第22章《相似形》检测2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级数学上册《相似形》单元卷，以现实情境与梯度问题设计为特色，覆盖比例性质、相似判定与应用等核心知识，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例性质、相似判定、黄金分割|结合影长测量（第4题）等生活情境，考查几何直观| |填空题|6/18|相似应用、平移与相似面积比|以河宽估计（第12题）体现模型意识，梯度合理| |解答题|8/72|相似证明、测量计算、动点综合|24题分基础-应用-拓展，20题光学反射情境，强化推理能力与应用意识|

第22章《相似形》检测2026-2027学年上学期沪科版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设，，再代入化简，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，， ∴ ． 故选：A． 2． 如图，直线，直线和被所截，， 则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 3．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（   ） A．﹣1 B．3﹣ C． D．﹣1或3﹣ 【答案】A 【分析】根据黄金分割比的定义：较长边比上最长边的比等于即可解题. 【详解】解：如下图, ∵点C是线段AB的黄金分割点， ∴=, ∵AB＝2 ∴AC=﹣1, 故选A. 4. 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m， 经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题． 【详解】设小芳的身高为米， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， 解得， 故选：． 5． 如图，中，，将沿下图中的虚线剪开， 剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 6． 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接， 过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 7． 如图，点，，将线段平移得到线段．若，， 则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 8． 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示， 此时液面（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 9 . 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点， 再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点， 作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 10. 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点， 与交于点，延长至，使，连接．有如下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】①正确．证明，即可判断． ②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． ③正确．作于，设，，则，，通过计算证明即可解决问题． ④错误．设的面积为，由，推出，，推出的面积为，的面积为，推出的面积的面积，由此即可判断． 【详解】∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ， 在与中， ， ， ；故①正确； ∵， ， ∵， ， ， ， ∵， ， ；故②正确； 作于，设，，则，， 由，可得， 由，可得， ， ∵， ， ， ∵，， ， ∵， ；故③正确， 设的面积为， ∵， ，， 的面积为，的面积为， 的面积的面积， ，故④错误， 故选C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 已知，且，则的值为 ． 【答案】12 【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 【详解】解：∵， ∴设a=6x，b=5x，c=4x， ∵a+b-2c=6， ∴6x+5x-8x=6， 解得：x=2， 故a=12． 故答案为12． 12． 为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C， 使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D． 此时，测得，，，则两岸间的距离是 ． 【答案】/米 【分析】根据垂直定义可得，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，在中，点D在边上，，，，则的长度是______． 【答案】 【分析】易证，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：6． 14．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米， 这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米．    【答案】9 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9．    15. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的， 若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝ ． 【答案】2 【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可． 【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G， ∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置， ∴，， ∴△AEG∽△DEF， ， ， ， ． 故答案为：2． 16． 如图，的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F， 且，，连接OE．下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】先判定△EBC是等边三角形，得到AE=EB=BC=EC，证明△ABC直角三角形，根据平行四边形的性质，证明OE是△ABC的中位线，得证OE⊥AC；利用三角形中位线定理，BF=2OF即OF：OB=1：3，得证；根据，，从而得证即可判断． 【详解】∵，CE平分∠BCD，， ∴DC∥AB，∠DCE=∠BCE， ∴∠ECB=∠CEB=∠ABC=60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴EB=BC=EC， ∵AB=2BC， ∴AE=EB=BC=EC=AB， ∴△ABC直角三角形， ∴AC⊥BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC， ∴OE⊥AC； ∴结论①正确； ∵OE是△ABC的中位线， ∴OE∥BC，， △OEF∽△BCF， ∴， ∴BF=2OF即OF：OB=1：3， ∴； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴； ∴， ∴结论②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴结论③正确． 故答案为：①③． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答． 【详解】解：， ， ∴， ， ∴， ． 18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】树高 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即树高． 19．如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1) 以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2) A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ； (3) 在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，10 (3) 【分析】本题主要考查了作图-位似变换． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点即可； （2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积； （3）利用位似变换的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：A点的对应点的坐标是， 的面积； 故答案为：，10； （3）解：在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是． 故答案为：． 20. 如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜， 手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后， 恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度， 灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为， 图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 21． 如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定； （1）根据正方形的性质可得，即可得出，进而证明； （2）设正方形的边长为，根据题意证明四边形是矩形，得出，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1），理由如下， ∵四边形是正方形 ∴，即 ∴； （2）设正方形的边长为， ∵是的高， ∴， ∵， ∴，即是的高 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，则， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴正方形的边长为． 22．如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B，C重合）， 过点P作射线交于点M，使．    (1) 求证：； (2) 当P为中点时，求的值； (3) 当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键. （1）先根据等边对等角证明，再根据三角形外角的性质证明即可证明，即可得证； （2）先求出、的长，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）如图所示，过点A作于D，先利用三线合一定理求出，由勾股定理得：，再根据相似三角形的性质得到，证明，求出，由勾股定理得：，即可求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，P为中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于D，    ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴； 23. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动， 速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s， 连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题： （1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？ （3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（5﹣t）cm，tcm；（2）t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似；（3）当t的值为或或时，△APQ能成为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则； （2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：， 由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）分两种情况： ①如图1， 当时，， 则， 即， 解得：； ②如图2， 当时，， 则， 即， 解得：； 综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似； （3）能成为等腰三角形，理由如下： 分三种情况： ①如图3， 当时， ， 解得：； ②如图4， 当时，过点作于， 则，， ， ， ， ， 解得：； ③如图5， 当时，过点作于， 则，， ， ， ， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形． 24. 【基础巩固】 （1） 如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，． 求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，， 求线段的长． 【拓展提高】 （3） 在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形， 点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章《相似形》检测2026-2027学年上学期沪科版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2． 如图，直线，直线和被所截，， 则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（   ） A．﹣1 B．3﹣ C． D．﹣1或3﹣ 4. 如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m， 经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（   ） A．m B．m C．m D．m 5． 如图，中，，将沿下图中的虚线剪开， 剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 6． 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接， 过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（   ） A． B． C． D． 7． 如图，点，，将线段平移得到线段．若，， 则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8． 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示， 此时液面（   ） A． B． C． D． 9 . 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点， 再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点， 作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 10. 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点， 与交于点，延长至，使，连接．有如下结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11. 已知，且，则的值为 ． 12． 为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C， 使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D． 此时，测得，，，则两岸间的距离是 ． 13．如图，在中，点D在边上，，，，则的长度是______． 14．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米， 这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米．    15. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的， 若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝ ． 16． 如图，的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F， 且，，连接OE．下列结论： ①；②；③． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置， 设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高． 19．如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为． (1) 以点O为位似中心，在y轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2) A点的对应点的坐标是 ；的面积是 ； (3) 在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是 ． 20. 如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜， 手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后， 恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度， 灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为， 图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 21． 如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 22．如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B，C重合）， 过点P作射线交于点M，使．    (1) 求证：； (2) 当P为中点时，求的值； (3) 当时，求的值． 23. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动， 速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s， 连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题： （1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？ （3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 24. 【基础巩固】 （1） 如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，． 求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，， 求线段的长． 【拓展提高】 （3） 在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形， 点D在上，点E在上．若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $