重难点专训08 端点效应在导数中的应用（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训08 端点效应在导数中的应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用 2 题型2 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的综合应用 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 5 解题方法及技巧提炼 1、端点效应的基本思路是： 端点效应是处理含参函数在给定区间上恒成立（或恒不成立）问题的一种高效策略，尤其适用于区间端点处函数值（或导数值）恰好为零的情形。其核心思想是“先必要后充分”：利用端点处的函数值或导数值，给出参数必须满足的不等式，从而获得参数的候选范围（必要条件）；再在此范围内通过导数分析函数的单调性，验证原不等式在区间内恒成立（充分性）。这种方法能大幅减少分类讨论的类别，将复杂问题简化。 2、端点效应的分层应用策略： （1）一阶端点效应：若区间左端点 处有 ，且要求在区间内 恒成立，则必须满足 （若右端点 处 ，则需 ），由此可建立参数的不等式； （2）二阶端点效应：若一阶导数在端点处也为零（即 ），则需进一步利用二阶导数在端点处的符号，如要求 （或对应方向），从而得到更精确的参数范围； （3）高阶端点效应：当低阶导数均为零时，可逐阶求导，直至某阶导数在端点处不为零，利用该阶导数的符号给出参数条件，通常需要求导到第一个在端点处非零的导数为止； （4）端点值非零情形：若端点处函数值不为零，可通过平移或构造辅助函数（如减去端点值）使其变为零，再应用端点效应。 3、实用技巧与验证方法： （1）端点效应得到的参数范围是必要条件，必须进行充分性验证，即证明在该范围内原不等式恒成立，通常需要结合导数判断函数在区间内的单调性或最值； （2）充分性验证时，若参数范围较小，可直接分析导数的符号；若仍复杂，可结合分离参数或再次求导，但此时分类讨论的类别已大大减少； （3）对于开区间或无穷区间，端点值可能取不到，但端点处的极限条件仍然有效，可借助洛必达法则或极限定义处理； （4）若端点效应仅给出部分参数范围，剩余范围需通过其他点（如极值点）或整体单调性来补充，不能直接忽略。 4、易错点与关键提醒： （1）端点效应只是必要条件，切勿将其作为充要条件直接使用，必须严格验证充分性，否则可能漏解或得到错误参数范围； （2）注意区间端点的开闭情况：若端点取不到，则函数值条件可能不适用，但导数值的极限条件通常仍有效，需谨慎处理； （3）多次求导时，每次都要确认前一阶导数在端点处是否为零，只有为零时才能继续使用端点效应，否则应停止； （4）端点效应产生的参数条件可能与其他约束（如定义域、参数自身范围）冲突，需合并考虑； （5）当函数在区间内存在极值点时，端点效应后的充分性验证必须确保极值点处的函数值也满足不等式，不可只关注端点。 题型通法及变式提升 题型1 端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用 【典例1-1】设函数．当时，，则的取值范围是_____________________． 核心口诀：端点代入得范围，必要性先行探路；再证充分保完整，恒成立问题轻松破。 高分技巧： 端点代入求必要条件：若不等式 在区间 上恒成立，则区间端点处也必须满足不等式。将 和 代入，得到关于参数 的不等式（组），解出参数的必要范围。这是端点效应的第一步——“猜”出参数的候选范围； 端点导数值缩参：若在端点处取等号（即 且要求 在 右侧恒成立），则由导数定义可知 （右端点处需 ）。由此可进一步缩窄参数范围，得到更强的必要条件。例如：若 ，要保证 在 恒成立，则必须有 ； “必要性+单调性”充分性验证：在得到参数的必要范围后，将该范围代入原函数，证明函数在区间上单调（或先减后增且最小值在端点），从而说明不等式恒成立。这一步骤即“后证”充分性。常见证明路径：利用必要范围简化导函数符号判断，证明 （或 ）在区间上恒成立； 端点效应与分离参数配合：若参数能分离，可先通过端点极限求出临界值（有时需用洛必达），再验证该临界值是否可取。端点效应常用于回避分离参数后函数无定义点的讨论，直接由端点处导数给出临界； 多参数问题中逐次端点代入：若含多个参数，可分别对不同端点代入，得到多个必要条件，联立后缩小参数空间，再在缩小后的空间内讨论充分性； 选填题中直接利用端点排除选项：选填中遇到恒成立求参数范围，可先代入区间端点计算，快速排除不符合端点条件的选项，再验证剩余选项。此法不需要完整证明，能迅速得分。 易错警示：端点代入得到的参数范围只是必要条件，不是充分条件，必须验证；若端点处函数无定义（开区间），则不能用端点代入，需取极限；端点导数值条件需确认函数在端点处可导；若端点处 ，则无法从端点导数获得信息，需用其他方法；验证充分性时，需确保所用单调性在整个区间成立，不能仅在端点附近成立。 【典例1-2】已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为______ 【变式1-1】已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【变式1-2】已知函数对任意有成立，则k的最小值为_________． 题型2 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的综合应用 【典例2-1】已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围； (3)证明：，有． 核心口诀：端点失效看内部，高阶导数来帮忙；多次求导判凹凸，综合极值定参数。 高分技巧： 端点效应失效时的处理：若端点代入和端点导数条件得到的参数范围过宽（或无法验证充分性），说明端点信息不足。此时需分析函数在区间内部的极值点，将问题转化为“内部最值”的讨论，端点效应退化为辅助手段； 高阶导数的端点条件：若 且 ，而 的符号决定了函数在端点附近的凹凸性。若要求 ，则需 （极小值点）。连续求导直至首次非零导数，其阶数的奇偶和符号决定端点是极值点还是拐点，从而给出更精确的参数必要条件； “端点效应+隐零点”综合：在必要范围内，导函数零点可能为隐零点。此时需利用隐零点技巧（设而不求，代入消元）证明最小值非负。端点效应提供的必要范围有助于缩小隐零点的区间，简化估值； 双端点同时约束：若区间两端点都取等号（如 且 ），则端点效应需同时考虑两端，得到两个必要不等式。此时通常还需结合罗尔定理（存在内部点导数为0）或极值存在性，共同确定参数； 端点效应与放缩法结合：当充分性验证困难时，可在必要范围内对函数进行放缩，证明放缩后的函数非负。例如利用 、 等经典不等式，将复杂函数转化为简单函数； 参数分类讨论中的端点效应：若参数范围被分成多段，可在每段内分别应用端点效应。常见策略：先由端点条件确定参数的临界值（如 ），再分 和 讨论，每段内利用端点导数或内部极值完成证明； 选填中端点效应的快速判定：若选项给出多个区间，可直接取区间内特殊端点值（如区间的左端或右端）代入计算，排除不符合的选项。有时甚至只需检验端点值是否满足，即可直接选出答案。 易错警示：高阶导数端点条件需逐阶验证，不可跳跃；端点效应综合题中，必要性范围往往只是最终答案的边界，内部点的条件可能更紧，需完整分析；罗尔定理的应用需保证函数在区间上连续可导；放缩法必须保证不等号方向一致且放缩不过度；分类讨论时务必确保各类之间无重叠无遗漏，且每类的端点条件都独立验证。 【典例2-2】已知函数. (1)若为的极值点，求实数； (2)若在上恒成立，求实数的范围. 【变式2-1】已知函数. (1)若，求函数的单调递减区间； (2)若，求函数在区间上的最大值； (3)若在区间上恒成立，求的范围. 【变式2-2】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是________. 2．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 3．已知函数，若当时，，则的取值范围是_________． 4．若对恒成立，则实数m的取值范围是___________. 5．已知函数对任意的，均有，求实数的范围． 6．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 创新提升 7．已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意的恒成立，求的范围. 8．已知函数． (1)若恒成立，求实数的范围； (2)证明：对任意正整数，都有不等式成立． 9．设函数． (1)当时，求在上的最值； (2)对，不等式恒成立，求实数的范围． 10．函数，（），． （1）若，求函数的最小值； （2）任意时，关于x的不等式恒成立，求参数a的范围． 11．函数. （1）若为的极值点，求实数； （2）若在上恒成立，求实数的范围. 12．． (1)若，讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求 的范围； (3)证明：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训08 端点效应在导数中的应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用 2 题型2 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的综合应用 5 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 1、端点效应的基本思路是： 端点效应是处理含参函数在给定区间上恒成立（或恒不成立）问题的一种高效策略，尤其适用于区间端点处函数值（或导数值）恰好为零的情形。其核心思想是“先必要后充分”：利用端点处的函数值或导数值，给出参数必须满足的不等式，从而获得参数的候选范围（必要条件）；再在此范围内通过导数分析函数的单调性，验证原不等式在区间内恒成立（充分性）。这种方法能大幅减少分类讨论的类别，将复杂问题简化。 2、端点效应的分层应用策略： （1）一阶端点效应：若区间左端点 处有 ，且要求在区间内 恒成立，则必须满足 （若右端点 处 ，则需 ），由此可建立参数的不等式； （2）二阶端点效应：若一阶导数在端点处也为零（即 ），则需进一步利用二阶导数在端点处的符号，如要求 （或对应方向），从而得到更精确的参数范围； （3）高阶端点效应：当低阶导数均为零时，可逐阶求导，直至某阶导数在端点处不为零，利用该阶导数的符号给出参数条件，通常需要求导到第一个在端点处非零的导数为止； （4）端点值非零情形：若端点处函数值不为零，可通过平移或构造辅助函数（如减去端点值）使其变为零，再应用端点效应。 3、实用技巧与验证方法： （1）端点效应得到的参数范围是必要条件，必须进行充分性验证，即证明在该范围内原不等式恒成立，通常需要结合导数判断函数在区间内的单调性或最值； （2）充分性验证时，若参数范围较小，可直接分析导数的符号；若仍复杂，可结合分离参数或再次求导，但此时分类讨论的类别已大大减少； （3）对于开区间或无穷区间，端点值可能取不到，但端点处的极限条件仍然有效，可借助洛必达法则或极限定义处理； （4）若端点效应仅给出部分参数范围，剩余范围需通过其他点（如极值点）或整体单调性来补充，不能直接忽略。 4、易错点与关键提醒： （1）端点效应只是必要条件，切勿将其作为充要条件直接使用，必须严格验证充分性，否则可能漏解或得到错误参数范围； （2）注意区间端点的开闭情况：若端点取不到，则函数值条件可能不适用，但导数值的极限条件通常仍有效，需谨慎处理； （3）多次求导时，每次都要确认前一阶导数在端点处是否为零，只有为零时才能继续使用端点效应，否则应停止； （4）端点效应产生的参数条件可能与其他约束（如定义域、参数自身范围）冲突，需合并考虑； （5）当函数在区间内存在极值点时，端点效应后的充分性验证必须确保极值点处的函数值也满足不等式，不可只关注端点。 题型通法及变式提升 题型1 端点效应（先猜后证-必要性探索）的初步应用 【典例1-1】设函数．当时，，则的取值范围是_____________________． 【答案】 【分析】对进行变形，再求的必要条件，最后证明的充分条件. 【详解】由题意，当时，得，令，则 . 因为成立，在上恒成立，所以，所以. 当时，，所以在上单调增加. 又，所以当时，，即. 因此，的取值范围是. 核心口诀：端点代入得范围，必要性先行探路；再证充分保完整，恒成立问题轻松破。 高分技巧： 端点代入求必要条件：若不等式 在区间 上恒成立，则区间端点处也必须满足不等式。将 和 代入，得到关于参数 的不等式（组），解出参数的必要范围。这是端点效应的第一步——“猜”出参数的候选范围； 端点导数值缩参：若在端点处取等号（即 且要求 在 右侧恒成立），则由导数定义可知 （右端点处需 ）。由此可进一步缩窄参数范围，得到更强的必要条件。例如：若 ，要保证 在 恒成立，则必须有 ； “必要性+单调性”充分性验证：在得到参数的必要范围后，将该范围代入原函数，证明函数在区间上单调（或先减后增且最小值在端点），从而说明不等式恒成立。这一步骤即“后证”充分性。常见证明路径：利用必要范围简化导函数符号判断，证明 （或 ）在区间上恒成立； 端点效应与分离参数配合：若参数能分离，可先通过端点极限求出临界值（有时需用洛必达），再验证该临界值是否可取。端点效应常用于回避分离参数后函数无定义点的讨论，直接由端点处导数给出临界； 多参数问题中逐次端点代入：若含多个参数，可分别对不同端点代入，得到多个必要条件，联立后缩小参数空间，再在缩小后的空间内讨论充分性； 选填题中直接利用端点排除选项：选填中遇到恒成立求参数范围，可先代入区间端点计算，快速排除不符合端点条件的选项，再验证剩余选项。此法不需要完整证明，能迅速得分。 易错警示：端点代入得到的参数范围只是必要条件，不是充分条件，必须验证；若端点处函数无定义（开区间），则不能用端点代入，需取极限；端点导数值条件需确认函数在端点处可导；若端点处 ，则无法从端点导数获得信息，需用其他方法；验证充分性时，需确保所用单调性在整个区间成立，不能仅在端点附近成立。 【典例1-2】已知函数. 若在上恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】方法一：先对函数求导，再分类讨论导数的正负号并判断函数的最小值，只要最小值非负即可；方法二：先求不等式成立的必要性，得，再验证充分性，利用不等式放缩得恒成立可得结果. 【详解】方法一：函数，，在上单调递增.令，解得. ①当时，.对任意， 有， 故在上单调递增.所以， 符合题意. ②当时，.在上，， 函数单调递减；在上， 函数单调递增. 故在处取得极小值，也是最小值： 令， 则， 所以在上单调递减，故，即， 不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 方法二： 先证必要性：因为在上恒成立，且，所以必须有. 求导得， 故， 解得.结合已知， 得. 再验证充分性：当时，对任意，利用不等式 (当时等号仅在处成立)，证明如下： 令，，所以在单调递增， 所以恒成立，即恒成立(当时等号仅在处成立). 故有在恒成立. 故的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-1】已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由已知可得，则可知若不等式恒成立，则，解得，再根据可知函数在上单调递增，不等式恒成立. 【详解】由已知，则， 又，所以若任意，恒成立， 则，解得， 又当，， 则当时，，即恒成立， 所以此时函数在上单调递增，即恒成立， 综上所述， 故答案为：. 【变式1-2】已知函数对任意有成立，则k的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】先判定时不符合题意，再由时，令，求得，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，函数对有成立， 当时，取时，可得，所以不符合题意，舍去； 当时，令， 则， 令，可得或， （1）当时，则，则在上恒成立， 因此在单调减，从而对任意，总有， 即对任意，都有成立，所以符合题意； （2）当时，，对于，因此在内单调递增， 所以当时，，即， 所以不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围是，即实数的最小值为． 故答案为：． 题型2 端点效应（先猜后证-必要性探索）在导数中的综合应用 【典例2-1】已知函数，． (1)若，求的极值点； (2)若，都有，求的取值范围； (3)证明：，有． 【答案】(1)有极小值点，无极大值点． (2) (3)由（2）知， 令，则， 所以， 即， 所以． 【分析】（1）代入求导并通分，解导数零点，根据定义域舍去负根，再由导数正负划分单调区间，判定极小值点； （2）化简导数分子为二次函数，以分界分类：时导数恒非负，函数在递增，；时处导数为负，存在正区间函数递减致，舍去，得； （3）借用（2）结论，令作放缩证明，对到累加，左边对数合并化简为，右边即为待证求和式，得证． 【详解】（1）当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． （2），， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又， 所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． （3）略 核心口诀：端点失效看内部，高阶导数来帮忙；多次求导判凹凸，综合极值定参数。 高分技巧： 端点效应失效时的处理：若端点代入和端点导数条件得到的参数范围过宽（或无法验证充分性），说明端点信息不足。此时需分析函数在区间内部的极值点，将问题转化为“内部最值”的讨论，端点效应退化为辅助手段； 高阶导数的端点条件：若 且 ，而 的符号决定了函数在端点附近的凹凸性。若要求 ，则需 （极小值点）。连续求导直至首次非零导数，其阶数的奇偶和符号决定端点是极值点还是拐点，从而给出更精确的参数必要条件； “端点效应+隐零点”综合：在必要范围内，导函数零点可能为隐零点。此时需利用隐零点技巧（设而不求，代入消元）证明最小值非负。端点效应提供的必要范围有助于缩小隐零点的区间，简化估值； 双端点同时约束：若区间两端点都取等号（如 且 ），则端点效应需同时考虑两端，得到两个必要不等式。此时通常还需结合罗尔定理（存在内部点导数为0）或极值存在性，共同确定参数； 端点效应与放缩法结合：当充分性验证困难时，可在必要范围内对函数进行放缩，证明放缩后的函数非负。例如利用 、 等经典不等式，将复杂函数转化为简单函数； 参数分类讨论中的端点效应：若参数范围被分成多段，可在每段内分别应用端点效应。常见策略：先由端点条件确定参数的临界值（如 ），再分 和 讨论，每段内利用端点导数或内部极值完成证明； 选填中端点效应的快速判定：若选项给出多个区间，可直接取区间内特殊端点值（如区间的左端或右端）代入计算，排除不符合的选项。有时甚至只需检验端点值是否满足，即可直接选出答案。 易错警示：高阶导数端点条件需逐阶验证，不可跳跃；端点效应综合题中，必要性范围往往只是最终答案的边界，内部点的条件可能更紧，需完整分析；罗尔定理的应用需保证函数在区间上连续可导；放缩法必须保证不等号方向一致且放缩不过度；分类讨论时务必确保各类之间无重叠无遗漏，且每类的端点条件都独立验证。 【典例2-2】已知函数. (1)若为的极值点，求实数； (2)若在上恒成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用求出，再二次求导，验证在两侧的符号变化； （2）利用（1）结论讨论与的大小研究的符号，进而研究函数的最值即可求解.. 【详解】（1）解：因为， 令，则， 所以. 即， 当时，设， 所以， 故在上单调递减， 所以 ， 当时，，， 所以. 终上所述，时，为的极值点成立， 所以. （2）解：由（1）知， 当时，在上单调递减， ， ①时，， 在上单调递增， 所以， ②时，因为在上单调递减， ；， 存在使， 即，，递减， 当时，，与矛盾. 综上：时，在上恒成立. 所以实数的范围是. 【变式2-1】已知函数. (1)若，求函数的单调递减区间； (2)若，求函数在区间上的最大值； (3)若在区间上恒成立，求的范围. 【答案】(1) (2)当时，最大值为；当时，最大值为． (3) 【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间； （2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值； （3）根据恒成立可得，分类讨论，结合（2）中的结果求解. 【详解】（1）当时，，则， 令．因为 ，则， 所以函数的单调递减区间是 （2）． 令，由，解得，（舍去）． 当，即时，在区间上，函数在上是减函数．所以函数在区间上的最大值为； 当，即时，在上变化时，的变化情况如下表 x + + - ↗ ↘ 所以函数在区间上的最大值为． 综上所述： 当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为． （3）当时，则在上恒成立 ∴函数在上是减函数，则 ∴成立 当时，由（2）可知： ①当时，在区间上恒成立，则成立； ②当时，由于在区间上是增函数， 所以 ，即在区间上存在使得，不成立 综上所述：的取值范围为. 【变式2-2】已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值； （2）利用端点效应求出的取值范围，再利用导数证明结论成立； （3）由条件可直接得到，再根据零点定义得到与关系，化简转化为证明即可，然后通过导数证明. 【详解】（1）当时， ，定义域为， 则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为，无极大值 （2）， 因为 ，所以要对任意，有恒成立， 则 ，解得， 当时，， 令，对称轴为直线，所以在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以 ，在上单调递增，所以 ， 所以对任意，有恒成立， 所以的取值范围为； （3）由（2）可知当时，对任意， ， 所以函数在上不存在零点，所以， 且， 所以，， 要证，等价于证，等价于证， 即，即证，即证 因为，即等价于证， 又是唯一零点，由（2）问知函数在单调递增， 所以只需证， ， 令， 则，所以在上单调递增， 又，所以，所以，得证. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】当时，不等式显然成立，当时，对原不等式分离参数得到，结合导数分析出不等式右边最小值. 【详解】当时，. 当时，，则有. 令，则. 令，所以，则在上单调递增， 所以,即当时，恒成立， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 2．若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 3．已知函数，若当时，，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】求出，分，，讨论的单调性，可得答案. 【详解】由，， 得， （1）当，即时，， 所以在上单调递增，所以， （2）当时，令，则， 所以在上单调递增，于是， ①若，即时，， 于是在上单调递增，于是， ②若，即时，存在， 使得当时，，于是在上单调递减， 所以，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔ 4．若对恒成立，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意可得对恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 所以， 令， 令，，则，所以当时， 所以在上单调递增，所以，即，， 则 所以在上是增函数，所以 当，即时，在上是增函数，所以符合题意； 当时，且当时， 所以，使得， 即当时，单调递减，此时， 所以不符合题意， 综上可得，即 故答案为： 5．已知函数对任意的，均有，求实数的范围． 【答案】 【分析】根据，故要在上单调递增，二次求导，分，，结合函数单调性和极值，最值情况，得到答案. 【详解】计算出，要想对任意的，均有， 则要在上单调递增， 其中，且， 故令，则， 当时，恒成立， 故单调递增．故在上恒成立， 所以单调递增，，满足条件； 当时，令，解得， ①当时，在恒成立， 故单调递增． 故在上恒成立， 所以单调递增，，满足条件； ②当，则时，，即在单调递减， 在单调递减，，不符题意，故舍去， 综上所述：时，恒成立. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 6．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据端点效应找出不等式成立的必要条件，再证明充分性即可. 【详解】由题意可得， ，此时； 令，则 ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 创新提升 7．已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若对任意的恒成立，求的范围. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.. (2) 【分析】（1）求导后分和讨论导数的正负即可； （2）当时，代入函数求出，当时，分离参数并构造函数，求导后再次构造函数，再求导分析单调性，最终求出即可； 【详解】（1）， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，符合题意，此时； 当时，因为恒成立，即恒成立， 令，则， 再令，则恒成立， 则在单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以 8．已知函数． (1)若恒成立，求实数的范围； (2)证明：对任意正整数，都有不等式成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分与两种情况求解即可得的范围； （2）由（1）可得，结合，可得， 则，后由错位相减法可得，即可证明结论. 【详解】（1）由题可知， 记，则， 当时，在上单调递增，即在上单调递增， 当时，． （ⅰ）当时，在上单调递增， 则成立； （ⅱ）当时，，， 记，则，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，则． 令，则， 存在，使得，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ． 记， 则当时，，在上单调递减， ，则有，与恒成立矛盾，所以不成立． 综上，实数的取值范围是． （2）由（Ⅰ）知，当时，， ．记， 则当时，， 在上单调递增，则有， 当时，，当时，． 令，则． 记， 则， ， ， ， 对任意正整数，都有不等式成立． 【点睛】关键点睛：恒成立问题常转化为求解函数在相应范围内的最值；对于函数与数列结合问题，常利用已有结论结合换元法，得到与所证结论相关的不等式. 9．设函数． (1)当时，求在上的最值； (2)对，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）通过导数结合三角函数值域可求得最值； （2）结合（1）及不等式放缩可得满足题意；对于与，找到使不成立的关于的区间，综上可得的范围． 【详解】（1）时，，. . 则在上单调递增，故，. 即， . （2），. 当时，. 由（1）知时，，∴； 当时， ， ∴.即时， ；                    当时，，时，，不合题意． 当时， 则. 令，则 . 当时，，∴在单调递增， 又， ∴存在使，则当时，. ∴在单调递减，此时，则不合题意 综上． 【点睛】关键点点睛：本题涉及与三角函数有关求函数最值及函数恒成立求参数问题，难度较大.对于含有三角函数问题，常利用结合不等式放缩判断相关导数符号确定函数单调性；求参数范围可利用分类讨论的手段，而分类讨论的标准可由题目前面小问找到相关提示. 10．函数，（），． （1）若，求函数的最小值； （2）任意时，关于x的不等式恒成立，求参数a的范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）将代入可得，求导，利用导数判断出函数的单调性，再由单调性即可求最值. （2）将不等式转化为，令，求出导函数，讨论或，确定函数的单调性，利用单调性判断是否恒成立，即可. 【详解】解：（1）当时， ∴． ①当时，，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增． ∴． （2）∵， ∴，， 令，． 则，∴． 令，则． ①当时，恒成立，可得在上单调递增， ∴恒成立．可得在上单调递增， ∴恒成立，恒成立， 即恒成立． ②当时，当，．在上单调递减， 当，，在上单调递增， 则当时，， ∴，时，． ∴不恒成立． 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的综合问题，解题的关键是将不等式转化为在恒大于等于零，考查了转化能力、分析能力. 11．函数. （1）若为的极值点，求实数； （2）若在上恒成立，求实数的范围. 【答案】（1）-2（2） 【分析】（1）求得函数的导数，根据，求得，验证即可求解； （2）由（1）知时，为增函数，根据和分类讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 令，解得， 当时，， 当时，，； 当时，令，， 即为增函数，，， 综上时，；时，， 时，为的极值点. （2）因为，； 由（1）知时，为增函数， 当，即时，，为增函数， ，即在上恒成立 当，即时，，， 因为 ，使， 当，，为增函数； 当，为减函数， ，与在上恒成立相矛盾，不成立 综上时，在上恒成立. 所以，实数的范围是. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 12．． (1)若，讨论的单调性； (2)若时，恒成立，求 的范围； (3)证明：． 【答案】(1)在R上单调递减. (2) (3)证明：取，则在上恒成立， 再令，故， 故，故， 故. 取，则，故， 则由（2）可得， ， 当时，设， 则，故在为增函数，故， 即在上恒成立，故在上为减函数， 故在上恒成立， 故，故， 整理得. 综上，. 【分析】（1）求出函数的导数，根据基本不等式判断导数的符号后可判断函数的单调性； （2）就 、、分类讨论，结合局部保号性可求参数的取值范围； （3）根据（2）中的结论通过赋值法可证. 【详解】（1）当时，，故， 时等号成立， 故在R上单调递减. （2）由题设有 ， ， 因，由基本不等式有， 若 ，， 则（不恒为零），此时为上的减函数，故， 矛盾； 若，则，故， 此时为上的增函数，故， 若，设， 则，故存在，使得，总有， 故为上的减函数，故，有，矛盾； 综上，. （3）略 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $