重难点专训09 利用洛必达法则解决导数问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以洛必达法则应用为核心，构建“方法提炼-题型通法-分层训练”的系统性突破体系，强化导数综合问题的极限分析能力，培养数学思维的严谨性与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1模块|提炼“分离参数+极限”“多次洛必达”“未定式转化”等核心策略，总结等价无穷小替换、端点效应协同等实用技巧|从洛必达法则基本概念（未定式类型）到应用策略，形成“概念-判断-计算-验证”的逻辑链条| |题型通法及变式提升|2类题型（含典例+变式）|题型1聚焦直接应用，强调标准型识别与非标准型转化；题型2针对函数综合问题，突出端点极限处理与参数范围确定|从基础极限计算到导数综合应用，体现“单一技巧-复合问题”的递进关系| |重难专题分层过关练|2层练习（巩固+创新）|通过分层题目强化方法迁移，创新题结合新定义拓展应用场景|从基础巩固到创新提升，覆盖高考高频考法与易错点，培养模型观念与应用意识|

重难点专训09 利用洛必达法则解决导数问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 洛必达法则的直接应用 2 题型2 利用洛必达法则解决函数综合问题 3 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1、利用洛必达法则解决导数问题的基本思路是： （1）在求参数范围或证明不等式时，若分离参数后得到函数 ，其定义域在端点 处无定义，但需确定 在 处的极限以得到参数的临界值； （2）判断该极限是否为 或 型的未定式； （3）验证洛必达法则的使用条件（分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为0，导数之比的极限存在或为无穷大）； （4）对分子分母分别求导，计算极限，若仍为未定式则连续使用，直至求出极限值，从而将参数范围问题转化为确定的数值比较。 2、洛必达法则在导数综合题中的核心应用策略： （1）分离参数结合极限：当不等式 在区间 上恒成立，分离得 ，若 的最小值在端点处取极限（端点无定义），则用洛必达求该极限作为参数的临界值； （2）多次洛必达：若一次求导后仍为未定式，可继续求导，但每次均需重新验证条件，直至分母导数不为0或得到确定极限； （3）转化其他未定式：对 型，将其中一个因子取倒数化为 或 ；对 型，通分化为分式；对 、、 型，取对数转化为 再处理； （4）与端点效应协同：当端点处函数值及低阶导数均为0时，可结合洛必达快速求高阶导数比值，避免逐阶求导的繁琐。 3、实用技巧与简化方法： （1）求导前先对分子分母进行因式分解、约分或等价无穷小替换（如 ），简化求导运算； （2）若极限是单侧极限（如 ），需明确方向，并在求导后代入对应方向； （3）洛必达法则只需求出极限值，不必构造辅助函数，常用于填空题快速得解，在解答题中若使用，务必在关键步骤注明“由洛必达法则得”，并简述满足条件； （4）若导数比极限不存在（非无穷大），则洛必达失效，应立即改用泰勒展开或夹逼准则，但北京卷压轴题通常不会出现此类复杂情形。 4、易错点与关键提醒： （1）条件不满足仍使用：未检查是否为 或 型，直接求导导致错误结论； （2）忽略分母导数为零：若求导后分母在极限点处仍为0，则需继续使用洛必达，不能停止； （3）极限存在性未验证：若导数之比的极限不存在（如震荡），则洛必达法则失效，但原极限可能存在，需换方法； （4）数列极限误用：洛必达仅适用于函数极限，数列极限应先转化为连续函数再使用； （5）端点取值与等号：若极限值恰好使不等式取等，需结合端点是否在定义域内决定参数是否包含该值，一般区间开闭需单独说明。 题型通法及变式提升 题型1 洛必达法则的直接应用 【典例1-1】求下列极限： (1)； (2)； (3)． 核心口诀：零比零或无穷比无穷，上下求导再极限；一次不行反复用，验证条件莫放松。 高分技巧： 识别标准型：洛必达法则仅适用于 型或 型未定式极限。使用前必须确认当 （或 ）时，分子分母同时趋于0或同时趋于无穷大，否则不可使用； 直接求导法：若极限为 且满足未定式条件，则 。求导后若仍是未定式，可继续使用洛必达法则，直到能直接代入求出极限为止（通常不超过3次）； 非标准型转化为标准型：若遇到 、、、、 等未定式，先通过恒等变形转化为 或 型再使用洛必达法则： ：将其中一个因子取倒数放到分母，化为 或 ； ：通分或提取公因式，化为分式； ：取对数转化为 型； 选择更简洁的求导顺序：若分子分母均含复杂乘积或复合函数，可先化简（约分、等价无穷小代换）再求导，避免繁琐计算。常用等价无穷小：，，，（仅在乘法因子中替换，加减不可随意替换）； 结合其他极限技巧：有时洛必达法则求导后反而更复杂，可先利用等价无穷小、泰勒展开或重要极限化简，再决定是否用洛必达。选填中可直接用特值或图象趋势判断； 注意使用条件——去心邻域内可导：使用洛必达法则前需确保分子分母在 的某去心邻域内可导，且 。高考中一般不考查严格性，但需留意。 易错警示：洛必达法则求出的极限若不存在（如振荡），不能说明原极限不存在，此时需换用其他方法；每次使用后都要重新判断是否为未定式，不能盲目继续求导；等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，加减法中替换易出错；取对数转化时需注意原函数是否恒正，若可能为负则需讨论。 【变式1-1】______． 【变式1-2】我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ） A．0 B． C．1 D．2 题型2 利用洛必达法则解决函数综合问题 【典例2-1】恒成立,求的取值范围 核心口诀：分离参数遇端点，零比零型用洛必达；求最值定临界，避开歧义作跳板。 高分技巧： 分离参数后的端点极限处理：在恒成立或能成立问题中，分离参数得 （或 ），若 在区间端点处无定义，但极限存在（如 ），则可用洛必达法则求该极限值，从而确定参数的临界值（注意：端点取不到时若需取等号，必须结合原函数验证）； 求函数在无穷远处的渐近值：若参数范围涉及 或 ，可用洛必达法则求 ，判断 的上界或下界。例如求 ，确定参数是否可取等； 隐零点回避中的洛必达替代：当 在某点（如 ）无定义，而原函数在该点有定义（补充定义后连续），利用洛必达求出的极限值可视为该点处的函数“扩展值”，进而将该点纳入最值分析，简化分类讨论； 结合函数单调性判定参数临界：求出 的单调区间和端点极限后，画出 的“完整图象”（包括无定义点处用空心/实心标出），再根据参数 与 的关系确定恒成立或有解的范围。洛必达主要用于精确计算那些无法直接代入的特殊点（如 型）； 避免滥用洛必达——优先尝试放缩：在综合题中，若能用切线放缩、构造函数等常规方法解决问题，优先使用常规方法。仅在常规方法因端点无定义而无法判定最值时，才启用洛必达求极限； 洛必达与端点效应配合：恒成立问题中若端点处取等且函数可导，有时不需要洛必达（直接用端点导数值判断）。但若端点处函数无定义，则可先用洛必达求极限值，再判定该极限是否满足不等号方向； 证明题中洛必达的使用规范：高考解答题如需使用洛必达，建议先说明“由洛必达法则可得”并写出关键步骤，但需注意有些地区的评分标准不认可洛必达，可改用放缩或分类讨论规避。选填题直接使用洛必达求值即可。 易错警示：端点无定义时，用洛必达求出的极限值只能代表“趋近值”，不等号方向需单独判断（如 还是 取决于趋近方式）；若 在端点处无定义但极限为 ，则 时是否满足原不等式，需代回原函数单独验证（经常是取不到等号）；综合题中若多次使用洛必达，需确保每次使用都满足未定式条件，不可跳跃步骤。 【典例2-2】已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【典例2-3】极限是微积分学中一个重要概念.有些简单函数求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)若且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【变式2-1】已知函数．当时，求的取值范围． 【变式2-2】，恒成立，求的取值范围 【变式2-3】设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 2．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 3．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 4．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 创新提升 5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 6．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 7．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 8．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训09 利用洛必达法则解决导数问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 洛必达法则的直接应用 2 题型2 利用洛必达法则解决函数综合问题 5 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 1、利用洛必达法则解决导数问题的基本思路是： （1）在求参数范围或证明不等式时，若分离参数后得到函数 ，其定义域在端点 处无定义，但需确定 在 处的极限以得到参数的临界值； （2）判断该极限是否为 或 型的未定式； （3）验证洛必达法则的使用条件（分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为0，导数之比的极限存在或为无穷大）； （4）对分子分母分别求导，计算极限，若仍为未定式则连续使用，直至求出极限值，从而将参数范围问题转化为确定的数值比较。 2、洛必达法则在导数综合题中的核心应用策略： （1）分离参数结合极限：当不等式 在区间 上恒成立，分离得 ，若 的最小值在端点处取极限（端点无定义），则用洛必达求该极限作为参数的临界值； （2）多次洛必达：若一次求导后仍为未定式，可继续求导，但每次均需重新验证条件，直至分母导数不为0或得到确定极限； （3）转化其他未定式：对 型，将其中一个因子取倒数化为 或 ；对 型，通分化为分式；对 、、 型，取对数转化为 再处理； （4）与端点效应协同：当端点处函数值及低阶导数均为0时，可结合洛必达快速求高阶导数比值，避免逐阶求导的繁琐。 3、实用技巧与简化方法： （1）求导前先对分子分母进行因式分解、约分或等价无穷小替换（如 ），简化求导运算； （2）若极限是单侧极限（如 ），需明确方向，并在求导后代入对应方向； （3）洛必达法则只需求出极限值，不必构造辅助函数，常用于填空题快速得解，在解答题中若使用，务必在关键步骤注明“由洛必达法则得”，并简述满足条件； （4）若导数比极限不存在（非无穷大），则洛必达失效，应立即改用泰勒展开或夹逼准则，但北京卷压轴题通常不会出现此类复杂情形。 4、易错点与关键提醒： （1）条件不满足仍使用：未检查是否为 或 型，直接求导导致错误结论； （2）忽略分母导数为零：若求导后分母在极限点处仍为0，则需继续使用洛必达，不能停止； （3）极限存在性未验证：若导数之比的极限不存在（如震荡），则洛必达法则失效，但原极限可能存在，需换方法； （4）数列极限误用：洛必达仅适用于函数极限，数列极限应先转化为连续函数再使用； （5）端点取值与等号：若极限值恰好使不等式取等，需结合端点是否在定义域内决定参数是否包含该值，一般区间开闭需单独说明。 题型通法及变式提升 题型1 洛必达法则的直接应用 【典例1-1】求下列极限： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3)1 【分析】（1）先将题给代数式转化为型分式，再利用洛必达法则即可求得其值； （2）先将题给代数式转化为型分式，再利用洛必达法则即可求得其值； （3）利用已知重要极限和洛必达法则即可求得其值. 【详解】（1）令，则 由洛必达法则可得， 则 （2）令， 则 由洛必达法则可得，. 继续用洛必达法则可得，. 则=0 （3） 又时，， 则 由洛必达法则可得， ． 则 核心口诀：零比零或无穷比无穷，上下求导再极限；一次不行反复用，验证条件莫放松。 高分技巧： 识别标准型：洛必达法则仅适用于 型或 型未定式极限。使用前必须确认当 （或 ）时，分子分母同时趋于0或同时趋于无穷大，否则不可使用； 直接求导法：若极限为 且满足未定式条件，则 。求导后若仍是未定式，可继续使用洛必达法则，直到能直接代入求出极限为止（通常不超过3次）； 非标准型转化为标准型：若遇到 、、、、 等未定式，先通过恒等变形转化为 或 型再使用洛必达法则： ：将其中一个因子取倒数放到分母，化为 或 ； ：通分或提取公因式，化为分式； ：取对数转化为 型； 选择更简洁的求导顺序：若分子分母均含复杂乘积或复合函数，可先化简（约分、等价无穷小代换）再求导，避免繁琐计算。常用等价无穷小：，，，（仅在乘法因子中替换，加减不可随意替换）； 结合其他极限技巧：有时洛必达法则求导后反而更复杂，可先利用等价无穷小、泰勒展开或重要极限化简，再决定是否用洛必达。选填中可直接用特值或图象趋势判断； 注意使用条件——去心邻域内可导：使用洛必达法则前需确保分子分母在 的某去心邻域内可导，且 。高考中一般不考查严格性，但需留意。 易错警示：洛必达法则求出的极限若不存在（如振荡），不能说明原极限不存在，此时需换用其他方法；每次使用后都要重新判断是否为未定式，不能盲目继续求导；等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，加减法中替换易出错；取对数转化时需注意原函数是否恒正，若可能为负则需讨论。 【变式1-1】______． 【答案】1 【分析】根据极限定义化简代入计算求值. 【详解】． 故答案为：1. 【变式1-2】我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】判定当时，的极限即为型，再利用给定法则计算即可得解. 【详解】显然，当时，的极限即为型， 所以：. 故选：B 题型2 利用洛必达法则解决函数综合问题 【典例2-1】恒成立,求的取值范围 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 核心口诀：分离参数遇端点，零比零型用洛必达；求最值定临界，避开歧义作跳板。 高分技巧： 分离参数后的端点极限处理：在恒成立或能成立问题中，分离参数得 （或 ），若 在区间端点处无定义，但极限存在（如 ），则可用洛必达法则求该极限值，从而确定参数的临界值（注意：端点取不到时若需取等号，必须结合原函数验证）； 求函数在无穷远处的渐近值：若参数范围涉及 或 ，可用洛必达法则求 ，判断 的上界或下界。例如求 ，确定参数是否可取等； 隐零点回避中的洛必达替代：当 在某点（如 ）无定义，而原函数在该点有定义（补充定义后连续），利用洛必达求出的极限值可视为该点处的函数“扩展值”，进而将该点纳入最值分析，简化分类讨论； 结合函数单调性判定参数临界：求出 的单调区间和端点极限后，画出 的“完整图象”（包括无定义点处用空心/实心标出），再根据参数 与 的关系确定恒成立或有解的范围。洛必达主要用于精确计算那些无法直接代入的特殊点（如 型）； 避免滥用洛必达——优先尝试放缩：在综合题中，若能用切线放缩、构造函数等常规方法解决问题，优先使用常规方法。仅在常规方法因端点无定义而无法判定最值时，才启用洛必达求极限； 洛必达与端点效应配合：恒成立问题中若端点处取等且函数可导，有时不需要洛必达（直接用端点导数值判断）。但若端点处函数无定义，则可先用洛必达求极限值，再判定该极限是否满足不等号方向； 证明题中洛必达的使用规范：高考解答题如需使用洛必达，建议先说明“由洛必达法则可得”并写出关键步骤，但需注意有些地区的评分标准不认可洛必达，可改用放缩或分类讨论规避。选填题直接使用洛必达求值即可。 易错警示：端点无定义时，用洛必达求出的极限值只能代表“趋近值”，不等号方向需单独判断（如 还是 取决于趋近方式）；若 在端点处无定义但极限为 ，则 时是否满足原不等式，需代回原函数单独验证（经常是取不到等号）；综合题中若多次使用洛必达，需确保每次使用都满足未定式条件，不可跳跃步骤。 【典例2-2】已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 【典例2-3】极限是微积分学中一个重要概念.有些简单函数求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)若且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7；②2；③ (2)①；② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 【变式2-1】已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 【变式2-2】，恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【变式2-3】设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 2．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 3．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围. 【详解】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 4．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【答案】(1)1 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足，再分和解不等式组即可求出m的值； （2）先求出，构造函数，借助导数研究其单调性及最值，得到，而不在函数的定义域内，即可得证； （3）由（2）推出在上单调递减，再由洛必达法则求出和时的极限值，即时的值域，即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 创新提升 5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）将选择的式子化简结合极限的定义求解； （3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 6．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据k阶无穷递降函数的定义即可证明； （2）记，取对数得，利用洛必达法则求出，然后可得的值； （3）先证明是上的2阶无穷递降函数，可得，然后证明即可得证. 【详解】（1）记， 因为， 所以在区间不恒成立， 所以，不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）记，则， 因为， 所以，所以. （3）因为，所以， 所以， 即对任意，均有， 所以， 因为， 所以 ， 所以，时，. 【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点： （1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点； （2）利用好定义所给的表达式及相关条件； （3）含有参数时要注意分类讨论. 7．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数； (2) (3) 令，则原不等式等价于， 即证， 记，则， 所以， 即有对任意，均有， 所以， 因为， 所以， 所以，证毕! 【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断； （2）通过构造，再结合即可得到结果； （3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论. 【详解】（1）设， 由于， 所以不成立， 故不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）设，则， 设， 则， 所以，得. （3）略 【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化. 8．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 【答案】(1)①1；② (2)是，证明见解析 【分析】（1）① 根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设，根据洛必达法则求出，利用变换得解； （2）方法一，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证； 方法二，利用导数可得在上单调递增，又由，得证． 【详解】（1）①根据洛必达法则，； ②设，两边同时取对数得，， 设，， ∴，∴ （2）∵，， ∴，，， ∴ ∴，均有， ∴是区间上的2阶无穷递降函数. 方法一： 以上同理可得， 由①，得 ∴，. 方法二： 设，， 则 设，，则 ∴在上单调递增，又，∴在上恒成立， ∴∴在上单调递增，∵， ∴在上但成立，∴， ∴在上单调递增， 又 ∴，. 【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1小题，构造函数，根据洛必达法则求出，得解； 第2小题，方法1先证明是区间上的2阶无穷递降函数，同理可得，根据洛必达法则可得；方法2，利用导数可判断在上单调递增，再根据洛必达法则求出，即可. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $