江西南昌市外国语学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 以青花瓷文化情境为载体，融合立体几何、三角函数等核心知识，通过多梯度问题设计考查空间观念、推理能力与创新意识的高一期末卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义、直观图面积、空间线面关系|第3题以正方形直观图还原原图形，考查空间几何直观；第7题结合正六边形青花瓷盘，体现文化传承| |多选题|3/18|复数性质、解三角形、正方体线面角|第11题正方体中点线面关系判断，综合考查空间观念与推理能力| |填空题|3/15|向量夹角、三角恒等变换、解三角形与不等式|第14题结合解三角形与不等式有解问题，培养应用意识| |解答题|5/77|圆锥证明与线面角、三角函数图像、解三角形综合、四棱锥二面角、相伴向量创新题|第19题以相伴向量与函数为载体，设计最大值探究，发展创新意识；第17题解三角形多问设计，实现基础巩固到能力提升的梯度|

南昌市外国语学校2025—2026学年下学期 高一数学期末考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 3．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 6．若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 7．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知，为复数，则下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 10．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．是的充要条件 D．若，则为钝角三角形 11．在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A．直线与直线所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为__． 13．已知，则______． 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 16.本小题分 已知，，，若的最小正周期是． (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 17.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. (1)若平面.证明：； (2)若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 19．已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量， (1)若， （i）求 （ii）若，且在处取到最大值，求的值. (2)若的最大值为2026，求 的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025—2026学年下学期 高一数学期末考试卷 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】利用诱导公式将化为，然后由余弦的两角和公式可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 2．已知是角终边上一点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.85 【详解】由已知得：． 3．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.82 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【难度】0.85 【分析】对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可 【详解】解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误； 对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误； 对于C，若，，，则，所以C正确； 对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误， 故选：C 5．下列说法正确的是（   ） A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【难度】0.92 【分析】由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误； 对于B，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误； 对于C，如图所示， 若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误； 对于D，由平行线的传递性可知D正确. 6．若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.7 【分析】由正切函数的最小正周期公式算出，再由对称中心公式求出对称中心. 【详解】依题意，，所以，所以， 令，解得， 所以对称中心为. 7．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 8．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【分析】把与沿摊平，变成一个平面四边形，连接交于M，此时即为的最小值，由此计算可得结论. 【详解】直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以， 侧面是正方形，是等腰直角三角形，， 把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M， 则， 又，， 由余弦定理得，此为取得的最小值， 又在直三棱柱中，， 所以所求的周长为.    二、多选题 9．已知，为复数，则下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【分析】令，则求出和，即可判断选项A；设，则根据共轭复数的概念及复数的模长公式即可判断选项B，C；根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离，求出圆上的点到点的最大距离，即可判断选项D. 【详解】令，则，，显然，故选项A错误； 设，则，所以， 所以，故选项B，C正确； 根据复数的几何意义，可得复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而则表示复数在复平面内对应的点到点的距离， 故的最大值即为圆上的点到点的最大距离，即，故选项D正确. 故选：BCD. 10．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．是的充要条件 D．若，则为钝角三角形 【答案】CD 【难度】0.65 【分析】对于A，角化边，然后运用余弦定理确定角为锐角，但角不能确定，不一定为锐角三角形；对于B，边化角得，得出两角的关系，从而得到三角形的形状；对于C，角大则边大，根据正弦定理得正弦值大；对于D，转化为角的余弦，根据单调性得到角的关系. 【详解】对于A，由及正弦定理， 得，则， 得为锐角，但不能确定为锐角三角形，故A错误； 对于B，利用正弦定理， 可得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，在中，根据正弦定理可知，， 故C正确； 对于D，在中，， 由，可得，则为锐角． 若为锐角，则，可得， 即，则，为钝角三角形； 若为钝角，则，可得， 即有，为钝角三角形，故D正确． 11．在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A．直线与直线所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【分析】利用，可求直线与所成的角判断A；连接交于点，连接，可得直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角，求解可判断B；易求得二面角的大小判断C；接，平面截正方体所得的截面为梯形，求解可判断D. 【详解】对于A，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故A正确； 对于B，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角， 连接交于点，连接， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面，则， 又，所以为二面角的平面角， 所以二面角的平面角是，故C错误； 对于D，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且， 所以梯形的高为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为__． 【答案】 【难度】0.85 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】根据题意，向量与的夹角为锐角，则且、不共线， 即，解可得且， 则的取值范围为． 故答案为： 13．已知，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】易知， 所以 . 故答案为： 14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.25 【分析】先利用正弦定理将转化为边的关系，再通过余弦定理结合基本不等式求出角的取值范围，接着将原不等式有解转化为关于和的不等式，最后结合角的范围求出实数的取值范围. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 由余弦定理，得，又因为，所以， 记，则，. 因为，所以，从而， 则等价于， 即有解，故有， 化简得，即恒成立，又，则， 可得，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题 15．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 【答案】(1)连接交于，因为为劣弧的中点， 故是中点，又是中点，所以， 平面，平面，因此平面． (2) 【难度】0.65 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求解； （2）利用线面垂直的判定定理得到平面，故是直线与平面所成的角．计算的值，从而得解． 【详解】（1）略 （2）依题意，平面，平面，故， 又为半圆弧的中点，因此，平面， 因此平面，故是直线与平面所成的角． 因为，所以， 因为，所以， 故直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值为． 16．已知，，，若的最小正周期是． (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【分析】（1）由二倍角的正余弦公式结合辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得； （2）由图象平移的性质结合正弦函数的单调性可得. 【详解】（1） 由的最小正周期，又，解得， 所以. （2），     ，可得， ， 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.53 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. (1)若平面.证明：； (2)若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii） 【难度】0.65 【分析】（1）由题意可求出，进而可知，由题可知所以可证平面，再由线面平行的性质定理可得，进而平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）（i）利用面面直的性质定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理可得，进而可证平面，进而可证；（ii）先找出二面角的平面角，在三角形中求解即可. 【详解】（1）在中， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，. （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. （ii）由（i）知，， ，，. 如图： 过点作于点，再过点作于点，连接， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， ， ， 又， ． 由（i）知平面， 平面，， ， 又， ，， 在中，． 即二面角的正弦值为. 19．已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量， (1)若， （i）求 （ii）若，且在处取到最大值，求的值. (2)若的最大值为2026，求 的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)2026 【难度】0.47 【分析】（1）（ⅰ）利用和差角的正余弦公式化简，再利用定义求出及模； （ii）设，利用向量垂直的坐标表示及给定定义，结合三角恒等变换求解. （2）设出的坐标并求出，利用二倍角公式及辅助角公式化简并求出函数最大值，再利用数量积的性质求出最大值. 【详解】（1）（ⅰ）依题意，， 所以的相伴向量，. （ⅱ）设，由，得，即，解得， 则，其中， 依题意，，即，由在处取到最大值，得， 即，因此， 而，所以. （2）设，则，， ， 因此的最大值为， 而， 则，又， 因此，即， 取，则， 且的最大值为2026，符合题意， 所以的最大值为2026. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $