第5章《一次函数》暑假单元自测卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数，通过音乐半音数、体育用品销售等真实情境，考查函数定义、图像性质及综合应用，强化模型意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|函数定义、不等式解集、一次函数性质|结合音乐旋律情境（第3题）考查函数建模| |填空|8/16|函数图像与坐标轴交点、平移、最值|网格图（第13题）融合几何直观与函数计算| |解答|9/68|解析式求解、实际应用（利润/营养）、几何综合|体育用品销售（第20题）体现模型应用，膳食营养（第22题）强化数据分析|

第5章《一次函数》暑假单元自测卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。） 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象如图所示，则不等式 0的解集是（     ） A． B． C． D． 3．在音乐中，音高可以用半音数来表示（相邻两个半音相差1），一段旋律中，半音数与时间（单位：拍，，2，3，…表示第拍结束时的音高）满足一次函数关系，已知该旋律从中央C（）开始，部分数据如下表，则时，半音数的值为（     ） 时间（拍） 1 2 3 半音数 0 2 4 A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知，，是直线（为常数）上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．已知一次函数下列选项正确的是（   ） A．函数图象与轴交于点 B．函数图象与轴交于点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而增大 6．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．已知平面内有两条直线，交于点A，与x轴分别交于B、C，落在内部（不含边界），则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．若点在函数的图象上，则t的值是____________． 10．一次函数，若随着的增大而增大，请写出一个符合条件的值______． 11．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 12．将直线向下平移个单位长度，若平移后的直线不经过第一象限，则的取值范围是______． 13．如图，网格图中每个小正方形的边长都等于1．经过网格点A和点C的一条直线，把网格图分成了两部分．则线段AB的长等于________． 14．如图，已知直线、所对应的函数表达式分别为与，且点在直线与之间，则字母m的取值范围为______． 15．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，点为直线上的一动点，当值最小时点的坐标为______．    16．已知直线：与轴于与点，将该直线绕着点逆时针旋转得到新的直线，则直线的函数表达式为__________． 三、解答题（共68分） 17．已知y与成正比例，且时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 18．解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 19．如图，已知中，，，直线的函数解析式是． (1)求证：； (2)求的面积． 20．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 21．在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点．函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于，直接写出的取值范围． 22．综合与实践：对每个人来说，膳食结构与热量平衡至关重要，它直接影响人们的身体健康．利用所学知识，结合项目资料，我们可以为自己设计科学的膳食方案和运动计划．根据以下素材，探索完成任务： 膳食结构与热量计算 素材 某校组织部分学生去参加研学活动，并准备了A、B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，其营养成分如图所示： 素材 中华人民共和国卫生行业标准（）学生餐营养指南中指出岁男生每日应摄入蛋白质，女生为． 问题解决 (1)每一包A食品（）所富含的热量为________；每一包B食品（）所富含的蛋白质为________． (2)学生要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (3)若要使午餐中的蛋白质含量正好是，并且热量最低，应如何选择食品？ 23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 24．已知直线解析式为，过点，． (1)求直线的解析式； (2)过点作垂直于轴的直线，与直线交于点． ①当时，求的取值范围； ②若，点是直线上的一点，直线将的面积分成的两部分，求点的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求、的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 26．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为5，求点的坐标； ②连接，如图2，若，直接写出点的坐标__________． 参考答案 一、单项选择题 1．A 解：观察可知，只有选项A中的图象满足对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，y是x的函数； 其他选项中，都存在一个确定的的值，对应2个值，y不是x的函数. 2．D 解：根据函数图象可得一次函数在轴上方时的取值范围为， 即不等式 0的解集是． 3．B ∵与满足一次函数关系， ∴设， 由表格数据得，当时，，当时， 代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 故选B 4．B 解：∵在中，一次项系数， ∴随的增大而减小． ∵，，是直线（为常数）上的三点，且， ∴． 5．D 解：在一次函数中，当时，，即函数图象与轴交于点，故B选项错误，不符合题意； 当时，，解得，即函数图象与轴交于点，故A选项错误，不符合题意； ∵一次函数中，，， ∴函数图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大，故C选项错误，D选项正确． 6．D 解：∵点，点在一次函数图象上，点在第一象限内， ∴， 解得：， 、当时， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时， 当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断错误，不符合题意； 、当时，则， ∵点在第一象限内， ∴，， ∴，故该选项判断正确，符合题意； 7．B 解：∵点落在内部（不含边界），的边在x轴上， ∴P点纵坐标大于0，且P的纵坐标小于与在处的函数值，列不等式组得： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：，即， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为． 8．D 解：在直线中，令，则， 解得， ∴直线与轴交于点， 由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度， 故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意； 当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴，，的面积为，故B选项错误； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为，故C选项错误； 当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确． 二、填空题 9．6 解：点在函数的图象上， 把，代入，得： ． 10．（答案不唯一，任意满足的值均可） 解：∵一次函数y=kx+3中，y随着x的增大而增大， ∴， 任意取一个大于的实数作为，例如.（答案不唯一） 11． 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴将一次函数向右平移3个单位长度得到，与x轴交点坐标为 ∴当时，的图象在x轴上方 ∴关于的不等式的解集为． 12． 解：因为直线向下平移个单位长度， 所以平移后直线的解析式为． 平移后直线的比例系数，直线从左上方向右下方倾斜， 若平移后的直线不经过第一象限，则直线与y轴交点的纵坐标小于等于． 当时，， ， 解得． 13． 解：以为坐标原点，向右为轴正方向，向上为轴正方向，建立平面直角坐标系，每个小正方形边长为1． 由图可知，网格点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为． 由图可知，点的纵坐标为4， 代入直线解析式得​， 解得， 即． ∴． 14． 解：根据题意，把点代入， 得，解得； 把点代入， 得，解得； ∴当点在直线与之间时，m的取值范围为． 15． 解：如下图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 则有， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 由对称的性质可知，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为．    16． 解：如下图，设直线交轴于点，过点作的垂线，交于点，过点作轴于点， 对于直线：， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式是，将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式是． 三、解答题 17．（1） 解：由题意可设 把，代入得， 解得 ； （2）解：把代入得， 解得． 18．（1）解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； （2）解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 19．（1）证明：令， ， ， 令，， ， ，， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ，， ． 20．（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 21．（1）解：把点和点代入函数，得 ，解得； （2）解：当时，函数， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， 由（1）得， 当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：由题意得，当时，， 若，当时，，可得，不满足，舍去； 若，整理得，要使所有满足不等式，需，由，解得； 整理不等式得， 当即时，不等式整理得，因为，所有都满足不等式，符合条件； 当即时，不等式变为，恒成立，符合条件； 当即时，不等式整理得，存在不满足，不符合条件； 综上，的取值范围为． 22．（1）解：从图可知，每一包食品（）所富含的热量为； 每一包食品（）所富含的蛋白质为． （2）解：从图可知，每一包食品（）所富含的热量为， 每一包食品（）所富含的蛋白质为， 设应选用A食品包，B食品包， 根据题意，得：，化简得：， 由②得：，即， 代入①得：，解得， 将，代入②得：，解得， 答：应选用A食品4包，B食品2包． （3）解：设选用A食品包，B食品包， 根据题意，得：， 整理得：，即， 设总热量为，则：， ∵随的增大而减小， ∴取最大值时，热量最低， ∵均为非负整数，且， ∴， 当时，，符合题意， 答：应选用A食品0包，B食品4包． 23．（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 24．（1）解：∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∵点是直线上的一点， ∴， ∴， 当时，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，即， 解得或， ∴点的坐标为或； ∴点的坐标为或或或． 25．（1）解： 把代入， ， ， 把代入， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， 动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ， ，且， 当时，， 当时，， 即； （3）解： 存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点，同理可得， ， ， ， ， 解得 ； 综上所述： 的值为 或 5． 26．（1）解：对于， 由得：， ． 由得：，解得， ， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：①设， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； ②点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ，解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $