第八周 第1天 对数函数的图象和性质（一）暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第八周 第 1天 对数函数的图象和性质(一) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.初步掌握对数函数的图象和性质. (重点) 2.会类比指数函数研究对数函数的性质. (重点) 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 对数函数的图象和性质 ❓ 问题　将y=2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，+∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 💬 提示　x=log2y，任意y∈(0，+∞)，都有唯一的x对应，x是关于y的函数. ❓ 问题1　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y=log2x … … y=x … … 💬 提示　(1)-2　-1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　　-1　-2　-3　-4　-5 (2)描点、连线. ❓ 问题2　为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a=3，4你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？ 💬 提示　 💡知识梳理 　对数函数的图象和性质 y=logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x=1时，y=0 函数 值特点 当x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)； 当x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)； 当x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0] 对称性 函数y=logax与y=x的图象关于x轴对称 ⚠️ 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧. (2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 🎯例1-1函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为(　　) 【解】　因为函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称， 当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数， 又因为函数f(x)的图象过(1，1)，(－1，1)两点，所以结合选项可知选项C中的图象符合题意． 🎯例1-2 若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  【解】 由题意，得2=loga(3+b)+c. 又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立，∴c=2，3+b=1，∴b=-2，c=2. 🎯例1-3 已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-25)=2，试画出函数f(x)的图象. 【解】 因为f(-25)=2，所以loga25=2，即a=5，故f(x)=log5|x|= 所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示. 🎯一题多变1　在例1-3 中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象. 【解】 因为f(x)=log5|x|，所以g(x)=log5|x-1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的. 🎯一题多变2 在例1-3中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间. 【解】 因为a=5，所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图中实线部分所示. 由图象知，其值域为[0，+∞)，单调递减区间是(0，1]，单调递增区间是(1，+∞). (1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标. (2)对数型函数图象的变换方法 ①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. ②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. ③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律. ④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是(　　) 【解】 因为0＜a＜1，所以y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故排除C，D. 又函数y＝loga(x－1)的图象过点(2，0)，故A正确． 🎯跟踪练习 1-2函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　) A．(1，1)　　　　　　　　　 B．(2，1) C．(1，2) D．(2，2) 【解】 令x－1＝1，则x＝2，因此f(2)＝1，所以函数f(x)的图象过定点(2，1).故选B. 知识点2 利用单调性解对数型不等式 🎯例2-1 解下列不等式： (1)logx＞log(4－x)； (2)logx＞1. 【解】　(1)由题意可得解得0＜x＜2.所以原不等式的解集为(0，2). (2)当x＞1时，logx＞1＝logxx，解得x＜，此时不等式无解． 当0＜x＜1时，logx＞1＝logxx，解得x＞，所以＜x＜1. 综上所述，原不等式的解集为. 🎯例2-2 解下列关于x的不等式： (1)lox>lo4-x)； (2)loga(2x-5)>loga(x-1)； (3)logx>1. 【解】　(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为{x|0<x<2}. (2)当a>1时，原不等式等价于解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于解得<x<4. 综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；当0<a<1时，原不等式的解集为. (3)当x>1时，logx>logxx，所以x<无解；当0<x<1时，logx>logxx，所以<x<1. 综上，原不等式的解集为. 🎯例2-3 已知loga(2a+1)<loga(3a)<0，求实数a的取值范围. 【解】由题意可知即a>0且a≠1. 当a>1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1，∴2a+1<3a<1，此时无解； 当0<a<1时，∵loga(2a+1)<loga(3a)<0=loga1，∴2a+1>3a>1，解得<a<1， 因此，实数a的取值范围为. 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2　解下列不等式： (1)log0.7(2x)＜log0.7(x－1)； (2)loga(2x－5)＞loga(x－1). 【解】(1)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.7(2x)＜log0.7(x－1)， 得解得x＞1. 所以x的取值范围是(1，＋∞). (2)当a＞1时，原不等式等价于解得x＞4. 当0＜a＜1时，原不等式等价于解得＜x＜4. 综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞4}．当0＜a＜1时，原不等式的解集为. 知识点3 利用单调性比较对数值的大小 🎯教材例题 比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 【解】　(1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.因为底数2>1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5. (2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.因为底数0.3<1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7. (3)loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论. 当a>1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时，因为函数y=logax是减函数，且5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9. 🎯例3-1比较下列各组值的大小： (1)log0.5，log0.6； (2)log1.51.6，log1.51.4； (3)log34，log0.43. 【解】　(1)因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6. (2)因为函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4. (3)因为log34＞log31＝0，log0.43＜log0.41＝0，所以log34＞log0.43. 🎯例3-2 比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. 【解】　(1)因为y=log3x在(0，+∞)上单调递增，1.9<2，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21=0，log0.32<log0.31=0， 所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递增，又π>3.14，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又π>3.14，则有logaπ<loga3.14. 综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，logaπ<loga3.14. (4)在同一直角坐标系中，作出y=log5x，y=log6x的图象，再作出直线x=0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4. 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 比较大小： (1)log23，log32，log46； (2)log3π，log2log3. 【解】　(1)∵y=log4x在(0，+∞)上单调递增，∴log23=log49>log46>1， 又∵log32<1，∴log23>log46>log32. (2)∵log2log23，又1<log23<2，∴<log2<1. 又log3log32<log3π>1， ∴log3π>log2>log3. 🎯跟踪练习 3-2 下列式子中成立的是(　　) A．log0.44<log0.46　　　　　　 B．1.013.4>1.013.5 C．3.50.3<3.40.3 D．log76<log67 【解】因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错．设函数f(x)＝log7x，g(x)＝log6x，则这两个函数在定义域内都单调递增，所以log76<log77＝1＝log66<log67，所以D正确．故选D. 自学小结 对数函数的概念 1.知识清单： (1)对数函数的概念及应用. (2)求解析式中含对数式的函数的定义域. (3)对数函数模型的应用 2.方法归纳：待定系数法，转化法. 3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x　　　　　　　　 B．y＝log3x C．y＝logx D．y＝logx 【解】设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则loga9＝2，a＝3，所以y＝log3x. 故选B. 2．给出下列函数： ①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝log5x.其中是对数函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解】①②中，因为对数的真数不是只含有自变量x，所以不是对数函数；③中，因为对数的底数不是常数，所以不是对数函数；④是对数函数．故选A. 3．函数f(x)＝＋lg (3x＋1)的定义域是(　　) A. B. C． D． 【解】要使函数有意义，则 即所以－＜x≤2，即函数的定义域为，故选C. 4．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．　 【解】由对数函数的定义可知，解得a＝5. 答案：5 5.某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y=alog2(x+1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 【解】由题意，知100=alog2(1+1)，解得a=100，则当x=7时，y=100log2(7+1)=100×3=300. 故选A 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第八周 第 1天 对数函数的图象和性质(一) 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.初步掌握对数函数的图象和性质. (重点) 2.会类比指数函数研究对数函数的性质. (重点) 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 对数函数的图象和性质 ❓ 问题　将y=2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，+∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ ❓ 问题1　请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y=log2x和y=x的图象. x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 … y=log2x … … y=x … … ❓ 问题2　为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a=3，4你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？ 💡知识梳理 　对数函数的图象和性质 y=logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 ______________ 值域 R 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 最值 ______________ 奇偶性 ______________ 共点性 图象过定点______________，即x=1时，y=0 函数 值特点 当x∈(0，1)时，y∈_________； 当x∈[1，+∞)时，y∈_________ 当x∈(0，1)时，y∈_________； 当x∈[1，+∞)时，y∈_________ 对称性 函数y=logax与y=x的图象关于_________对称 ⚠️ 注意点： (1)函数图象只出现在y轴右侧. (2)对任意底数a，当x=1时，y=0，故过定点(1，0). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴. (5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 🎯例1-1函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为(　　) 🎯例1-2 若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  🎯例1-3 已知f(x)=loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(-25)=2，试画出函数f(x)的图象. 🎯一题多变1　在例1-3 中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象. 🎯一题多变2 在例1-3中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象，并写出其值域和单调区间. (1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，即当x=1时，y=0，令其真数等于1，可得图象过定点的坐标. (2)对数型函数图象的变换方法 ①作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x>0)的图象不变，x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. ②作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. ③有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律. ④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是(　　) 🎯跟踪练习 1-2函数f(x)＝loga(x－1)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(　　) A．(1，1)　　　　　　　　　 B．(2，1) C．(1，2) D．(2，2) 知识点2 利用单调性解对数型不等式 🎯例2-1 解下列不等式： (1)logx＞log(4－x)； (2)logx＞1. 🎯例2-2 解下列关于x的不等式： (1)lox>lo4-x)； (2)loga(2x-5)>loga(x-1)； (3)logx>1. 🎯例2-3 已知loga(2a+1)<loga(3a)<0，求实数a的取值范围. 对数不等式的三种考查类型及解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab)，再借助y=logax的单调性求解. (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2　解下列不等式： (1)log0.7(2x)＜log0.7(x－1)； (2)loga(2x－5)＞loga(x－1). 知识点3 利用单调性比较对数值的大小 🎯教材例题 比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 🎯例3-1比较下列各组值的大小： (1)log0.5，log0.6； (2)log1.51.6，log1.51.4； (3)log34，log0.43. 🎯例3-2 比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，且a≠1)； (4)log50.4，log60.4. 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 比较大小： (1)log23，log32，log46； (2)log3π，log2log3. 🎯跟踪练习 3-2 下列式子中成立的是(　　) A．log0.44<log0.46　　　　　　 B．1.013.4>1.013.5 C．3.50.3<3.40.3 D．log76<log67 自学小结 对数函数的图象与性质（一） 1.知识清单： (1)对数函数的图象及性质. (2)利用单调性解对数型不等式. (3)利用单调性比较对数值的大小 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：作对数函数图象时易忽视底数a>1与0<a<1两种情况. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．函数y＝|log2x|的图象是图中的(　　) 2．当a＞0，且a≠1时，f(x)＝loga(x＋2)＋3的图象过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(－2，4)　　　　　　 B．(－1，4) C．(－2，3) D．(－1，3) 3．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 4．比较下列各题中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32. 5.不等式lo2x+3)<lo5x-6)的解集为　　　.  第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $