单元集训卷10　解三角形-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心方法，通过基础计算、实际应用及范围最值问题，系统构建正弦定理、余弦定理与面积公式的逻辑应用体系，培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|含基础计算、四边形综合、实际测量、多解与范围问题|从边角互化到多三角形综合，构建"概念-性质-应用"递进逻辑| |填空|3题|面积计算、边的最值、锐角三角形面积范围|强化面积公式与定理的灵活应用，突出量感与符号意识| |解答|5题|含航海救援、锐角三角形面积范围、垂心综合问题|通过复杂情境建模，发展数学思维与跨学科应用意识|

单元集训卷10　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由正弦定理，得； ，，又，. 2．在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由代入，结合余弦定理即可求解． 【详解】由可得， 由余弦定理， 则． 3．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 4．如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面，平面，平面，，； 由在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，得，. ，在中，； 在中，. ， 在中，由余弦定理得； . 5．内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出，再由同角三角函数关系得到，结合余弦定理构造关于的方程求解 【详解】由三角形面积公式，又，得，即，解得， 所以， 由余弦定理，又，整理得， 等式两边同除以得，设，则， 若，代入得，判别式，无实根，舍去； 若，代入得，即，解得或， 故或. 6．已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 7．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得，， 得到， 所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得，， 已知，由正弦定理可得，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将目标式化简为，结合已知代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标式的最大值. 【详解】由余弦定理，将代入得. 进而. 的最小值为，因此的最大值为. 令，. ， 当时，， 根据对勾函数的性质可得， 故的最大值为， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 10．在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【分析】先求出，对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，根据余弦定理即可求解；对于C，根据最大边对应的角为最大角即可判断；对于D，根据三角形的面积公式，及等面积法即可求解． 【详解】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有， 即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 11．已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 【答案】ACD 【分析】利用和角公式结合已知等式推出，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算，逐一判断选项正误. 【详解】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，的面积为___________ 【答案】 【详解】由余弦定理，代入得， 整理得，解得（负根舍去）； 故 . 13．在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 【答案】14 【分析】将已知等式利用正弦定理边化角，化简后求得，由余弦定理结合基本不等式，即可求得最大值. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 则b+c的最大值为14. 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理，得出关于角的三角等式，进而可求得的值即可；根据为锐角三角形求得角的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围. 【详解】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 【答案】(1) (2)；能，理由见解析. 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为60海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在小时内赶到救援. 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）由锐角三角形得，由正弦定理求得（用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； （2）由（1）得， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故. 17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. 18．如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）由余弦定理得，结合三角形面积公式，即可求得； （3）利用三角形垂心的性质，可求得，，结合三角函数的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知，得，即， 根据正弦定理，可得，化简得， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）根据余弦定理，得，整理得， 又，，，代入整理得，解得， 又为边上的角平分线，所以，， 即， 化简得， 又，，所以，解得； （3）延长交于点，延长交于点， 因为点为的垂心，所以，， 设，则且， 所以，又， 在中，， 在中，，，所以， 在中，，同理可得， 所以 因为，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷10　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B．3 C． D．6 2．在中，，，分别为内角，，的对边，面积为，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 3．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 4．如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 5．内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 6．已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 10．在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 11．已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，的面积为___________ 13．在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 (1)救援出发时，船距离雷达站距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（说明理由）？ 16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $