5.4三角函数的图象与性质 课后作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学三角函数的图象与性质同步练，新授课场景下分层设计清晰，从基础概念理解到综合应用再到能力提升，梯度合理，助力知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练题|三角函数定义、周期性、单调性等单一性质|选择、填空、解答题结合，如第1题判断单调性，第9题求解单调区间与最值，培养运算能力与几何直观| |综合训练题|奇偶性、周期性等性质综合应用|结合函数性质与图象分析，如第11题利用奇函数图象解不等式，体现推理能力| |能力提升题|含参三角函数最值问题|参数求解与分类讨论，如第13题根据最值求a、b值，发展模型意识与创新意识|

5.4三角函数的图象与性质 学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质； 2.掌握求解函数周期性、单调性、对称性与最值的方法． 课后作业 一、基础训练题 1．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝－sin x D．y＝－cos x 2．设函数f(x)＝2sin,若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D． 3．(多选题)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在(，π)上单调递减 4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　) A．(－，0) B．(－，0) C．(，0) D．(，0) 5．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 6．(多选题)已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点对称 B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－ C．若x∈，则函数f(x)的最小值为＋1 D．若0<x1<x2<π，则f(x1)<f(x2) 7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________． 8．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________． 9．已知函数f(x)＝sin． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 二、综合训练题 10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　) A．－　 B． C．－　 D． 11．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是__________． 12．求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值． 三、能力提升题 13．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是 －2，求a和b的值． 参考答案 1、【答案】D 【解析】作出四个函数的图象(图略)，知y＝sin x，y＝cos x在上单调递减，不符合； 而y＝－sin x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D. 2、【答案】B 【解析】依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝T(k∈Z)． ∴当k＝0时，|x1－x2|min＝T＝×＝2. 3、【答案】ABC 【解析】A项，因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确； B项，因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确； C项，f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝， 所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确； D项，因为f(x)＝cos(x＋)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)， 所以(，)是f(x)的单调递减区间，[，π)是f(x)的单调递增区间，D项错误．] 4、【答案】A 【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝. 因为f(x)≤f()恒成立，所以f(x)max＝f()，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin(x＋)．令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)， 故f(x)图象的对称中心为(2kπ－，0)(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为(－，0)． 5、【答案】AB　 【解析】令kπ－<x＋<kπ＋，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选AB.] 6、【答案】BC 【解析】对于函数f(x)＝2sin＋1， 当x＝时，f(x)＝＋1，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－1，为最小值，故函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－，故选项B正确；当x∈，2x－∈，故当2x－＝或时，f(x)取得最小值为＋1，故选项C正确；若0<x1<x2<π，则－<2x1－<2x2－<，不能推出f(x1)<f(x2)，故D错误，故选BC.] 7、【答案】　 【解析】由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝. 8、【答案】－π　 【解析】由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π. 9．解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z． 故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z． (2)因为当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－． 10、【答案】D 【解析】 f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin＝. 11、【答案】∪(0,1)∪　 【解析】∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数， 从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0,1)∪. 12、[解]　y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－2＋. 因为－≤x≤，－≤sin x≤， 所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝； 当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－. 13、[解]　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1， ∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2. 由得 www.21cn5.4三角函数的图象与性质 班级 姓名 学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质； 2.掌握求解函数周期性、单调性、对称性与最值的方法． 学习过程 自学指导 自学检测及课堂展示 完成右边的内容 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 周期性 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 周期性 y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝ 奇偶性 φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数； φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数 单调性 根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究， 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间； 由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间 对称性 利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解， 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解， 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴 函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象与性质 例1、 已知函数，求： (1) 函数f(x)的单调性； (2)函数f(x)的对称中心与对称轴； (3)当x在时，f(x)的范围; (4)若y=f(x+φ)是偶函数，求φ； (5)若y=f(x+θ)(|θ|＜)关于(，0)对称，求θ； (6)做出函数f(x)图像. 函数 y＝Acos(ωx＋φ) 的图象与性质 例2、 已知函数， (1) 做出函数f(x)图像； (2) 求函数f(x)的单调区间，对称中心与对称轴； (3) 求函数f(x)的最值及取最值时x的值； (4) 当f(x)≥1时，求x的取值范围. 函数 y＝Atan(ωx＋φ) 的图象与性质 例3、 已知，求： (1) f(x)的定义域； (2)f(x)的单调区间； (3)f(x)的对称轴； (4)当f(x)＜1时，求x的取值范围. 换元法的运用 例4、(1)函数y＝cos2x＋sin x的最大值为________． (2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________． 课后作业 一、基础训练题 1．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝－sin x D．y＝－cos x 2．设函数f(x)＝2sin,若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D． 3．(多选题)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在(，π)上单调递减 4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　) A．(－，0) B．(－，0) C．(，0) D．(，0) 5．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 6．(多选题)已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点对称 B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－ C．若x∈，则函数f(x)的最小值为＋1 D．若0<x1<x2<π，则f(x1)<f(x2) 7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________． 8．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________． 9．已知函数f(x)＝sin． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值． 二、综合训练题 10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　) A．－　 B． C．－　 D． 11．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是__________． 12．求函数y＝cos2x－sin x，x∈的最值． 三、能力提升题 13．已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是 －2，求a和b的值． 5.4三角函数的图象与性质 参考答案 1、【答案】D 【解析】作出四个函数的图象(图略)，知y＝sin x，y＝cos x在上单调递减，不符合； 而y＝－sin x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D. 2、【答案】B 【解析】依题意得f(x1)是f(x)的最小值，f(x2)是f(x)的最大值．因此|x1－x2|＝T(k∈Z)． ∴当k＝0时，|x1－x2|min＝T＝×＝2. 3、【答案】ABC 【解析】A项，因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确； B项，因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确； C项，f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝， 所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确； D项，因为f(x)＝cos(x＋)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)， 所以(，)是f(x)的单调递减区间，[，π)是f(x)的单调递增区间，D项错误．] 4、【答案】A 【解析】由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝. 因为f(x)≤f()恒成立，所以f(x)max＝f()，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 由|φ|＜，得φ＝，故f(x)＝sin(x＋)．令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)， 故f(x)图象的对称中心为(2kπ－，0)(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为(－，0)． 5、【答案】AB　 【解析】令kπ－<x＋<kπ＋，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选AB.] 6、【答案】BC 【解析】对于函数f(x)＝2sin＋1， 当x＝时，f(x)＝＋1，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－1，为最小值，故函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－，故选项B正确；当x∈，2x－∈，故当2x－＝或时，f(x)取得最小值为＋1，故选项C正确；若0<x1<x2<π，则－<2x1－<2x2－<，不能推出f(x1)<f(x2)，故D错误，故选BC.] 7、【答案】　 【解析】由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝. 8、【答案】－π　 【解析】由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π. 9．解　(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z． 故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z． (2)因为当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－． 10、【答案】D 【解析】 f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin＝. 11、【答案】∪(0,1)∪　 【解析】∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cos x是(－3,3)上的奇函数， 从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为∪(0,1)∪. 12、[解]　y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－2＋. 因为－≤x≤，－≤sin x≤， 所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝； 当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－. 13、[解]　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1， ∴f(x)max＝a＋b＝，f(x)min＝－a＋b＝－2. 由得 jy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $