专题2.2分式的乘法与除法（9大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统构建分式乘除运算的方法体系，通过典例变式实现从基础到素养的递进，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的乘法|典例1+变式3|法则应用+符号处理|从乘法法则到变式应用| |分式的除法|典例2+变式3|除式颠倒+因式分解|除法转化为乘法运算| |分式的乘方|典例3+变式3|分子分母分别乘方|乘方与乘除混合顺序| |混合运算|典例4+变式3|先乘方再乘除|运算顺序与步骤规范| |化简求值|典例5+变式3|整体代入+条件限制|化简与求值结合| |实际应用|典例6+变式3|建模分析+平均量计算|数学语言表达现实问题| |微专题（纠错）|典例7+变式3|错误归因+步骤规范|批判性思维培养| |压轴（规律探究/新题型）|典例8-9+变式6|归纳推理+新定义转化|从具体到抽象的数学思维|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2分式的乘法与除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 分式的乘法 模块6分式运算的实际应用 模块2 分式的除法 微专题1分式计算纠错（分析）问题 模块3 分式的乘方 压轴1 分式运算的规律探究 模块4 分式的混合运算 压轴2 分式运算的新题型 模块5 分式的化简求值 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式的乘除 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为 2...除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为 知识点2 分式的乘方 一般地，当n是正整数时， 。.这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方. 知识点3 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序:先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的。 模块通关·举一反 三 【模块一】分式的乘法 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键 【变式1-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质结合乘法公式化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，乘法公式，熟知分式的基本性质是解题的关键 【变式1-2】化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将分子分母因式分解，再根据分式的乘法以及分式的性质约分化简即可． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，掌握分式的性质是解题的关键． 【变式1-3】计算：_______． 【答案】 【分析】把分子分母分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的乘法运算，掌握“分式的乘法的运算法则”是解本题的关键． 【模块二】分式的除法 【典例2】化简下列各式，结果不为整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘法和除法计算法则分别计算出四个选项中的结果，再根据整式的定义判断即可． 【详解】解：A、 ，是整式，不符合题意； B、 ，是整式，不符合题意； C、 ，不是整式，符合题意； D、 ，是整式，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法和除法计算，整式的定义，正确计算是解题的关键． 【变式2-1】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除运算法则逐一判断即可； 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟记运算法则是解题关键． 【变式2-2】化简分式正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将除法转化为乘法，同时将第二个分式的分子和分母进行因式分解，然后再约分即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的乘除法，掌握其运算法则是解题的关键．注意：运算结果必须化为最简分式或整式． 【变式2-3】使式子有意义的的取值范围是(   ) A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：使式子有意义， ，且， 解得：，且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 【模块三】分式的乘方 【典例3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的负整数次幂和分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题考查分式的负整数次幂、分式的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3-1】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒． 【详解】A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的运算，在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除 【变式3-2】下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解． 【详解】、，故本选项错误，符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【变式3-3】计算： (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的乘方运算法则计算即可； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的除法； （3）根据分式的乘方运算法则计算即可； （4）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则是解题的关键． 【模块四】分式的混合运算 【典例4】的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 【变式4-1】计算÷(－)·()2的结果是(   ) A．－x B．－ C． D． 【答案】A 【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】原式=−． 故选A． 【点睛】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 【变式4-2】（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【变式4-3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案； （2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案． （3）先计算分式的乘方、零次幂、负整数次幂，再约分化简即可； （4）先通过提取公因式、平方差公式将原式变形，再将分式除法转化为分式乘法，最后约分化简即可． （5）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算； （6）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算． 【详解】（1） （2） （3）解： （4）解： （5）原式 （6）原式 【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【模块五】分式的化简求值 【典例5】若，求的值 【答案】 【分析】设，从而得x=3k，y=4k，z=5k；通过整式和分式的运算性质计算，即可得到答案． 【详解】设， ∴x=3k，y=4k，z=5k ∴ = = =． 【点睛】本题考查了整式、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握整式、分式运算的性质，从而完成求解． 【变式5-1】先将化简，再选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【答案】，当时，原式．（取值不同，答案不同，合理即可） 【分析】根据分式的乘除运算法则将原式化简，取一个是原式有意义的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 根据分式有意义的条件，取，，之外的任一值即可， 当时，原式．（取值不同，答案不同，合理即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意去m的值时要使原式有意【变式5-2】阅读下面的解题过程，然后回答问题： 计算 解：=…………① =………………………② =1 …………………………………………………③ 解题过程中，第 步出现错误，写出正确的解答 【答案】②，－1 【分析】根据运算过程中应用的法则，逐步判断即可确定哪步是错的，再按照分式化简的法则写出正确答案即可． 【详解】（1）由第①步到第②步时，变成没有变号， 故答案为：② 解：， = ， =－， =－1． 【点睛】本题考查了分式的化简运算，解题关键是熟悉每步运算法则，准确进行计算 【变式5-3】已知，求的值． 【答案】 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【模块六】分式运算的实际应用 【典例6】如果一个数的实际值为m，测量值为n，我们把|m﹣n|称为绝对误差，把称为相对误差.例如，某个零件的实际长度为10cm，测量得9.8cm，那么测量的绝对误差为0.2cm，相对误差为0.02.若某个零件测量所产生的相对误差为0.05，则该零件的测量值与实际值的比＝______ 【答案】0.95或1.05 【分析】由相对误差的定义得出＝0.05，再根据绝对值的化简法则及分式的除法运算法则计算即可. 【详解】解：∵相对误差为0.05 ∴＝0.05 ∴＝0.05或＝﹣0.05 ∴1﹣＝0.05或1﹣＝﹣0.05 ∴＝0.95或1.05 故答案为：0.95或1.05. 【点睛】此题主要考查分式的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质及分式的除法运算法则. 【变式6-1】元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（    ） A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较 【答案】B 【详解】解：顾客甲购买该商品的平均单价为＝（元/千克）， 顾客乙购买该商品的平均单价为＝（元/千克）， ∵﹣＝＝＞0， ∴乙划算， 故选：B． 【变式6-2】甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元．由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（　　） A．甲比乙便宜 B．乙比甲便宜 C．甲与乙相同 D．由m的值确定 【答案】B 【解析】 由题意可得： 甲三次买米的平均单价为：（元/千克）， 乙三次买米的平均单价为：=（元/千克）， ∵， ∴乙的单价比甲的单价便宜. 故选B. 【变式6-3】小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】（1）两次加油的总量是：升，平均价是元/升．（2）当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱．当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱．理由见解析 【详解】 （1）妈妈两次加油的总量是：升； 妈妈两次加油的平均价是（元/升）． （2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升）， ∵， ∴．当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱； 当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分式计算纠错（分析）问题 【典例7】张红同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中a＝﹣2． 解：原式＝ ① ＝ ② ＝ ③ ＝ ④ 上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是　 　（填入编号），请完整地写出正确的解答过程． 【答案】①，解答过程见解析 【详解】 解：上面的解题过程从第①步出现错误， 原式= = = = = ， 当a=-2时， 原式==-1， 故答案为：①． 【变式7-1】老师出了一道题：计算，对于下面这三名同学的做法，你的判断是(        ) 嘉嘉的做法是：原式； 淇淇的做法是：； 乐乐的做法是：． A．嘉嘉的做法正确 B．淇淇的做法正确 C．乐乐的做法正确 D．三名同学的做法均不正确 【答案】C 【详解】 解：嘉嘉的作法是错误的，原式，x-2要加括号； 淇淇的作法也是错误的，错在漏写了分母； 乐乐的作法是正确的： ． 所以正确的应是乐乐． 故选：． 【变式7-2】老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果． 老师：，甲：，乙：，丙：，丁：1 接力中，计算出现错误的是（ ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】 出现错误的是乙，正确结果为：， 故选：B． 【变式7-3】下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（ ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】 ∵， ∴①错误， ∵是最简分式，不能化简， ∴②错误， ∵， ∴③错误， ∵， ∴④正确， 故选D． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】分式运算的规律探究 【典例8】先观察下列各式： ， ， ， ┅┅ 则（1） ； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 解：（1） （2） ． 【变式8-1】一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是_____． 【答案】 【详解】 ∵, ， =（﹣1）3+1·， … 第n个式子应为： ∴第10个式子是（﹣1）10+1•=， 故答案是：． 【变式8-2】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为，已知＝5，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推…，的值是_____． 【答案】5． 【详解】 ∵a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…， ∴ ∴ ∴ … ∵2020÷3＝673…1 ∴第2020个数与第1个数相等 ∴a2020＝5． 故答案为：5． 【变式8-3】阅读下列材料，完成相应任务： 神奇的等式 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 第100个等式：；… 任务： （1）第6个等式为：　　； （2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【详解】 解：（1）由题意得，第6个等式为：， 故答案为． （2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为：； 证明：∵左边＝， ∴左边＝右边，等式成立． 故答案为． 【压轴二】分式运算的新题型 【典例9】（1）探索：如果，则m= ；如果则m= ； （2）总结：如果（其中a，b，c为常数），则m= ；（用含a，b，c的式子表示）； （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1）5，；（2）；（3）或． 【详解】 （1）， ， ， ， 解得； ， ， ， ， 解得； 故答案为：5，； （2）， ∵， ， ； （3）由（2）可得：， ∵代数式的值为整数， ∴的值为整数， 又为整数， 或， 解得或． 【变式9-1】阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【详解】 解：（1）， ； （2）， 当，即； 当，即； 当，即； 当，即， 综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【变式9-2】阅读下面的解题过程： 已知求的值． 解：由知 ∴即 ∴ ∴ 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知：，求的值． 【答案】 【详解】 由知 即 ． 【变式9-3】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式x2+的值． 解：∵，∴＝4 即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则 根据材料回答问题： （1）已知，求x+的值． （2）已知，（abc≠0），求的值． （3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵＝， ∴＝4， ∴x﹣1+＝4， ∴x+＝5； （2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k， ∴＝＝＝； （3）解法一：设＝＝＝（k≠0）， ∴①，②，③， ①+②+③得：2（）＝3k， ＝k④， ④﹣①得：＝k， ④﹣②得：， ④﹣③得：k， ∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得： ＝， ， k＝4， ∴x＝，y＝，z＝， ∴xyz＝＝＝； 解法二：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将其代入中得： ＝ ＝，y＝， ∴x＝，z＝＝， ∴xyz＝＝． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】 直接进行约分，即可得出答案． 【详解】 解：=， 故选C． 【名师点睛】 本题考查了分式的乘除法，关键是正确约分，约分的关键是找到公因式． 2.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题解析：原式 故选C. 3.下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误； 故选C． 4.下列各式中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 5.的计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果． 【详解】 = = =． 故选：B． 【名师点睛】 本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键． 二 填空题 6.计算　　． 【解答】解：原式． 故答案为：． 7.＝______． 【答案】； 【解析】. 8.计算： （1）　　 ； （2）　　 ． 【解答】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 9.计算： （1）　　； （2）　　． 【解答】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 10.计算：=________；=________；＝_______． 【答案】               【详解】解：； ； ； 故答案为：，，． 三 解答题 11.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) （1）解： （2）解： 12.计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) （1） （2） （3） （4） （5） （6） 13．计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）分式分子、分母能因式分解的先因式分解，然后约分化简即可； （2）分式分子、分母能因式分解的先因式分解，然后约分化简即可； （3）分式分子、分母能因式分解的先因式分解，然后约分化简即可； （4）分式分子、分母能因式分解的先因式分解，然后约分化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 14.已知，求的值． 【解答】解：， ， 则， 原式 15.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是  （填序号）； ①　　　　②　　　　③　　　　　④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)②③ (2)，过程见解析 (3)，当，该式的值是整数， 【详解】（1）解：①，不是“和谐分式”，　　　　 ②，是“和谐分式”，　　　 ③，是“和谐分式”， ④，不是“和谐分式”， 故答案为：②③； （2）解： ； （3）解： ， ∵为整数， ∴， ∴当时，是整数， 又∵． ∴时，原式的值是整数． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.2分式的乘法与除法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 分式的乘法 模块6分式运算的实际应用 模块2 分式的除法 微专题1分式计算纠错（分析）问题 模块3 分式的乘方 压轴1 分式运算的规律探究 模块4 分式的混合运算 压轴2 分式运算的新题型 模块5 分式的化简求值 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式的乘除 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用式子表示为 2...除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为 知识点2 分式的乘方 一般地，当n是正整数时， 。.这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方. 知识点3 分式的混合运算 式与数有相同的混合运算顺序:先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的。 模块通关·举一反 三 【模块一】分式的乘法 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算：_______． 【模块二】分式的除法 【典例2】化简下列各式，结果不为整式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】化简分式正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】使式子有意义的的取值范围是(   ) A．且 B．且 C．且 D．，且 【模块三】分式的乘方 【典例3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列计算中，错误的是(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】计算： (1) (2) (3)； (4)． 【模块四】分式的混合运算 【典例4】的结果是（    ） A． B． C． D．1 【变式4-1】计算÷(－)·()2的结果是(   ) A．－x B．－ C． D． 【变式4-2】（1）________；              （2）________； （3）________；   （4）________； （5）________． 【变式4-3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． (5)； (6)． 【模块五】分式的化简求值 【典例5】若，求的值 【变式5-1】先将化简，再选取一个你认为合适的m的值代入求值． 【变式5-2】阅读下面的解题过程，然后回答问题： 计算 【变式5-3】已知，求的值． 【模块六】分式运算的实际应用 【典例6】如果一个数的实际值为m，测量值为n，我们把|m﹣n|称为绝对误差，把称为相对误差.例如，某个零件的实际长度为10cm，测量得9.8cm，那么测量的绝对误差为0.2cm，相对误差为0.02.若某个零件测量所产生的相对误差为0.05，则该零件的测量值与实际值的比＝______ 【变式6-1】元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克（m≠n），顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算（    ） A．甲划算 B．乙划算 C．一样划算 D．无法比较 【变式6-2】甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m（m为正整数）千克米，乙每次买米用去2m元．由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比较甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是（　　） A．甲比乙便宜 B．乙比甲便宜 C．甲与乙相同 D．由m的值确定 【变式6-3】小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分式计算纠错（分析）问题 【典例7】张红同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中a＝﹣2． 解：原式＝ ① ＝ ② ＝ ③ ＝ ④ 上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是　 　（填入编号），请完整地写出正确的解答过程． 【变式7-1】老师出了一道题：计算，对于下面这三名同学的做法，你的判断是(        ) 嘉嘉的做法是：原式； 淇淇的做法是：； 乐乐的做法是：． A．嘉嘉的做法正确 B．淇淇的做法正确 C．乐乐的做法正确 D．三名同学的做法均不正确 【变式7-2】老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果． 老师：，甲：，乙：，丙：，丁：1 接力中，计算出现错误的是（ ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式7-3】下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（ ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 压轴拓展·素养提升 【压轴一】分式运算的规律探究 【典例8】先观察下列各式： ， ， ， ┅┅ 则（1） ； （2）求的值． 【变式8-1】一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是_____． 【变式8-2】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，-1的差倒数为，已知＝5，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推…，的值是_____． 【变式8-3】阅读下列材料，完成相应任务： 神奇的等式 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 第100个等式：；… 任务： （1）第6个等式为：　　； （2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明． 【压轴二】分式运算的新题型 【典例9】（1）探索：如果，则m= ；如果则m= ； （2）总结：如果（其中a，b，c为常数），则m= ；（用含a，b，c的式子表示）； （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【变式9-1】阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【变式9-2】阅读下面的解题过程： 已知求的值． 解：由知 ∴即 ∴ ∴ 该题的解法叫做“倒数法”，请利用“倒数法”解下面的题目． 已知：，求的值． 【变式9-3】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式x2+的值． 解：∵，∴＝4 即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则 根据材料回答问题： （1）已知，求x+的值． （2）已知，（abc≠0），求的值． （3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 3.下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4.下列各式中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5.的计算结果为（ ） A． B． C． D． 二 填空题 6.计算　　． 7.＝______． 8.计算： （1）　　 ； （2）　　 ． 9.计算： （1）　　； （2）　　． 10.计算：=________；=________；＝_______． 三 解答题 11.计算： (1)； (2)． 12.计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 13．计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 14.已知，求的值． 15.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是  （填序号）； ①　　　　②　　　　③　　　　　④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； (3)应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $