广东梅州市兴宁市齐昌中学等2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高二期末数学试卷以“兴宁鸽”生长率、梅州金柚直径等地方特色情境和AI工具使用统计等科技热点为载体，融合集合、导数、概率统计等知识，通过回旋函数新定义题考查创新思维，体现数学眼光、思维与语言的综合应用，适配期末测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、导数几何意义、正态分布|以“兴宁鸽”体重函数考导数瞬时生长率，结合梅州金柚直径正态分布计算优质果数量| |填空题|3题15分|切线方程、二项式定理、古典概型|设计集合元素构成两位数的游戏情境，考查古典概型计算| |解答题|5题77分|独立性检验、函数单调性、概率期望、新定义函数|AI工具使用统计题综合独立性检验与分布列，回旋函数定义题要求论证函数性质，体现逻辑推理与创新应用|

答案及解析 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1.答案：D 解析：A={xx>V3,故CRA={xx≤V。B={0,1,2,3,4,5} 因此(CRA)nB={0,1}。 2.答奏：B 解析：瞬时生长率为W'(t)=20-0.4t,代入t=5得 W'(5)=20-0.4×5=18(g厌)。 3.答案：C 解析：进景区有5种选择，出景区不能与进的门相同，有4种选择，总方式数为 5×4=20。 4.答案：A 解析： ●A:f(-x)=|sin(-x川=|sinc=fx),偶函数：周期T=π( |sin(c+π=|-sinc=|sinc),符合： 。B:-3sin(2x)是奇函数，排除； ●C:c+cos(2x)非奇非偶(c为奇函数，cos(2x)为偶函数)，排除： ●D:tanx是奇函数，排除。 5.答案：B 解析：直径X~N(15,0.52),4=15,σ=0.5，[14,16]=4-20到 4+20,概率P≈0.9545，故优质果个数约为10000×0.9545=9545。 6.答案：D 5 12 解析：终边过(12，-5)，故ima= 13 cos a 13。 m(,-)=血2x=2nasa=2x()×号= 7.答案：C 解析：6个数据排序为85,88,90,95,108,112，第60百分位数 i=6×60%=3.6,向上取整为4，故n=95。比n低的数为85,88,90（共3 个)，随机选2人的总组合数为C号=15，均低于的组合数为C号=3，概率为 31 i5=5。 8.答案：D 解析： 、金：商y=ke与=1n相-是，放交于两点时2e(a）, 正确： ●②：设9()=血r ,则9()=1-nx x2,r1<e<x2且 1 g(x1)=g(c2)=k,故x2 1,正确： ·®：f()=k-lnE,f'()=k-1 1 元，在”=飞处取极小值，且 f(c1)=f(x2)=0,故在(x1,x2)先减后增且恒负，正确。 二、选择题（每小题6分，共18分） 9.答案：BD 解析： 6+7=6. ●A:排序后5,6,6,7,8,10，中位数为2 ,错误： ●B: B(X9)=3, E3X+1=3×3+1=n+1=6→m=5 ,正确： 。C:D(3X+1)=9D(X)=9×2=18卡19，错误： ●D:样本中心(m,2.8代入回归方程得2.8=0.3m-m→m=-4, 正确。 10.答案：ABC 解析；e(怎），则2红-京∈（写2对）.n在0e(胥2n）的省越为 [-1,1,故 ●a>2或a<0时，0个交点： ●a=2或a=0时，1个交点； 0<0<2且“≠1+2时，2个交点。综上，交点可能勃01。 11.答案：AD 解析：f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+a， f'(x)=3x2-2(a+1)x+a。 ●A f(3)=6→3×2×(3-a)=6→a=2, f'(1)=3-6+2=-1,正确： ●B:当a=0或1时，f()仅有2个零点，错误； 。c:f'(x)≥0在0,3恒成立，需a≥1（推导略），而非a>0,错误： 。D:△=4(a+1)2-12a=4(a2-a+1)>0恒成立，故有两个极 值点，正确。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.答案：y=x+1 解析：f'(c)=e+xe,f'(0)=1,切线方程为y-1=1·(-0),即 y=x+1. 13.答案：15 解析：令π=1，得(1+m)°=64→m=1。展开式通项为C6x6-2r ，令 6-2m=2→m=2,系数为C号=15。 2 14.答案：3 解析：甲的最大两位数X:所有2元子集对应21,31,41,32,42,43（共6种）；乙 的最大两位数Y:21,31,32(共3种)。甲获胜(X>Y)的情况共12种，总情 12 2 况6×3=18，概率为18=3。 四、解答题（共77分） 15.（13分)解：(1)列联表如下： 能熟练使用 不能熟练使用 合计 男教师 40 10 50 女教师 30 20 50 合计 70 30 100 计算卡方统计量： X=100×(40×20-10×30)2 ≈4.762 50×50×70×30 由于4.762<6.635( =0.01的临界值)，故不能 认为性别与使用AI熟练度有 关。 5× 40 (2)分层抽样抽取15名男教师，其中能熟练使用 0=12人，不能熟练使 用3人。 X的可能取值为0,1,2，分布列为： C=22 C=35P(K=2)= P(x=0).=g=35,P(x=1)=92=12 C号 1 C35 期跑B(X)=0 22 12 35+1× 、35+2×35=5 16.(15分) 解：(1)a=2时，f(r)=x2+3-2nx(c>0), f'()=2红-2-22-1) ●当x∈(0,1)时，'(x)<0,f()单调递减 ●当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增。 8f国=a-是=2 x一，要使f)在(2，+∞)为增函数，需 am2-2≥0a2+oi立.0≥员 当2音<号-克，欧 17.(15分) 解：（①）f(x)为奇函数，则(-c)=一()对任意c成立： kcos(-)+v3sin(-)cos(-x)=-kcos-v3sinx cos 化简得2kC0sc=0对所有成立，故k=0。 ②=kms+9m2,令t=血2∈-1，则 f(x)=-2V3t2-kt+V3(开口向下的=次函数)。 。当肉≤43时.大恒在克处为(-)， k 。当k>4V3时，最大值在端点t=士1处，为V3+风。结合端点值， 值减为s-.v(-】肉≤4W3,或 -V3-,-8+网>4V3. (4k=1时，f(A)=cosA+V3 sin AcosA=1,即 cosA(1+V3sinA)=1。 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A,代入a=V7,b=3得： 7=9+c2-6ccos A=c2-6ccosA+2=0 联位osA、 1 1+V3sinA,解得c0sA≈0.3827，c≈1.26或c≈1.04，面 bcsinA≈号 ×3×1.26×0.924≈1.75 2 (注：因方程无整数解，此 处为近似值)。 18.(17分) 21 解：(1)第二次取黄球的概率等于黄球占比，即6=3（对称性：每个位署取黄球概 率相等)。 51 (2)黄球最先被全部取出的概率等于黄球数占总球数比例，即20一4（经典结论 多颜色球中，某颜色最先取完的概率为其数量占比)。 (3)证明：X=k表示前k一1个球含n-1个黄球，第k个为黄球。 排列数为： 符合条件排列数=Cn·(k-1)I·n·(W- 总排列数为WI,故： P(X=)= Cn·(k-1n·(N-y N! 期望： 8-2x-=2茶cw- (N-n)! 代入C喷k-w-,化简得： 风0-空点.a- N! m=0 m! N! n+1 得证。 19.(17分) 解：(1)是阶数为一1的回旋函数。验证： f(x-1)=sinπ(x-1)+cosπ(x-1)=-sin-cosπc=-f(x), 故f(x-1)+f(知)=0对所有x成立。 (2)f(c)=sinw是回旋函数，需存在t使得 sinw(c+t)+sinwa=0对所有c成立。 化简得2m(+)m(）-0故（学）-0中味=+2☆∈. 对任痘w≠0，取=不+2 即可，故w为非零实数。 (3) (注：原题f()=sinwa一1无法成为回旋函数，若为f(c)=sinw 则点满足w=红，t 二。在0，川上恰有026个客点，m0≤≤1 (k=0,1,..,2025),故2025π≤w<2026π。) 2025-2026学年第二学期高二期末试题（数学） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 2. “兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业。肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W(单位：g)与日龄t(单位：天)的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（     ） A.天 B.天 C.天 D.天 3. 某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（     ） A.5 B.10 C.20 D.30 4. 下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（     ） A. B. C. D. 5. 梅州市被评为“中国金柚之乡”，梅州金柚为国家地理标志产品。设梅州金柚(把梅州金柚近似看成球体)的直径(单位：cm)服从正态分布，若直径在，内为优质果，则在随机抽取的10000个梅州金柚中，优质果的个数约为（     ） 附：若，则， ， A.6827 B.9545 C.9973 D.3173 6. 已知角的始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（     ） A. B. C. D. 7. 某学习小组6名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下85，88，90，95，108，112.这6人成绩的第60百分位数是n.若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（     ） A. B. C. D. 8. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点，， ①k的取值范围是. ②. ③当时，先减后增且恒为负. 以上结论中所有正确结论的序号是（     ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（      ） A. 有一组数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的中位数为5.5 B. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 C. 若D(X)，则D() D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为(m，2.8)，则实数m的值是 10. 函数的图象与直线（a为常数）的交点可能有（      ） A.0 B.1 C.2 D.3 11. 已知函数，则下列说法正确的是（      ） A. 若，则 B.f（x）有三个零点 C. 若f（x）在上单调递增，则a的范围为 D. 函数f（x）有两个极值点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 求函数的图像在点（0，1）处的切线的方程             . 13. 已知，的二项展开式中各项系数和为64，则展开式中项的系数是            。 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取2个不同的元素各构成最大的两位数和，若，则甲获得胜利. 甲获得胜利的概率为            . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在现实生活中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升人们的工作效率和准确率. 某学校为了解教师使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男教师 40 10 女教师 30 20 （1） 根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关关系？ （2） 现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取15人，再从这15人中随机抽取2人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. （15分）已知函数 (1) 若=2，讨论f(x)的单调性； (2) 若函数f(x)在(2，+)为增函数，求实数的取值范围。 17. （15分）设常数k+. (1) 若是奇函数，求实数k的值. (2) 求此函数值域. (3) 设，中，内角，，的对边分别为，，．若，，，求的面积. 18.（17分）已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）若，，求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 19．（17分）对于定义在上的连续函数，若存在常数（），使得对任意的实数都成立，则称是阶数为的回旋函数． （1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； （2）若是回旋函数，求实数的值； （3）若回旋函数（）在上恰有个零点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $