第七周 第3天 对数的运算 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第七周 第 3天 对数的运算 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件. (重点) 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 对数的运算性质 ❓ 问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ ❓ 问题1　结合问题1，若=ap-q，又能得到什么结论？ ❓ 问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 💡知识梳理 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)=____________. (2)loga=______________. (3)logaMn=______________(n∈R). ⚠️ 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 🎯教材例题 求下列各式的值：(1)lg；　(2)log2(47×25). 🎯例1　计算下列各式： (1)log5； (2)log2(32×42)； (3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 计算下列各式的值： (1)lg ； (2)log345－log35； (3)log2＋log2 12－log2 42－1； (4). 🎯跟踪练习 1-2 求下列各式的值： (1)log2； (2)2log52+log50.25； (3)ln 3+ln； (4)log35-log315. 知识点2 对数运算性质的运用 🎯教材例题 用ln x，ln y，ln z表示ln 🎯例2 用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； (2)lg； (3)lg. 用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1 已知lg 2=a，lg 3=b，则lg=　　　　(结果用含a，b的代数式表示).  🎯跟踪练习 2-2 下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39==3 D.log55=1与51=5 知识点3 利用对数的运算性质化简、求值 🎯例3计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； (2； (3)log535-2log5+log57-log51.8. 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简． 反思 归纳 🎯跟踪练习 3 计算下列各式的值： (1)2log23-log2+log27； (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 自学小结 对数的运算 1.知识清单： (1)对数的运算性质. (2)对数运算性质的运用. (3)利用对数的运算性质化简、求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.计算lg 2-lg等于(　　) A.-1 B. C.1 D.5 2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的为(　　) A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn C.logax=-loga D.logax 3.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg的值为(　　) A.a-b2 B.a-2b C. D. 4.=　　　　.  5.化简下列各式： (1)4lg 2＋3lg 5－lg ； (2)2log32－log3＋log38－5. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第七周 第 3天 对数的运算 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件. (重点) 2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 对数的运算性质 ❓ 问题1　将指数式M=ap，N=aq化为对数式，结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？ 💬 提示　由M=ap，N=aq得p=logaM，q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). ❓ 问题1　结合问题1，若=ap-q，又能得到什么结论？ 💬 提示　将指数式=ap-q化为对数式，得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0). ❓ 问题3　结合问题1，若Mn=(ap)n=anp(n∈R)，又能有何结果？ 💬 提示　由Mn=anp，得logaMn=np=nlogaM(a>0，且a≠1，M>0，n∈R). 💡知识梳理 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM(n∈R). ⚠️ 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义，而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk，其中Nk>0，k∈N*. 🎯教材例题 求下列各式的值：(1)lg；　(2)log2(47×25). 【解】　(1)lg； (2)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19. 🎯例1　计算下列各式： (1)log5； (2)log2(32×42)； (3)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18； (4)lg 52＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 【解】(1)原式＝log525＝log552＝. (2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9. (3)原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. (4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 计算下列各式的值： (1)lg ； (2)log345－log35； (3)log2＋log2 12－log2 42－1； (4). 【解】(1)原式＝lg 100＝lg 100＝×2＝. (2)原式＝log3＝log39＝log332＝2. (3)原式＝log2 ＋log2 12－log2 －log22＝log2 ＝log2 ＝－. (4)原式＝＝＝. 🎯跟踪练习 1-2 求下列各式的值： (1)log2； (2)2log52+log50.25； (3)ln 3+ln； (4)log35-log315. 【解】　(1)log2=log2. (2)2log52+log50.25=log522+log50.25=log5(4×0.25)=log51=0. (3)ln 3+ln=ln=ln 1=0. (4)log35-log315=log3=log3=log33-1=-1. 知识点2 对数运算性质的运用 🎯教材例题 用ln x，ln y，ln z表示ln 【解】　ln =ln x2+ln=2ln x+ln z. 🎯例2 用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； (2)lg； (3)lg. 【解】　(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z. (2)lg=lg(xy3)-lg =lg x+lg y3-lg =lg x+3lg y-lg z. (3)lg=lg -lg(y2z)=lg -(lg y2+lg z)=lg x-2lg y-lg z. 用已知对数的值来表示所求对数的值时，要增强目标意识，把真数拆解成已知对数的真数，合理地把所求向已知条件转化. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1 已知lg 2=a，lg 3=b，则lg=　　　　(结果用含a，b的代数式表示).  【解】　lg=lg 12-lg 5=lg(3×22)-(1-lg 2)=lg 3+lg 22-1+lg 2=lg 3+3lg 2-1=b+3a-1. 答案　b+3a-1 🎯跟踪练习 2-2 下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.100=1与lg 1=0 B.2与log27=- C.log39==3 D.log55=1与51=5 【解】因为=3化为对数式应为log93=故C不正确. 故选C 知识点3 利用对数的运算性质化简、求值 🎯例3计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； (2； (3)log535-2log5+log57-log51.8. 【解】(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式==. (3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2. 利用对数运算性质化简求值 (1)“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式的正用； (3)“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简． 反思 归纳 🎯跟踪练习 3 计算下列各式的值： (1)2log23-log2+log27； (2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 【解】(1)方法一　原式=2log23-(log263-log28)+log27=2log23-log27-log29+log28+log27=2log23-2log23+3=3. 方法二　原式=log29-log2+log27=log2=log28=log223=3. (2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 自学小结 对数的运算 1.知识清单： (1)对数的运算性质. (2)对数运算性质的运用. (3)利用对数的运算性质化简、求值. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.计算lg 2-lg等于(　　) A.-1 B. C.1 D.5 【解】原式=lg=lg 10=1. 答案　C 2.若a>0，且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式中正确的为(　　) A.(logax)n=nlogax B.(logax)n=logaxn C.logax=-loga D.logax 【解】根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0，a>0，且a≠1，n∈R)知C正确. 答案　C 3.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg的值为(　　) A.a-b2 B.a-2b C. D. 【解】∵lg 3=a，lg 7=b，∴lg=lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.答案　B 4.=　　　　.  【解】原式==2.答案　2 5.化简下列各式： (1)4lg 2＋3lg 5－lg ； (2)2log32－log3＋log38－5. 【解】(1)原式＝lg ＝lg (24×54)＝lg (2×5)4＝4. (2)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $