专题08 功能关系与能量守恒——备战2027届高考一轮复习高分突破系列

**基本信息** 以功能关系与能量守恒为核心，通过典例剖析-深度探究-类题拓展-秘法提炼的递进式设计，构建"概念理解-方法应用-迁移创新"的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例剖析|1道综合题|功与能对应性分析，能量增减守恒关系|从单一过程能量转化切入，建立"力做功-能量变化"关联| |深度探究|3个拓展设问+5道类题|能量守恒解题四步法：定状态-析变化-算增减-列方程|覆盖图像表征、多过程分析、对比类比等变式，形成知识网络| |秘法提炼|2条核心规律+2类解题场景|滑动摩擦力做功时机械能不守恒问题的能量守恒应用|从概念本质（功与能对应）到应用策略（复杂过程优先能量分析）|

专题08功能关系与能量守恒 典例剖析：功能关系与能量守恒 如图所示，一个质量为，大小不计的物体以某一初速度v由斜面底端冲上倾角为的固定斜面，运动过程中加速度大小为，沿斜面向上运动的最大高度为，则在这个过程中（     ） A．物体的动能减少了 B．物体的重力势能增加了 C．物体的机械能损失了 D．系统产生的热量为 【答案】B 【详解】A．物体运动过程中的加速度大小为g，根据牛顿第二定律，合力为 沿斜面方向运动的距离为 所以根据动能定理， 所以动能的减少量为，故A错误； B．物体重力势能增加量等于克服重力做的功，所以重力势能增加了mgh，故B正确； C．物体的机械能等于重力势能与动能的和，所以物体的机械能变化量为 所以机械能损失了，故C错误； D．物体损失的机械能等于系统产生的内能，所以产生的内能为，故D错误。 故选B。 深度探究 探究1：试题点拨 功能关系问题的关键点是什么？ 【答案】明确功和能的对应关系，即不同的力做功，对应着不同的能量的变化。具体来说，重力做功对应重力势能的变化、弹力做功对应弹性势能的变化、合外力做功对应动能的变化、电场力做功对应电势能的变化、一对相互作用的摩擦力做功对应热能的变化等等。 探究2：拓展设问 设问1：本题中，哪些能量增加了？哪些能量减少了？增加量与减少量之间的关系是什么？ 【答案】本题中，物体速度减小，动能减少；高度上升，重力势能增加；摩擦力做负功，热能增加；减少的动能等于增加的重力势能和热能之和。 设问2：本题中，物体整个运动过程中，合外力做功等于多少？ 【答案】。根据动能定理，合外力做功等于物体动能的变化量，故合外力做功等于。 设问3：若物体沿着斜面到达最高点后，又沿着斜面下滑至最底端，则物体与斜面之间的动摩擦因数需要满足什么条件？ 【答案】。因为物体要能够沿着斜面下滑，需要满足重力沿着斜面的分量大于其所受滑动摩擦力（最大静摩擦力默认等于滑动摩擦力），即mgsinθ> mgcosθ，整理可得。 探究3：类题拓展 1．（思维拓展：理想模型——生活情境）如图甲所示为避险车道，其简化模型如图乙所示。一辆质量为的货车刹车失灵后冲上避险车道，经过点时速度大小为，到达点时速度恰好减小为0，点为中点，两点高度差为，货车从到的运动视为匀变速运动，重力加速度大小为，则货车（     ） A．从到的过程中，机械能减少了 B．从到的过程中，机械能减少了 C．从到与从到所用的时间之比 D．从到与从到所用的时间之比 【答案】B 【详解】AB．货车从到的过程中，动能减少量为，重力势能增加量为，根据功能关系，机械能的减少量等于动能减少量减去重力势能增加量，即，故A错误，B正确； CD．将货车从到的匀减速运动看作从到的初速度为零的匀加速运动，设长度为，加速度大小为，根据位移公式 可得从到的时间 从到的总时间 则从到的时间 所以，故C错误，D错误。 故选B。 2．（表征拓展：文本表征——图像表征）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下沿水平方向向敌方防御工事内投掷手榴弹，手榴弹做平抛运动。忽略空气阻力，以下关于手榴弹下落过程中的重力势能（以地面为零势能面）、动能变化量，动能的平均变化率，机械能E随时间t变化的曲线，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．设手榴弹的初始高度为，则手榴弹下落过程中的重力势能 可知图象不可能是直线，故A错误； B．动能变化量等于合外力所做的功，即重力做的功，可得 可知为过原点的抛物线，故B错误； C．根据B选项分析可得 可知为过原点的倾斜直线，故C正确； D．手榴弹下落过程中只有重力做功，机械能守恒，可知图象为平行于轴的直线，机械能大小恒为，故D错误。 故选C。 3．（思维拓展：运动分析——能量守恒）如图所示，倾角为37°的固定斜面底端安装一轻质弹簧，质量为m的物块从斜面上P点以速度v0下滑，被弹簧反弹后恰好能返回到P点。已知物块与斜面间动摩擦因数为0.25，弹簧劲度系数为k，弹簧始终处在弹性限度内，sin37°=0.6，则弹簧的最大压缩量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块从初始位置P点下滑到返回到P点，根据动能定理可得 物块从最低点返回到P点，根据能量守恒定律可得 联立解得 故选B。 4．（思维拓展：单一问题——对比类比）如图所示，甲、乙两种粗糙面不同的传送带，倾斜于水平地面放置，以同样恒定速率v向上运动。现将一质量为m的小物体（视为质点）轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v；在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v。已知B处离地面的高度皆为H。则在小物体从A到B的过程中（　　） A．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数相同 B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等 C．两种传送带对小物体做功相等 D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等 【答案】C 【详解】A．小物体在两种传送带上均做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为 在速度达到v的过程中，小物体在甲传送带上的位移较大，根据可知，小物体在甲传送带上时的加速度较小，则小物体与甲传送带间的动摩擦因数较小，故A错误； C．在小物体从A到B的过程中，根据功能关系可知，传送带对小物体做的功等于小物体机械能的增加量，由于小物体增加的动能和增加的重力势能均相等，即小物体机械能的增加量相同，所以传送带对小物体做功相等，故C正确； D．在小物体从A到B的过程中，摩擦生热为，， 联立可得 由于小物体与甲传送带间的动摩擦因数较小，则小物体与甲传送带间产生的热量较多，故D错误； B．在将小物体传送到B处的过程中，传送带消耗的电能等于系统增加的机械能和产生的热量，两种系统增加的机械能相等，产生的热量不等，所以消耗的电能不等，甲传送带消耗的电能多，故B错误。 故选C。 5．（过程拓展：单一过程——多个过程）如图甲所示，滑沙运动是一项惊险刺激的娱乐活动，可简化为如图乙所示的模型。点是斜面与水平地面的连接处，质量为的物块（可视为质点）从斜面上的点由静止释放，最后停在点。物块与斜面、地面之间的动摩擦因数均为。不计物块经过点时的能量损失；已知，物块在斜面上做匀加速直线运动过程的正中间的位移为，、两点的连线与地面的夹角，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　） A．物块沿斜面下滑的加速度大小为 B．物块与接触面间的动摩擦因数为0.8 C．物块的重力势能的减少量小于 D．物块从运动到，因摩擦产生的热量为 【答案】D 【分析】本题通过滑沙运动考查考生的认识理解能力、建立模型能力和分析综合能力。 本题考查的知识有匀变速直线运动规律、平均速度、动能定理、能量守恒定律等，需要考生正确分析物块的运动过程，选用相应的规律解题。 【详解】A．设物块沿斜面下滑的加速度为，正中间的位移为，则正中间的平均速度，正中间的平均速度也是物块沿斜面下滑的平均速度，由初速度为0的匀加速直线运动规律有 综合解得 A错误； B．如图所示，为在地面上的投影，设斜面的倾角为， 物块从到，由动能定理有 由几何关系有 综合可得 又因为 则 B错误； C．设为物块在段因摩擦产生的热量，由、可得，在物块沿斜面下滑过程中，由能量守恒定律有 可得重力势能的减小量为 即物块重力势能的减少量大于，C错误； D．物块从运动到，设为物块在段因摩擦产生的热量，由能量守恒定律有 D正确。 故选D。 秘法提炼 1.基本思想 功能关系的核心，是功与能的对应性，即每一种力做功与对应能量变化的对应性。明确对应性，在具体问题中，问什么能量的变化，就去分析什么力做功，提高问题的针对性。 能量守恒首先是一种思想，一种能量增加，必定意味着其他能量的减少，能量的增加与减少，一定会有来龙去脉。一般而言，遇到复杂过程，尤其是不好用运动学相关公式去解决的问题，基本上都需要用到能量守恒的思想去处理。 2.经典模型 1.对能量守恒定律的两点理解 （1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2.能量转化问题的解题思路 （1）当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 （2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和和增加的能量总和，最后由列式求解。 专题巩固提升 一、单选题 1．我国风洞技术世界领先，如图所示，在风洞模拟实验的光滑斜面上，上端接一弹簧。一小物块受沿斜面向上恒定风力作用，沿斜面加速上滑。从物块接触弹簧至第一次到达最高点的过程中，由于风力作用，物块和弹簧组成的系统机械能（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【详解】一小物块受沿斜面向上恒定风力作用，沿斜面加速上滑，从物块接触弹簧至第一次到达最高点的过程中，可知风力对物块始终做正功，根据功能关系除重力和弹簧弹力以外的其他力做的功等于系统机械能的变化量，可知物块和弹簧组成的系统机械能一直增大。 故选A。 2．一块质量为M、长为l的长木板A静止放在光滑的水平面上，质量为m的物体B（视为质点）以初速度从左端滑上长木板A的上表面并从右端滑下。该过程中，物体B的动能减少量大小为，长木板A的动能增加量为，A、B间摩擦产生的热量为Q，关于，，Q的值，下列情况可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AC．根据木板A和物体B组成的系统能量守恒 故AC错误； BD．画出物体B和长木板A的速度一时间图线，分别如图中1和2所示 图中1和2之间的梯形面积表示板长，1与轴所围的面积表示物体B的位移，2与轴所围的面积表示长木板A的位移，由图可知 根据功能关系 联立解得 故B正确，D错误。 故选B。 3．如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧下端连接在倾角为的固定光滑斜面底端，弹簧上连接物体，物体通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮与套在光滑固定竖直杆上的小圆环相连，竖直杆上的点与滑轮等高，点与小滑轮间的距离为。一开始通过外力使小圆环静止在点，、间距离为，此时轻绳的拉力大小为。现撤去外力的同时将小圆环由静止释放，弹簧始终在弹性限度内。已知物体的质量为，小圆环的质量为，重力加速度大小取，，。小圆环从点上升至点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．弹簧的弹性势能变小 B．小圆环上升至点时的速度大小为 C．细线拉力对做的功为 D．物体P的机械能减少了 【答案】C 【详解】A．Q在B点时，由勾股定理得绳长，Q到A点时绳长，因此绳子缩短，即物体P沿斜面向下移动 对初始状态的P受力分析：P重力沿斜面分力（沿斜面向下） 绳拉力（沿斜面向上） 因此弹簧弹力（沿斜面向下） 说明弹簧伸长，伸长量 P下移后，弹簧变为压缩，压缩量 形变量大小仍为，弹性势能，因此初末弹性势能相等，故A错误； B．Q到A点时，速度方向竖直，绳方向水平，因此Q沿绳方向分速度为0，即此时P的速度 对系统由机械能守恒，有弹簧弹性势能变化，因此 代入数据解得，故B错误； C． 对Q由动能定理： 代入数据得 ，故C正确； D．P的机械能变化等于除重力外其他力（绳拉力、弹簧弹力）对P做的功：弹簧弹力做功 绳拉力对P做功 因此，即P机械能减少，故D错误。 故选C。 4．一斜面长25m，高7m，一滑块以初动能为210J从底端上滑，恰能到达顶端后返回，返回底端时动能为70J。若以底端为势能零点，重力加速度g取10m/s²，则（　　） A．滑块的质量为1kg B．滑块与斜面间的动摩擦因数为 C．上滑到中点时，滑块的动能是势能的2倍 D．下滑到中点时，滑块的动能是势能的一半 【答案】D 【详解】A.全程动能损失140J，即克服摩擦力做功140J，上滑与下滑各做功70J，所以上升到顶端时，机械能损失70J，即此时重力势能为140J，由得滑块的质量为2kg，故A错误； B.由，，得，故B错误； C.上滑到中点时，势能为,根据动能定理，动能为，故C错误； D.下滑到中点时，势能为，根据动能定理，从顶端下滑到中点，动能为，故D正确。 故选D。 5．北京时间2025年11月14日16时40分，神舟二十一号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。载人飞船返回大气层下落的过程中要通过一段“黑障区”，在通过“黑障区”的这段时间，由于飞船与空气摩擦，飞船做减速运动。关于通过“黑障区”的过程中，飞船的动能和机械能E的变化，下列说法正确的是（　　） A．减小，E减小 B．减小，E不变 C．不变，E减小 D．增大，E增大 【答案】A 【详解】飞船质量不变，由 得做减速运动速度减小，减小，下落过程中飞船克服空气摩擦做功，部分机械能转化为内能，故总机械能 E 减小。 故选A。 6．如图为某建筑工地的传送装置，长，倾角的传送带倾斜地固定在竖直水平面上，以恒定速率顺时针转动，质量的工件（可视为质点）无初速地放在传送带的顶端，经过一段时间工件运动到传动带的底端，工件与传送带之间的动摩擦因数为，（，，重力加速度大小，不计空气阻力）则（　　） A．工件由顶端到底端的时间为 B．工件由顶端到底端过程中机械能减少 C．工件由顶端到底端的过程中，传送带对工件的摩擦力做功为 D．工件由顶端到底端的过程中，因摩擦而产生的热量为 【答案】D 【详解】A．工件相对传送带滑动过程，由牛顿第二定律得 代入数据解得 工件加速到与传送带速度相等需要的时间 该过程的位移 由于tan24°=μ，工件与传送带共速后相对传送带静止一起做匀速直线运动，工件匀速运动的时间 工件由顶端到底端的时间，故A错误； B．工件由顶端到底端过程中机械能增加，故B错误； C．工件由顶端到底端的过程中，根据动能定理 解得 即传送带对工件的摩擦力做功为20J，故C错误； D．工件由顶端到底端的过程中，因摩擦而产生的热量为，故D正确。 故选D。 7．如图所示，上表面粗糙的长木板B静止在光滑的水平面上，物块A叠放在长木板右端，轻弹簧一端连接在物块A上，另一端连接在竖直墙面上，开始时弹簧处于原长，现对B施加一水平向右恒定的拉力F，弹簧始终处于弹性限度内且只分析A未离开B的过程，则正确的说法是（　　）    A．施加拉力后最初的一段时间内，物块A和木板B一定无相对滑动 B．施加拉力的瞬间，物块A所受的摩擦力为零 C．施加拉力后的某一过程中，拉力做的功一定不小于A、B和弹簧整体机械能的增量 D．施加拉力后，在A与B相对滑动过程中，A对B的摩擦力做功的绝对值等于A、B间产生的热量 【答案】C 【详解】A．施加水平向右的恒力F后，当力较小时，物块可能与木板一起运动，然后再分开运动，当力较大时，物块可能与木板分开运动，故A项错误； B．由上述分析可知，施加拉力后，两者之间即发生相对滑动，此时物块A与木板间存在滑动摩擦力，故B项错误； C．由能量守恒可知，拉力F所做的功等于物块A与木板B、弹簧整体机械能的增量以及A、B物体之间摩擦产生的热，即施加拉力后的某一过程中，拉力做的功一定不小于A、B和弹簧整体机械能的增量，故C项正确； D．由功能关系可知，A、B之间产生的热等于A、B之间摩擦力与A、B两物体间的相对位移的乘积即 故D项错误。 故选C。 8．如图1所示为消防员采用的高压水枪，图2为某次灭火的示意图，消防员将出水管与水平地面成角架好，着火点与出水口的竖直距离，水平距离，水落在着火点。已知出水管的横截面积 ，灭火过程中水枪机器的效率，水的密度，重力加速度取，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（　　） A． B． C． D．50kW 【答案】B 【详解】设水做斜抛运动的初速度为，经时间水打到着火点，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得， 设水枪机器消耗的功率为，经时间打出水的质量为 根据能量守恒有   解得 故选B。 9．如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球（　　） A．从a运动到b的时间大于从b运动到c的 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a点的机械能比在b点的大 D．在a点的动能与在c点的相等 【答案】C 【详解】A．足球被踢出后，对足球受力分析，足球受到重力和空气阻力，当足球从a运动到b过程中竖直方向上重力和空气阻力都向下，b运动到c的空气阻力向上，故a运动到b过程中的竖直方向上的加速度大于b运动到c过程中的加速度，a、c两点等高，故从a运动到b的时间小于从b运动到c的，A错误； B．在b点，足球运动方向向右，空气阻力水平向左，故此刻足球的加速度斜向下，B错误； C．由于过程中空气阻力做负功，机械能减少，故在a点的机械能比在b点的大，C正确； D．从a运动到c过程中机械能减少，a、c两点等高重力势能相同，a点的动能比在c点时大，D错误。 故选C。 10．如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有光滑定滑轮。一轻绳跨过滑轮，其一端与悬挂物块Q的竖直轻弹簧连接，另一端与斜面上的物块P相连。托住物块Q轻弹簧处于原长时，系统处于静止状态。现将Q由静止释放（未着地），P始终保持静止，已知物块P与Q质量分别为3m与m，，轻绳不可伸长，轻弹簧始终在弹性限度内，以下判断正确的是（     ） A．Q下落过程，P所受的摩擦力先增大后减小 B．Q下落过程，P所受的摩擦力先减小后增大 C．Q从释放至最低点过程中，Q所受的合力先做负功后做正功 D．Q从释放至最大速度过程中，Q克服弹簧弹力做的功等于重力势能的减少量 【答案】B 【详解】AB．初始时刻，弹簧处于原长，绳子拉力为零。对物块P受力分析，重力沿斜面向下的分力 沿斜面方向由平衡条件可知，静摩擦力 方向沿斜面向上。Q释放后做简谐运动，经过平衡位置时有 根据简谐运动的对称性，Q运动到最低点时，弹簧伸长量为，此时弹簧弹力 此时绳子拉力 则P有向上运动趋势，静摩擦力f方向沿斜面向下，由平衡条件 解得 综上，Q下落过程中，P所受摩擦力大小由1.5mg减小到0，再反向增大到0.5mg，即先减小后增大。故A错误，B正确； C．Q从释放至最低点过程中，速度先增大后减小，动能先增加后减少。根据动能定理可知，合力先做正功后做负功，故C错误； D．Q从释放至最大速度过程中，根据能量守恒定律，Q重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量与Q动能增加量之和。Q克服弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的增加量，所以Q克服弹簧弹力做的功等于重力势能的减少量与动能增加量之差。故D错误。 故选B。 二、解答题 11．如图所示，半径的光滑圆弧轨道的底端与水面相切，轨道上端点P和圆心O的连线与水平面成角。将质量的小物块A以速度向左水平抛出，恰好从P点沿切线进入圆弧轨道，当A运动到圆弧轨道的底端时，与静止在该处的小物块B发生弹性碰撞，碰后A返回圆弧轨道，恰好能上升到与圆心等高的Q点。重力加速度取，，。求： (1)小物块A抛出点离地面的高度； (2)小物块A通过P时对轨道的压力大小； (3)小物块B的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块A做平抛运动，设其在P点竖直方向的分速度为，根据几何关系，A恰好沿切线进入圆弧轨道，故在P点速度方向与水平方向的夹角 由平抛运动规律可得。 从抛出点到P点下落的高度 而P点距圆弧轨道底端B的高度 抛出点离地面的高度 联立并代入数据，解得 （2）小物块A在P点的速度大小 在P点，沿半径方向应用牛顿第二定律，有，代入数据解得轨道对A的支持力。 根据牛顿第三定律，A通过P点时对轨道的压力大小等于，方向沿半径向外。 （3）设A到达底端B点与B碰撞前的速度为，由机械能守恒定律得 设碰后A的速度为，因A恰好能上升到与圆心等高的Q点，根据机械能守恒有 规定向右为正方向，碰前A向右运动，碰后A返回向左运动，代入数据解得，。 A与静止的B发生弹性碰撞，设碰后B的速度为， 由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得。 解得 将、、代入该关系式中， 解得小物块B的质量。 12．如图，倾角的足够长斜面固定在水平地面上，其顶端固定一轻质光滑的定滑轮。劲度系数k=100N/m的轻质弹簧的下端固定在垂直斜面底端的挡板上，上端与质量的小物块A相连。质量的小物块B通过轻绳跨过滑轮与质量的重物C连接。用手将B沿斜面缓慢下压，当弹簧的压缩量时C离地高度，此时释放物块B。已知A、B与斜面间的动摩擦因数均为，取，求： (1)B与A恰好分离时C下落的高度； (2) B与A恰好分离时A的速度大小； (3)B上滑的最大距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）B与A恰好分离时，A、B间弹力为0，且此时A与B的加速度大小相等，根据牛顿第二定律，对A有 对B，有 对C，有 可得 B与A恰好分离时C下落高度 解得， 即B与A恰好分离时C下落的高度为 （2）从释放B到A、B分离的过程，弹簧弹力对A做的功 对A、B、C组成的系统，根据能量守恒有 解得 可得B与A恰好分离时A的速度大小为 （3）A、B分离后，B和C继续运动，当C刚要接触地面时B的速度达到最大，设此时速度大小为，则 解得 C落地后，轻绳开始松弛，设B继续上滑时速度为零，对B根据动能定理有 解得 B上滑的最大距离 解得 13．如图所示，质量为0.1 kg的黑色小煤块（可视为质点），以v0 = 4 m/s从图甲中的A点滑上传送带，传送带以v = 2 m/s的恒定速率逆时针运行，传送带足够长。小煤块的速度—时间图像如图乙所示，取g = 10 m/s2，结合图像求解下列问题： （1）求小煤块在传送带上留下的痕迹长； （2）求小煤块在传送带上运动的过程中产生的热量。 【答案】（1）9 m；（2）1.8 J 【详解】（1）在前2 s内，小煤块相对地面向右的位移 传送带向左的位移 x2 == 2×2m =4m 故在前2 s内，小煤块相对传送带向右的位移 Δx1 = x1 + x2 =8m 在第3 s内，小煤块向左的位移 x3 = m =1m 此过程中，传送带向左的位移 x4 == 2×1m =2m 小煤块相对传送带向右的位移 Δx2 = x4–x3 =1m 煤块在传送带上留下的痕迹长为 Δx1+Δx2 =9m （2）由图像可知，小煤块运动时的加速度 动摩擦因数 前2 s内产生的热量，等于该段时间内小煤块相对于传送带的位移，故有 Q1 = μmgΔx1 = 1.6 J 第3 s内产生的热量，等于该段时间内小煤块相对于传送带的位移，则有 Q2 =μmgΔx2 = 0.2 J 3 s后，小煤块与传送带速度相等，两者之间不再发生相对运动，也不再产生热量，故有总热量 Q = Q1 + Q2 = 1.8 J 14．如下图所示为一游戏装置的示意图。一光滑轨道ABCDEF由3部分拼接而成，分别是半径为的半圆弧，半径为的半圆弧，和水平部分，两半圆弧直径与在同一竖直线上，的右侧有一光滑无限长直水平轨道，点左侧与等高处有一小段光滑水平轨道，水平轨道上有一弹簧，弹簧左端固定，右端与一质量为的小物块接触但不粘连。光滑水平面上放置一质量为的长方体小车，小车内竖直面内有一管道，管道由6段光滑圆弧和一段粗糙水平管道平滑连接，四段圆弧的半径均为，两段半圆弧的半径均为，各段圆弧管道圆心等高，水平粗糙管道部分长为，与小物块之间的摩擦系数为，已知圆弧半径远大于管道粗细，管道直径略大于小物块，管道左端入口处和出口处与水平面等高，现向左推小物块并弹簧压缩，使弹簧获得一定的弹性势能，然后由静止释放小物块，物块将被弹出。 (1)要使小物块能沿轨道运动到点，试求释放前弹簧具有的弹性势能； (2)若弹簧的弹性势能与（1）中相同，试求释放弹簧后，小物块第一次到达管道最高点时，小物块相对地面的速度和小物块对小车的作用力； (3)改变弹簧的弹性势能，使小物块能沿轨道运动并从进入管道，试求小车最终获得的速度与弹簧弹性势能之间的关系（假定小车始终不脱离地面）。 【答案】(1)6J (2)，5N (3)①当时；②当时 【详解】（1）要使物块能进入轨道后不脱离 得 此时弹簧的弹性势能为 （2）先求到F点的速度 可得 假定小滑块能到第一个半圆弧最高点，且此时小物块的速度为，小车的速度为 由水平方向动量守恒 由能量守恒 可解得， 由指向圆心的合力提供向心力： 解得：，即小物块受小车的支持力为5N， 由牛顿第三定律，小物块对小车有向下的力，且为5N （3）首先要使得小物块不脱离左侧轨道， 假定物块恰好能冲上第2个半圆的最高点，设此时在F处的速度为，物块和小车有共同的速度 由水平方向动量守恒： 由能量守恒： 可解得， 此时 得 ①当时，小物块可越过第一个半圆弧最高点，不能越过第二个半圆弧最高点，后相对于小车中管道左右运动，并最终和管道相对静止。 根据 可得 小车的最终速度为 ②当时，小物块可通过第二个半圆最高点，并从小车右侧滑出管道。 由动量守恒： 由能量守恒 可解得：， 又 因此小车最终的速度为 试卷第20页，共22页 试卷第19页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08功能关系与能量守恒 典例剖析：功能关系与能量守恒 如图所示，一个质量为，大小不计的物体以某一初速度v由斜面底端冲上倾角为的固定斜面，运动过程中加速度大小为，沿斜面向上运动的最大高度为，则在这个过程中（     ） A．物体的动能减少了 B．物体的重力势能增加了 C．物体的机械能损失了 D．系统产生的热量为 深度探究 探究1：试题点拨 功能关系问题的关键点是什么？ 探究2：拓展设问 设问1：本题中，哪些能量增加了？哪些能量减少了？增加量与减少量之间的关系是什么？ 设问2：本题中，物体整个运动过程中，合外力做功等于多少？ 设问3：若物体沿着斜面到达最高点后，又沿着斜面下滑至最底端，则物体与斜面之间的动摩擦因数需要满足什么条件？ 探究3：类题拓展 1．（思维拓展：理想模型——生活情境）如图甲所示为避险车道，其简化模型如图乙所示。一辆质量为的货车刹车失灵后冲上避险车道，经过点时速度大小为，到达点时速度恰好减小为0，点为中点，两点高度差为，货车从到的运动视为匀变速运动，重力加速度大小为，则货车（     ） A．从到的过程中，机械能减少了 B．从到的过程中，机械能减少了 C．从到与从到所用的时间之比 D．从到与从到所用的时间之比 2．（表征拓展：文本表征——图像表征）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下沿水平方向向敌方防御工事内投掷手榴弹，手榴弹做平抛运动。忽略空气阻力，以下关于手榴弹下落过程中的重力势能（以地面为零势能面）、动能变化量，动能的平均变化率，机械能E随时间t变化的曲线，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（思维拓展：运动分析——能量守恒）如图所示，倾角为37°的固定斜面底端安装一轻质弹簧，质量为m的物块从斜面上P点以速度v0下滑，被弹簧反弹后恰好能返回到P点。已知物块与斜面间动摩擦因数为0.25，弹簧劲度系数为k，弹簧始终处在弹性限度内，sin37°=0.6，则弹簧的最大压缩量为（　　） A． B． C． D． 4．（思维拓展：单一问题——对比类比）如图所示，甲、乙两种粗糙面不同的传送带，倾斜于水平地面放置，以同样恒定速率v向上运动。现将一质量为m的小物体（视为质点）轻轻放在A处，小物体在甲传送带上到达B处时恰好达到传送带的速率v；在乙传送带上到达离B竖直高度为h的C处时达到传送带的速率v。已知B处离地面的高度皆为H。则在小物体从A到B的过程中（　　） A．两种传送带与小物体之间的动摩擦因数相同 B．将小物体传送到B处，两种传送带消耗的电能相等 C．两种传送带对小物体做功相等 D．将小物体传送到B处，两种系统产生的热量相等 5．（过程拓展：单一过程——多个过程）如图甲所示，滑沙运动是一项惊险刺激的娱乐活动，可简化为如图乙所示的模型。点是斜面与水平地面的连接处，质量为的物块（可视为质点）从斜面上的点由静止释放，最后停在点。物块与斜面、地面之间的动摩擦因数均为。不计物块经过点时的能量损失；已知，物块在斜面上做匀加速直线运动过程的正中间的位移为，、两点的连线与地面的夹角，重力加速度，，，下列说法正确的是（　　） A．物块沿斜面下滑的加速度大小为 B．物块与接触面间的动摩擦因数为0.8 C．物块的重力势能的减少量小于 D．物块从运动到，因摩擦产生的热量为 秘法提炼 1.基本思想 功能关系的核心，是功与能的对应性，即每一种力做功与对应能量变化的对应性。明确对应性，在具体问题中，问什么能量的变化，就去分析什么力做功，提高问题的针对性。 能量守恒首先是一种思想，一种能量增加，必定意味着其他能量的减少，能量的增加与减少，一定会有来龙去脉。一般而言，遇到复杂过程，尤其是不好用运动学相关公式去解决的问题，基本上都需要用到能量守恒的思想去处理。 2.经典模型 1.对能量守恒定律的两点理解 （1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2.能量转化问题的解题思路 （1）当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。 （2）解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和和增加的能量总和，最后由列式求解。 专题巩固提升 一、单选题 1．我国风洞技术世界领先，如图所示，在风洞模拟实验的光滑斜面上，上端接一弹簧。一小物块受沿斜面向上恒定风力作用，沿斜面加速上滑。从物块接触弹簧至第一次到达最高点的过程中，由于风力作用，物块和弹簧组成的系统机械能（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．一块质量为M、长为l的长木板A静止放在光滑的水平面上，质量为m的物体B（视为质点）以初速度从左端滑上长木板A的上表面并从右端滑下。该过程中，物体B的动能减少量大小为，长木板A的动能增加量为，A、B间摩擦产生的热量为Q，关于，，Q的值，下列情况可能的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧下端连接在倾角为的固定光滑斜面底端，弹簧上连接物体，物体通过平行于斜面的轻绳绕过定滑轮与套在光滑固定竖直杆上的小圆环相连，竖直杆上的点与滑轮等高，点与小滑轮间的距离为。一开始通过外力使小圆环静止在点，、间距离为，此时轻绳的拉力大小为。现撤去外力的同时将小圆环由静止释放，弹簧始终在弹性限度内。已知物体的质量为，小圆环的质量为，重力加速度大小取，，。小圆环从点上升至点的过程中，下列说法正确的是（     ） A．弹簧的弹性势能变小 B．小圆环上升至点时的速度大小为 C．细线拉力对做的功为 D．物体P的机械能减少了 4．一斜面长25m，高7m，一滑块以初动能为210J从底端上滑，恰能到达顶端后返回，返回底端时动能为70J。若以底端为势能零点，重力加速度g取10m/s²，则（　　） A．滑块的质量为1kg B．滑块与斜面间的动摩擦因数为 C．上滑到中点时，滑块的动能是势能的2倍 D．下滑到中点时，滑块的动能是势能的一半 5．北京时间2025年11月14日16时40分，神舟二十一号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。载人飞船返回大气层下落的过程中要通过一段“黑障区”，在通过“黑障区”的这段时间，由于飞船与空气摩擦，飞船做减速运动。关于通过“黑障区”的过程中，飞船的动能和机械能E的变化，下列说法正确的是（　　） A．减小，E减小 B．减小，E不变 C．不变，E减小 D．增大，E增大 6．如图为某建筑工地的传送装置，长，倾角的传送带倾斜地固定在竖直水平面上，以恒定速率顺时针转动，质量的工件（可视为质点）无初速地放在传送带的顶端，经过一段时间工件运动到传动带的底端，工件与传送带之间的动摩擦因数为，（，，重力加速度大小，不计空气阻力）则（　　） A．工件由顶端到底端的时间为 B．工件由顶端到底端过程中机械能减少 C．工件由顶端到底端的过程中，传送带对工件的摩擦力做功为 D．工件由顶端到底端的过程中，因摩擦而产生的热量为 7．如图所示，上表面粗糙的长木板B静止在光滑的水平面上，物块A叠放在长木板右端，轻弹簧一端连接在物块A上，另一端连接在竖直墙面上，开始时弹簧处于原长，现对B施加一水平向右恒定的拉力F，弹簧始终处于弹性限度内且只分析A未离开B的过程，则正确的说法是（　　）    A．施加拉力后最初的一段时间内，物块A和木板B一定无相对滑动 B．施加拉力的瞬间，物块A所受的摩擦力为零 C．施加拉力后的某一过程中，拉力做的功一定不小于A、B和弹簧整体机械能的增量 D．施加拉力后，在A与B相对滑动过程中，A对B的摩擦力做功的绝对值等于A、B间产生的热量 8．如图1所示为消防员采用的高压水枪，图2为某次灭火的示意图，消防员将出水管与水平地面成角架好，着火点与出水口的竖直距离，水平距离，水落在着火点。已知出水管的横截面积 ，灭火过程中水枪机器的效率，水的密度，重力加速度取，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（　　） A． B． C． D．50kW 9．如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球（　　） A．从a运动到b的时间大于从b运动到c的 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a点的机械能比在b点的大 D．在a点的动能与在c点的相等 10．如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有光滑定滑轮。一轻绳跨过滑轮，其一端与悬挂物块Q的竖直轻弹簧连接，另一端与斜面上的物块P相连。托住物块Q轻弹簧处于原长时，系统处于静止状态。现将Q由静止释放（未着地），P始终保持静止，已知物块P与Q质量分别为3m与m，，轻绳不可伸长，轻弹簧始终在弹性限度内，以下判断正确的是（     ） A．Q下落过程，P所受的摩擦力先增大后减小 B．Q下落过程，P所受的摩擦力先减小后增大 C．Q从释放至最低点过程中，Q所受的合力先做负功后做正功 D．Q从释放至最大速度过程中，Q克服弹簧弹力做的功等于重力势能的减少量 二、解答题 11．如图所示，半径的光滑圆弧轨道的底端与水面相切，轨道上端点P和圆心O的连线与水平面成角。将质量的小物块A以速度向左水平抛出，恰好从P点沿切线进入圆弧轨道，当A运动到圆弧轨道的底端时，与静止在该处的小物块B发生弹性碰撞，碰后A返回圆弧轨道，恰好能上升到与圆心等高的Q点。重力加速度取，，。求： (1)小物块A抛出点离地面的高度； (2)小物块A通过P时对轨道的压力大小； (3)小物块B的质量。 12．如图，倾角的足够长斜面固定在水平地面上，其顶端固定一轻质光滑的定滑轮。劲度系数k=100N/m的轻质弹簧的下端固定在垂直斜面底端的挡板上，上端与质量的小物块A相连。质量的小物块B通过轻绳跨过滑轮与质量的重物C连接。用手将B沿斜面缓慢下压，当弹簧的压缩量时C离地高度，此时释放物块B。已知A、B与斜面间的动摩擦因数均为，取，求： (1)B与A恰好分离时C下落的高度； (2) B与A恰好分离时A的速度大小； (3)B上滑的最大距离。 13．如图所示，质量为0.1 kg的黑色小煤块（可视为质点），以v0 = 4 m/s从图甲中的A点滑上传送带，传送带以v = 2 m/s的恒定速率逆时针运行，传送带足够长。小煤块的速度—时间图像如图乙所示，取g = 10 m/s2，结合图像求解下列问题： （1）求小煤块在传送带上留下的痕迹长； （2）求小煤块在传送带上运动的过程中产生的热量。 14．如下图所示为一游戏装置的示意图。一光滑轨道ABCDEF由3部分拼接而成，分别是半径为的半圆弧，半径为的半圆弧，和水平部分，两半圆弧直径与在同一竖直线上，的右侧有一光滑无限长直水平轨道，点左侧与等高处有一小段光滑水平轨道，水平轨道上有一弹簧，弹簧左端固定，右端与一质量为的小物块接触但不粘连。光滑水平面上放置一质量为的长方体小车，小车内竖直面内有一管道，管道由6段光滑圆弧和一段粗糙水平管道平滑连接，四段圆弧的半径均为，两段半圆弧的半径均为，各段圆弧管道圆心等高，水平粗糙管道部分长为，与小物块之间的摩擦系数为，已知圆弧半径远大于管道粗细，管道直径略大于小物块，管道左端入口处和出口处与水平面等高，现向左推小物块并弹簧压缩，使弹簧获得一定的弹性势能，然后由静止释放小物块，物块将被弹出。 (1)要使小物块能沿轨道运动到点，试求释放前弹簧具有的弹性势能； (2)若弹簧的弹性势能与（1）中相同，试求释放弹簧后，小物块第一次到达管道最高点时，小物块相对地面的速度和小物块对小车的作用力； (3)改变弹簧的弹性势能，使小物块能沿轨道运动并从进入管道，试求小车最终获得的速度与弹簧弹性势能之间的关系（假定小车始终不脱离地面）。 试卷第2页，共10页 试卷第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $