精品解析：广东梅州市兴宁市齐昌中学等2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题

齐昌中学·实验中学2025-2026学年度第二学期高二年级联考 数学试卷 （本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点得出复数，再应用复数乘法运算得出复数进而得出其虚部. 【详解】，∴，∴的虚部为1. 2. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是方程的两个不同实根， 所以，，所以， 因为是等比数列，所以，所以， 又因为，所以. 3. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 4. 某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出后可求. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 故选：C 5. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，由，得， 由，得 ， 所以. 6. 若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（ ） A. 112 B. 224 C. 56 D. 28 【答案】A 【解析】 【详解】由得，∴， ∴第3项系数为. 7. 有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】分析可得名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员，以只会唱歌的人是否选上唱歌人员为标准进行分类计算可得结果. 【详解】∵， ∴名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员. 以只会唱歌的人是否选上唱歌人员为标准进行研究： ①只会唱歌的人中没有人选上唱歌人员，有种选派方法， ②只会唱歌的人中只有人选上唱歌人员，有种选派方法， ③只会唱歌的人中有人选上唱歌人员，有种选派方法． ∴选派方法共有（种）． 故选：A. 8. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ） A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用捆绑法即可判断；对于B，利用插空法即可判断；对于C，利用定序倍缩法即可判断；对于D，利用分步计数原理即可判断. 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有种摆法； 再与其余十道菜品排列在一起，有种摆法； 所以两份汤相邻的摆法共有种，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，有种摆法； 再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有种摆法； 所以每道素菜不相邻的摆法共有种，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法； 其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有种不同摆法，故C正确； 对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有种方法； 再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种方法； 所以两汤不摆在首尾的摆法共有种，故D正确. 故选：BCD. 10. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 是函数的极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】由图可得，当，，单调递减，当，，单调递增， 可知是函数的极值点，故A正确，不是函数的极值点，故B错误， 当，，故在区间上单调递增，故C正确，不是函数的极值点，故D错误. 11. 如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 异面直线BD与所成角为 C. 存在点P使得平面 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面平行，结合体积计算判断A；求出异面直线夹角判断B；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断C；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，，平面， 平面，则平面，而点P在上运动， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积不变，A正确； 对于B，在正方体中，，为正三角形， 直线BD与所成角等于与夹角，B错误； 对于C，在正方体中，建立如图所示直角坐标系，令正方体的棱长为1， 设 ， ， ， ，， ，即与不垂直，而平面，因此与平面不垂直，C错误； 对于D，由正方体的性质知： 平面， 即平面的法向量为 ， 直线与平面所成角正弦值， 由 ，得 ，因此 ，D错误． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助基本初等函数的导数公式计算即可得. 【详解】，， ，解得 故答案为： 13. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接受该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先分组再分配求解. 【详解】先把5名同学分成3个组，每组人数分别为“2，2，1”，再将3组分配到三个不同社区服务小组，共有种不同报名方案. 14. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】过焦点的直线方程与抛物线联立，再根据根与系数关系，利用三角形的面积比和弦长求解. 【详解】由对称性，不妨设,分别在第一、四象限，则,, 设直线方程, 联立, 整理得，, ,, 由与的面积之比为， 可得，则,, 则，得， , 解得，. 故答案为：1. 【点睛】本题解题关键是设出直线PQ，联立抛物线方程，将与面积比转化为P，Q的纵坐标关系，结合PQ的长度可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求A， （2）若的周长为20，面积为，求a． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由的周长为20，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. 16. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可； （2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果. 【小问1详解】 ，故可得， 由题可知：，， 即：，，解得； 经检验，当时，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1）可知：，，又， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极大值为，的极小值为，， 故在上的最大值为，最小值为. 17. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 18. 黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． （1）求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； （2）若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； （3）经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合互斥事件和独立事件的概率公式进行求解； （2）由条件概率公式求解； （3）记三幅作品成为成品的事件分别为，则，由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【小问1详解】 记甲，乙，丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记甲，乙，丙三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 记甲，乙，丙三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐昌中学·实验中学2025-2026学年度第二学期高二年级联考 数学试卷 （本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知数列为等比数列，是方程的两个实数根，则（   ） A. B. C. 4 D. 3. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 4. 某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（ ） A. B. C. D. 5. 四面体中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（ ） A. 112 B. 224 C. 56 D. 28 7. 有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（ ） A. 两份汤相邻的摆法共有种 B. 每道素菜不相邻的摆法共有种 C. 若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D. 两汤不摆在首尾的摆法共有种 10. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 是函数的极值点 11. 如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（ ） A. 三棱锥的体积不变 B. 异面直线BD与所成角为 C. 存在点P使得平面 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接受该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有________（用数字作答）. 14. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求A， （2）若的周长为20，面积为，求a． 16. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 17. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． （1）求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； （2）若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； （3）经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $