第56练圆锥曲线热点问题 第2课时　最值与范围、证明问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

第2课时　最值与范围、证明问题

1.[2025·浙江绍兴模拟] 已知点P在圆O:x2+y2=4上,作PD垂直于y轴,垂足为D,点M为PD的中点.(当点P为圆O与y轴的交点时,规定点P与点M重合)

(1)求动点M的轨迹E的方程;

(2)直线l:y=kx+m与y轴交于点Q,与E交于A,B两个相异点,且=3,求m2的取值范围.

 

 

 

 

 

2.[2025·甘肃白银二模] 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点E(n,2)是C上一点,且|EF|=5,记O为坐标原点,过点F的直线l1与C相交于A,B两点.

(1)求抛物线C的方程与准线l的方程.

(2)求4|AF|+|BF|的最小值.

(3)已知P,M分别是抛物线C与准线l上的动点,若C在点P处的切线l2交y轴于点Q,且=+,则点N是否在定直线上?若在,请求出定直线的方程;若不在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

3.[2025·沈阳二模] 已知O为坐标原点,动点P到x轴的距离为d,且|OP|2=λ+μd2,其中λ,μ均为常数,动点P的轨迹称为(λ,μ)曲线.

(1)若(λ,μ)曲线为双曲线,试问λ,μ应满足什么条件?

(2)设曲线C为曲线,点A(x0,y0)是C上位于第一象限的一点,点A,B关于原点O中心对称,点A,D关于y轴对称.延长AD至E,使得|DE|=|AD|,且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限.

(i)求x0的取值范围;

(ii)设直线OA的斜率为k1,直线AG的斜率为k2,求k1k2的值,并求k1+k2的取值范围.

 

 

 

 

 

 

4.[2025·北京大兴区三模] 已知椭圆M:+=1(a>b>0)经过点,且右顶点为A(2,0).

(1)求椭圆M的方程及离心率;

(2)过点P(-2,2)的直线与椭圆M交于不同的两点B,C(均不是椭圆顶点),直线AB,AC分别与直线OP(O为坐标原点)交于点M,N,求证:|OM|=|ON|.

 

 

 

 

第2课时　最值与范围、证明问题/

1.解:(1)设点P(x0,y0),M(x,y),则D(0,y0),因为点M为线段PD的中点,所以即

又点P在圆O:x2+y2=4上,所以+=4,则(2x)2+y2=4,即x2+=1,因此点M的轨迹E的方程为x2+=1.

(2)由已知可得Q(0,m),设点A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m).

由得(k2+4)x2+2kmx+m2-4=0,

由已知可得Δ=4k2m2-4(k2+4)(m2-4)>0,得k2+4-m2>0,

由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=.

因为=3,所以(-x1,-kx1)=3(x2,kx2),则-x1=3x2,即x1=-3x2,所以3(x1+x2)2+4x1x2=0,所以+=0,可得k2m2+m2-k2-4=0.当m2=1时,k2+1-k2-4=0不成立,

所以k2=,代入k2+4-m2>0得-m2+4=>0,

解得1<m2<4,因此m2的取值范围是(1,4).

2.解:(1)由E(n,2)是C上一点,且|EF|=5,结合抛物线的定义,

可得准线l的方程为y=-3,则焦点F的坐标为(0,3),则=3,解得p=6,所以抛物线C的方程为x2=12y.

(2)由题可得过点F的直线l1的斜率存在.设过点F的直线l1的方程为y=kx+3,

将直线l1的方程与抛物线方程联立,可得x2=12(kx+3),即x2-12kx-36=0,则Δ=144k2+144>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1x2=-36,则y1y2==9.

由抛物线的定义可得4|AF|+|BF|=4(y1+3)+y2+3=4y1+y2+15≥2+15=27,当且仅当4y1=y2,即y1=,y2=6时取等号.

(3)设P(x0,y0),M(x3,-3).

由x2=12y得y=,所以y'=,

则抛物线C在P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),

即x0x-6y-6y0=0.