，故选择B. 4．具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ） A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角为的两个等腰三角形 C．有一锐角对应相等的两个直角三角形 D．图中的与相似 【答案】C 【解析】A、两图形对应角不相等，故不是相似图形，不符合题意；B、两图形对应角不相等，故不是相似图形，不符合题意；C、两图形是正方形，两个正方形的对应边成比例且对应角相等，故是相似图形，符合题意；D、两图形是矩形，对应角相等，但对应边不一定成比例，故不是相似图形，不符合题意；故选：C 5．如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加条件，理由如下：∵，，∴， 故答案为：（答案不唯一）． 6．已知，如图，要使△ABE∽△ACD，需要条件_____________ 【答案】或或 【解析】要另两个三角形相似，已知有公共角，则需要知道另一组相等的角即可，即或，或者对应边成比例，即． 7．如图若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是_________. 【答案】DE∥BC（答案不唯一） 【解析】由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似． 可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，则△ADE∽△ABC，故答案为DE∥BC（答案不唯一）． 8．如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上,恰好完全重合,BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为________． 【答案】 【解析】因为BC=6,AF:FG:GD=3:2:1,所以AF=3,DG=1,因为∠AFB＝∠GFE,∠A＝∠E=90°, 所以∠ABF＝∠FGE,又因为∠FGE＝∠DGC,所以∠ABF＝∠DGC,因为∠A＝∠D=90°,所以△AFB∽△DCG,所以,因为AB=CD,所以即,所以, 所以.故答案为:. 9．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q． （1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有　3　对； （2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由． 解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER； 同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对． 故答案是：4． （2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR， =，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．===，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2． 10.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． ①　　　　　　　　　② 答图① 答图② 答图③ 解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线； (2)①当AD＝CD时，如答图①，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°； ②当AD＝AC时，如答图②，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°； ③当AC＝CD时，如答图③，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍去．综上所述，∠ACB＝96°或114°； (3)∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∵AC＝AD＝2，∴()2＝x(x＋2)， ∵x＞0，∴x＝－1，即BD＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝， ∴CD＝×2＝－. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025·贵阳市南明区期中）下列条件中，不能判定两个三角形相似的是（ ） A. 两角分别对应相等 B. 两边对应成比例，夹角相等 C. 三边对应成比例 D. 两边对应成比例，其中一边的对角相等 【答案】：D 【解析】：D选项为SSA的形式，相似判定不存在SSA定理，无法保证三角形形状唯一，不能判定相似；A（AA）、B（SAS）、C（SSS）都是相似三角形标准判定定理。 2.（2026·贵阳市云岩区一模）在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠B，则可判定△ACD∽△ABC的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. AA D. HL 【答案】：C 【解析】：∠A为两个三角形的公共角，又已知∠ACD=∠ABC，两组角对应相等，根据两角相等（AA）判定相似。 3．如图，在的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】C 【解析】设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长 △ABC的各边分别为 △CDF的各边分别为 △EFG的各边分别为 △HMN的各边分别为 △HPQ的各边分别为 可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似.故选:C. 4．已知，在边上找一点，作，使，这样的点有（ ） A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】D 【解析】无数个，∵平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，AB边是由无数个点构成的，∴这样的点有无数个，故选D. 5．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（　　） A．＝ B． C．＝ D．＝ 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD＝AD，∵EF∥CD，∴EF∥AB，∴＝，所以A选项不符合题意；△DEF∽△DAB，∴，∴，所以B选项不符合题意， ＝，所以C选项符合题意；D选项符合题意．故选：C． 6．如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，∴△CDF∽△BEF，∴BE：DC＝BF：CF，∵BE：AB＝3：2，DC＝AB，∴BE：DC＝BF：CF＝3：2，∴CF：BF＝2：3，∴CF：BC＝2：5，∵AD＝BC＝10，∴CF：10＝2：5．∴CF＝4．故选：C． 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△MDN：S△BCD＝（　　） A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：6 【答案】d 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点M是AD中点，∴MD＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△MDN∽△CBN，∴＝，∴BN＝2DN，CN＝2MN，∴S△CDN＝2S△MDN，S△BNC＝2S△CDN，∴S△BCD＝6S△MDN，∴S△MDN：S△BCD＝1：6，故选：D． 8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝3，点M在AB上，过点M作直线MN截△ABC，得到△AMN和四边形BCNM两部分，且满足∠AMN＝∠C，则下列五个数据，5，，4，中，可以作为线段AM长的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】∵∠A＝∠A，∠AMN＝∠C，∴△AMN∽△ACB，∴，∴AM＝AN，∵0＜AN＜5，∴0＜AM＜，∴AM可以为，4，故选：B． （二）填空题 9.（2025·花溪区期末）有一个角为40°的两个等腰三角形，______相似（填“一定”或“不一定”）。 【答案】：不一定 【解析】：40°可能是顶角，也可能是底角，两种三角形内角不同，不一定相似。 10.（2026·南明区一模）已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠E=60°，则∠C=______°。 【答案】：70 【解析】：∠B对应∠E=60°，三角形内角和180°，∠C=180-50-60=70°。 11.（2025·云岩区期末）在△ABC中，∠A=70°，∠ADE=70°，D、E分别在AB、AC上，则△______∽△ABC。 【答案】：ADE 【解析】：∠A公共，∠ADE=∠ABC=70°，AA判定△ADE∽△ABC。 12.（2026·观山湖区二模）若OA：OC=OB：OD，且∠AOB=∠COD，则△AOB与△COD满足______判定相似。 【答案】：SAS 【解析】：两边对应成比例，夹角为对顶角相等，符合SAS相似的条件。 13.（2024·乌当区期末）格点三角形的三边为2、、3，另一格点三角形三边为4、2、6，相似比为______。 【答案】：1:2 【解析】：所有对应边长比值都是1:2，三边成比例。 14.（2026·花溪区一模）Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，Rt△A'B'C'，A'C'=6，若两个三角形相似，则B'C'=______。 【答案】：8 【解析】：直角边对应成比例，AC:A'C'=1:2，所以BC:B'C'=1:2，解得B'C'=8。 15．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　 　． 【答案】：3 【解析】：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AB＝6，AD∥BC，∵E为AD的中点，∴AE＝AB＝3，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴S△AEF：S△ABF＝1：2， ∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．故答案为：3． 16．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝　 　． 【答案】： 【解析】：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，∴，∴EF＝，故答案为：． （三）解答题 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 解：（1）由题意得：，∴，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，即正方形的边长为； （2）由（1）得：，∴；∵,∴，∴，∴，∴，∴ 18．如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若点D是BC的中点，CE＝3，BE＝4，求AB的长． 解：（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCE； （2）∵点D是BC的中点，AD⊥BC，∴AB＝AC，在Rt△BEC中，∵CE＝3，BE＝4， ∴BC＝＝＝5，∴CD＝BC＝，∵△ACD∽△BCE，∴＝， ∴AD＝＝，∴AC＝＝＝，∴AB＝AC＝． 19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 解：（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝45°，∴BE＝DE，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠C+∠FBC＝90°，∵∠C+∠CDE＝90°，∴∠FBC＝∠CDE，∴△BEH≌△DEC（ASA），∴BH＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴AB＝BH； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°，∠ABH＝∠BFC＝90°，∴∠BDG＝180°﹣∠ADB＝135°，∵AB＝BH，∴∠BAH＝∠BHA＝45°， ∴∠AHG＝180°﹣∠BHA＝135°，∴∠BDG＝∠AHG，∵∠G＝∠G，∴△GDB∽△GHA， ∴＝，∴AH•BG＝AG•BD． 20．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，DE平分∠FDC，∠FED＝90°，F是AB上一点，G是FD的中点． （1）求证：BE＝EC； （2）求证：DE2＝DF•DC； （3）若CD＝6，DF＝8，求GH的长． 解：（1）证明：过点E作EM⊥DF，垂足为M，∴∠DME＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCE＝∠DME＝90°，∵DE平分∠FDC，∴∠EDF＝∠EDC，∵DE＝DE，∴△DEM≌△DEC（AAS）， ∴ME＝EC，∠DEM＝∠DEC．∵∠FED＝90°，∴∠DEM+∠MEF＝∠DEC+∠BEF＝90°，∴∠MEF＝∠BEF，又∵∠B＝∠EMF，EF＝EF，∴△BEF≌△MEF（AAS），∴BE＝ME，∴BE＝EC． （2）由（1）得，∠FDE＝∠CDE，∠DEF＝∠DCE＝90°，∴△DEF∽△DEC，∴， ∴DE2＝DF⋅DC． （3）∵DE2＝DF⋅DC＝6×8＝48，∴．∵GF＝GD，∴，EC2＝DE2﹣CD2＝48﹣36＝12，∴，∴CG2＝GE2+CE2＝16+12＝28，∴．∵GF＝GD，∴EG＝GD，∴∠GED＝∠GDE，∴∠GED＝∠CDE，∴GE∥CD，∴△GHE∽△CHD，∴， 即，∴． 21．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G． （1）求证：AB=BG； （2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似． 解：（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF， 在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG； （2）当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP， 第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5； 第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=， ∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AD=5t，CE=3t，∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1． （2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，∴GE=2．当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，∴t=或t=；当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，若△DEG与△ACB相似，则或，∴或，解得t=或t=；综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区中考三模）下面给出四组三角形的边或者角的条件，能判定△ABC∽△MNP的是（ ） A. ∠A=∠M，AB：NP=AC：MP B. ∠A=∠M，AB：MN=AC：MP C. AB:BC:AC=1:2:3，MN:NP:MP=3:2:1 D. ∠B=∠N，∠C=∠P，AB=MP 【答案】：B 【解析】：B选项中夹角∠A与∠M相等，夹这个角的两条对应边成比例，符合SAS相似判定；A的对应边找错，C虽然边长比例相同，但对应顺序错误，D只知道角相等，边长没有比例关系。 2.（2025·贵阳市乌当区期末）如图，在△ABC中，要使△CBD∽△ABC，下列添加的条件错误的是（ ） A. ∠CDB=∠ACB B. ∠BCD=∠A C. BC：AB=BD：BC D. CD：AC=BD：BC 【答案】：D 【解析】：△CBD和△ABC有公共角∠B，A、B可以用AA判定；C是两边成比例，夹角∠B（SAS）；D的两条边并不是夹∠B的对应边，无法判定相似。 3.（2026·花溪区一模）已知两个三角形的三边之比都是2:3:4，那么这两个三角形（ ） A. 一定相似 B. 一定全等 C. 不相似 D. 只能用AA证明 【答案】：A 【解析】：两组三角形三边对应成比例，比值相等，根据SSS相似定理，一定相似。 4.（2024·南明区期中）在△ABC中，DE交AB、AC延长线于D、E，DE∥BC，下列结论正确的是（ ） A. △ADE与△ACB不相似 B. △ADE∽△ABC（AA） C. 相似比固定为1:2 D. 只能用SSS证明相似 【答案】：B 【解析】：DE∥BC，同位角相等，公共角∠A，两角对应相等，满足AA相似，属于“A型”相似模型。 5.（2026·观山湖区三模）对于SSA的条件，下列说法正确的是（ ） A. 可以证明相似 B. 一定不能证明相似 C. 钝角三角形中SSA可证相似 D. 直角三角形中SSA（HL）可以判定相似 【答案】：D 【解析】：普通三角形SSA不能判定相似，但直角三角形特殊，斜边与直角边对应成比例（HL形式的SSA），可以判定相似。 6．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．　 7.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC， ∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．　 8．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时， =，即=， 解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时， =，即=，解得：x=， 则这样的点P共有3个，故选C． 9．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，； D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B． 10．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（　　）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1， 解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=． ∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C． （二）填空题 11.（2026·贵阳市南明区三模）已知△ABC∽△A₁B₁C₁，采用SSS判定，AB=5，A₁B₁=10，则相似比为______。 【答案】：1:2 【解析】：对应边AB:A₁B₁=5:10=1:2，三边成比例，相似比就是对应边长的比值。 12.（2025·云岩区期末）△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，△DEF中，∠D=70°，∠E=65°，则△______∽△DEF。 【答案】：ABC 【解析】：△ABC内角分别为70°、65°、45°，和△DEF三个角完全对应相等，AA判定相似。 13.（2024·花溪区期中）在Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=2，BC=3，A'C'=4，当B'C'=______时，两三角形相似。 【答案】：6 【解析】：直角边对应成比例，AC:A'C'=1:2，所以BC:B'C'=1:2，计算得B'C'=6。 14.（2026·观山湖区二模）在△ABC中，添加条件“∠ACD=∠ABC”，CD交AB于D，这是利用______判定△ACD∽△ABC。 【答案】：AA（两角分别相等） 【解析】：∠A公共角，外加一组角相等，两组角对应相等。 15.（2026·云岩区三模）△ABC三边3、4、5，△MNP三边6、8、10，两个三角形的相似比为______，面积比为______。 【答案】：1:2；1:4 【解析】：边长比值1:2，相似三角形面积之比等于相似比的平方，即1:4。 16．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　 　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 【答案】AB∥DE 【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE． 17．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　　． 【答案】（0，），（2，0），（，0） 【解析】当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABC， ∴=，∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB==5，∵点C是AB的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）． 18．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有　16　对． 【答案】9 【解析】∵AD∥BF，∴△BFE∽△ADE，∵AD∥BC，∴∠DAB=∠CBE，∵DE∥BP，∴∠E=∠PBA， ∴△BFE∽△APB，∵AE∥DC，∴△BFE∽△CFD，∴△ADE∽△APB，∴△ADE∽△CFD，∴△APB∽△CFD，故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．故答案为16． 19．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=　　时，△OMN与△BCO相似． 【答案】或 【解析】∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠MON．若△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴OD===3，CE==，∵△OMN∽△BOC，∴==，即，∴OM=MN=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，∵△OMN∽△BCO，∴===，即， 解得：OM=，∴DM==，∴CM=CD﹣DM=4﹣=；综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似． 20．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为　 　秒． 【答案】2或4 【解析】分两种情况：①如图1，E点在DC上，AE==，DP=， AP==，∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∴=，即=，解得t=2；△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意 （三）解答题 21．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β． （1）如图②，当β=　　°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上； （2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形　 ，　 　（不含全等三角形），并选一对证明． 解：（1）∵∠ABC=α，∴∠BAC=90°﹣α，∴β=∠90°+α； （2）图中两对相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′∴ ∴△ABB′∽△ACC′ 22．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 解：（1）证明：∵，，而，∴，∵，∴，∴，，∴；（2）证明：作交的延长线于，如图，∵，∴，∵点为的中点，，，∴，∴，∴，即． 23．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD． （1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数． 解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=． ∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD． （2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB． ∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴x+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠ABD=36． 24．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长． 解：（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴， ∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF； （2）∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4， ∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10． 25．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 解：（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE． （2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1． 26．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形： （1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论． （2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由． 解：（1）相似，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF； （2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：∵E为BC的中点，∴BE=CE=BC=AB，由（1）得：∴△ABE∽△ECF，∴=2，∴BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，∴DF=3a，∴AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2， ∵=2，∴，又∵∠AEF=∠B=90°，∴△AEF∽△ABE，∴△ABE∽△ECF∽△AEF． 27.如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等． （1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点． 下面是两位学生有代表性的证明思路： 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等； 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．… 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）； （2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值； （3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值． 解：（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点； 证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴==1，∴DM=EM，即点M是DE的中点； （2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°， ∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a， ∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴===； （4）∵==+=k，∴=k﹣，∴=， ∴==•+1=•+1=． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册12 《第3章图形的相似第3节相似三角形判定定理的证明》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解相似三角形判定定理证明的核心思想：作平行线、构造全等、转化相似。 2.能独立看懂、默写 AA、SAS、SSS 普通三角形相似完整证明过程。 3.掌握 HL直角三角形相似 的推导逻辑，区分直角三角形特殊证明方法。 4.突破几何难点：学会在大三角形中截取小三角形、添加辅助线的通用套路。 5.从 “ 会用定理 ” 升级为 “ 懂原理、能证题 ” ，解决考试压轴证明题型。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.AA两角相等相似定理的标准证明。 2.SAS两边成比例夹角相等、SSS三边成比例相似定理的规范推导。 （二） 难点 1.辅助线构造：在长边上截取等线段、作平行线构造相似的固定模型。 2.理解：先证小三角形与原三角形相似，再证小三角形与已知三角形全等，等量代换得证。 3.规避误区：相似证明中 SSA不能证相似 的底层原理 ) 三．知识梳理 （一）四大判定方法 1.两角分别相等判定相似（AA判定） 两角分别相等的两个三角形相似。 在△ABC和△A'B'C'中 ∵∠A=∠A',∠B=∠B' ∴△ABC ∽△A'B'C' 2.两边成比例且夹角相等判定相似（SAS相似判定） 两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似。 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=AC：A'C',∠A=∠A'∴△ABC∽△A'B'C' 3.三边成比例判定相似（SSS相似判定） 三边对应成比例的两个三角形相似。 在△ABC和△A'B'C'中 ∵AB：A'B'=BC：B'C'=AC：A'C'∴△ABC∽△A'B'C' 适用场景：题目只给边长数据、无角度时，优先用SSS判定 4.直角三角形专属相似判定（HL相似判定） 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵∠C=∠C'=90o AB：A'B'=AC：A'C'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C' （二）四大判定方法的比较 判定方法 适用三角形 核心条件 优先级 AA 任意三角形 两组角对应相等 最高（最常用） SAS相似 任意三角形 两边成比例+夹角相等 中等（易错） SSS相似 任意三角形 三边对应成比例 仅边长题使用 HL相似 直角三角形 斜边、一直角边成比例 直角三角形专属 （三）常见题型 1.平行线型相似（A字型与8字型） 【解题方法】： （1）识图定模型： ①若平行线在三角形的内部，形似字母“A”，称为A字型。 ②若平行线在两条交叉直线之间，形似数字“8”，称为8字型。 （2）抓等角寻比例：由平行线性质直接得出两对内错角（或同位角）相等，结合公共角（或对顶角），利用“AA”判定相似。同时可直接得到成比例线段。 （3）列比例式求值：找准对应边，代入已知线段长度求解未知量。注意在8字型中，对应线段交叉相乘的积相等。 【答题模板】： （1）找：寻找图中明显的平行线与相交线，确定是“A字型”还是“8字型”。 （2）推：由平行推出角相等。 （3）判：结合公共角（或对顶角），得出相似。 （4）算：根据相似比，代入已知数据进行计算。 2.旋转型相似（共点型/手拉手雏形） 【解题方法】： （1）找公共角/对顶角：确定两个三角形的公共顶点（如点A）。 （2）转化夹角：通过加（减）公共部分，推导出夹角相等。 （3）验证夹边比例：根据题目已知条件，验证构成这个相等角的两组对应边是否成比例。 （4）得出结论：满足“两边成比例且夹角相等”，根据“SAS”判定两三角形相似。 【答题模板】： （1）找：找出两组三角形中相等的对应角（通常是已知角或公共角）。 （2）转：通过等式性质（同加同减）证明被公共部分隔开的另外两个角相等。 （3）比：列出包含相等角的两组对应边的比例式，化简验证是否成立。 （4）判：若比例成立，则相似；否则不相似。 3.母子相似型（共享一角型） 【解题方法】： （1）找公共元素：明确两个三角形共用的角和边。 （2）找第二对角：结合平角、直角或已知角度，找出另一对相等的角。 （3）应用判定：利用“两角分别相等（AA）”判定相似。 【答题模板】： （1）审：观察图形，确定两个三角形的公共角为∠A。 （2）找：寻找另一对相等的角。 （3）判：结合公共角，得出相似。 （4）用：根据相似性质，得到对应边成比例。 4.双垂直型相似（K字型/一线三垂直） 【解题方法】： （1）定基线：找出那条唯一的“水平线”或“基准线”。 （2）抓直角：确认所有的垂直关系，标记出所有的90°角。 （3）导锐角：在由两个直角组成的四边形（或三角形）中，利用“同角的余角相等”，推导出两组锐角分别相等。 （4）判定相似：结合直角相等和推导出的锐角相等，利用“AA”判定两个直角三角形相似。 【答题模板】： （1）标：在图上明确标出所有的垂直符号。 （2）推：根据同角（或等角）的余角相等，推导出一对锐角相等。 （3）判：结合已有的直角相等，得出相似。 （4）算：利用直角三角形中边角关系的特殊性，结合相似比进行计算。 四．经典例题 1．下列命题一定正确的是（    ） A．两个等边三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个直角三角形一定相似 D．两个含有角的等腰三角形一定相似 2．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，则下列关系式中成立的有(    ) ①； ②；③ ；④； ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ） A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角为的两个等腰三角形 C．有一锐角对应相等的两个直角三角形 D．图中的与相似 5．如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，______． 6．已知，如图，要使△ABE∽△ACD，需要条件_____________ 7．如图若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是_________. 8．如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上,恰好完全重合,BE、CE分别交AD于点F、G，BC=6，AF：FG：GD=3：2：1，则AB的长为________． 9．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q． （1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有　　对； （2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由． 10.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； (2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数； (3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． ①　　　　　　　　　② 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024-2025·贵阳市南明区期中）下列条件中，不能判定两个三角形相似的是（ ） A. 两角分别对应相等 B. 两边对应成比例，夹角相等 C. 三边对应成比例 D. 两边对应成比例，其中一边的对角相等 2.（2026·贵阳市云岩区一模）在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠B，则可判定△ACD∽△ABC的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. AA D. HL 3．如图，在的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 4．已知，在边上找一点，作，使，这样的点有（ ） A．2个 B．3个 C．1个 D．无数个 5．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（　　） A．＝ B． C．＝ D．＝ 6．如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，则S△MDN：S△BCD＝（　　） A．1：3 B．1：5 C．2：3 D．1：6 8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝3，点M在AB上，过点M作直线MN截△ABC，得到△AMN和四边形BCNM两部分，且满足∠AMN＝∠C，则下列五个数据，5，，4，中，可以作为线段AM长的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 9.（2025·花溪区期末）有一个角为40°的两个等腰三角形，______相似（填“一定”或“不一定”）。 10.（2026·南明区一模）已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠E=60°，则∠C=______°。 11.（2025·云岩区期末）在△ABC中，∠A=70°，∠ADE=70°，D、E分别在AB、AC上，则△______∽△ABC。 12.（2026·观山湖区二模）若OA：OC=OB：OD，且∠AOB=∠COD，则△AOB与△COD满足______判定相似。 13.（2024·乌当区期末）格点三角形的三边为2、、3，另一格点三角形三边为4、2、6，相似比为______。 14.（2026·花溪区一模）Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，Rt△A'B'C'，A'C'=6，若两个三角形相似，则B'C'=______。 15．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为 　 　． 16．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝　 　． （三）解答题 17．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 18．如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若点D是BC的中点，CE＝3，BE＝4，求AB的长． 19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 20．如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，DE平分∠FDC，∠FED＝90°，F是AB上一点，G是FD的中点． （1）求证：BE＝EC； （2）求证：DE2＝DF•DC； （3）若CD＝6，DF＝8，求GH的长． 21．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G． （1）求证：AB=BG； （2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026·贵阳市云岩区中考三模）下面给出四组三角形的边或者角的条件，能判定△ABC∽△MNP的是（ ） A. ∠A=∠M，AB：NP=AC：MP B. ∠A=∠M，AB：MN=AC：MP C. AB:BC:AC=1:2:3，MN:NP:MP=3:2:1 D. ∠B=∠N，∠C=∠P，AB=MP 2.（2025·贵阳市乌当区期末）如图，在△ABC中，要使△CBD∽△ABC，下列添加的条件错误的是（ ） A. ∠CDB=∠ACB B. ∠BCD=∠A C. BC：AB=BD：BC D. CD：AC=BD：BC 3.（2026·花溪区一模）已知两个三角形的三边之比都是2:3:4，那么这两个三角形（ ） A. 一定相似 B. 一定全等 C. 不相似 D. 只能用AA证明 4.（2024·南明区期中）在△ABC中，DE交AB、AC延长线于D、E，DE∥BC，下列结论正确的是（ ） A. △ADE与△ACB不相似 B. △ADE∽△ABC（AA） C. 相似比固定为1:2 D. 只能用SSS证明相似 5.（2026·观山湖区三模）对于SSA的条件，下列说法正确的是（ ） A. 可以证明相似 B. 一定不能证明相似 C. 钝角三角形中SSA可证相似 D. 直角三角形中SSA（HL）可以判定相似 6．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 7.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（　　）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似． A． B． C．或 D．或 （二）填空题 11.（2026·贵阳市南明区三模）已知△ABC∽△A₁B₁C₁，采用SSS判定，AB=5，A₁B₁=10，则相似比为______。 12.（2025·云岩区期末）△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，△DEF中，∠D=70°，∠E=65°，则△______∽△DEF。 13.（2024·花溪区期中）在Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，AC=2，BC=3，A'C'=4，当B'C'=______时，两三角形相似。 14.（2026·观山湖区二模）在△ABC中，添加条件“∠ACD=∠ABC”，CD交AB于D，这是利用______判定△ACD∽△ABC。 15.（2026·云岩区三模）△ABC三边3、4、5，△MNP三边6、8、10，两个三角形的相似比为______，面积比为______。 16．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　 　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 17．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　　． 18．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有　16　对． 19．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=　　时，△OMN与△BCO相似． 20．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为　 　秒． （三）解答题 21．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β． （1）如图②，当β=　　°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上； （2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形　 ，　 　（不含全等三角形），并选一对证明． 22．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 23．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD． （1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数． 24．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为4，求BG的长． 25．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 26．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形： （1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论． （2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由． 27.如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等． （1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点． 下面是两位学生有代表性的证明思路： 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等； 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．… 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）； （2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值； （3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $