1.6相似三角形的应用 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，核心内容为利用相似测量宽度和高度，通过实际问题（如测量河宽、旗杆高度）导入，关联相似三角形判定与性质，以构造模型、测量数据、比例计算为学习支架，帮助学生从理论过渡到实践应用。 其亮点在于结合真实情境，通过构造A型、X型相似模型及推理比例关系，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）、数学语言（模型意识）。实例包括标杆测量树高、镜面反射测城墙等，综合应用创新与中考题提升能力，助力学生发展解决实际问题的能力，为教师提供系统教学资源。

1.6 相似三角形的应用 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 利用相似测量宽度 利用相似测量物体高度 知1－讲 知识点 利用相似测量宽度 1 问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离 (如河流宽度) 测量原理 构造相似三角形 ,利用“相似三角形对应边成比例”求解 构造相似 图形模型 “A”型 “X”型 感悟新知 知1－讲 测量数据 求 AB 的长，可测量 BE，CD，BC的长 求 BC的长，可测 量 AD，AB，DE 的长 求 AB 的 长，可测量BC，CD，DE 的长 求解方式 已知△ ABE ∽△ ACD，则=，所以 AB= 已 知△ ADE ∽△ABC，则=，所以 BC= 已知△ ABC ∽△ EDC，则=，所以 AB= 感悟新知 知1－讲 特别解读 利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤： (1)构造相似三角形，画出示意图； (2)测量与所求线段相对应的边的长度以及另外任意一组对应边的长度； (3)利用相似三角形的性质列出比例式，解出未知量； (4)检验并得出答案 . 感悟新知 知1－练 如图1.6-1，我们想要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离(即河宽). 方案：先从B点出发向与AB成90°角的方向走50 m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10 m到C处，在C处向右转90°，沿CD方向再走17 m到D处，使得点A，O，D 在同一条直线上，求点A，B之间 的距离是多少？ 例1 感悟新知 知1－练 解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解. 感悟新知 知1－练 解：易知∠ABO = ∠DCO=90°.又∠AOB = ∠DOC， 所以△AOB∽△DOC.所以= . 又BO=50 m，CO=10 m，CD=17 m，所以 =， 解得AB=85 m. 答：点A，B之间的距离是85 m. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. 如图，A，B 两地被池塘隔开，在 AB 外取一点C，连接 AC，BC，在 AC上取点 M，使 AM=4MC，作MN∥AB，交 BC 于N，量得 MN=30 m，则 AB 的长为 ________. 150m 知2－讲 感悟新知 知识点 利用相似测量物体高度 2 常见类型 利用阳光、影子测量物高(在同一时刻物高与影长成比例) 利用标杆测量物高 利用平面镜测量物高(光线的反射角等于入射角) 测量原理 利用同一时刻物高与影长成比例构造相似三角形, 相似三角形的对应边成比例 利用标杆与被测物体平行构造相似三角形, 相似三角形的对应边成比例 利用“反射角等于入射角”构造相似三角形, 相似三角形的对应边成比例 知2－讲 感悟新知 测量 方案 在同一时刻, 测量物体(如旗杆)的影长,参照物(如人)的影长和参照物的高度,构造相似三角形 竖一标杆, 使物体顶端、标杆顶端和人的眼睛在一条直线上, 构造相似三角形 在地面上放置一面镜子, 人站在合适的位置(人和物体位于镜子两侧),恰好能从镜子里看见物体的顶端，构造相似三角形 示意图 感悟新知 知2－讲 测量数据 求旗杆的高 BC，需测量人的高度 DF，影长EF 及旗杆的影长 AB 求旗杆的高 AB，需测量 EF，CD， FD， BD 求建筑物的高 AB，需 测量 CD， DE， BE 相关算式 设 BC=x，由△ DEF ∽△ CAB，得 = ， 即 = 设 AB=x，由△CEG∽△ AEH，得 = ，即 = 设 AB=x，由△ ABE∽△ CDE，得 = ， 即 = 感悟新知 知2－讲 特别提醒 1. 利用影子测量物体高度时,物体底部要能够到达;由于影长随着时间的变化而变化,因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长. 2. 利用标杆测量物体高度时, 人的眼睛、标杆顶端、物体顶端必须“三点共线”,注意标杆要与地面垂直，同时物体底部要能够到达. 3. 利用平面镜测量物体高度时,物体与人之间不能有障碍物，平面镜要水平放置. 知2－练 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上(如图1.6-2)．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72 m，EF＝ 2.18 m．已知B，C，E，F在同一直 线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝ 2.47 m，则AB＝______m． 9.88 例2 感悟新知 知2－练 解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解. 解：由题意得AC∥DF，B， C， E， F 在同一直线上，所所以∠ACB＝∠DFE. 因为AB⊥BC，DE⊥EF， 所以∠ABC＝∠DEF＝90°，所以△ABC∽△DEF. 所以＝，即＝，解得AB＝9.88 m. 感悟新知 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，长为 2m 的竹竿的顶端与树的顶端的影子恰好落 在地面的同一点，竹竿与这一点相距 6m，与树相距 15m，则树的高度为_______m. 7 知2－练 如图1.6-3，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B点立一根高为2 m(AB=2m)的标杆，观测者在F处时，观测者的眼睛E与标杆顶A和树顶C在同一条直线上. 若测得BD＝6.4 m，FB＝1.6 m，EF＝1.6 m，F， B， D 在同一直线上，且 EF⊥FD， AB ⊥ FD， CD ⊥ FD， 求树的高度. 例3 感悟新知 知2－练 解：如图1.6-3，过点E作EG⊥CD， 垂足为点G，交AB于点H. 因为AB ⊥ FD， CD ⊥ FD，所以 AH∥CG， 所以△EAH∽△ECG， 所以＝ . 解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解 . 感悟新知 知2－练 易得HG＝BD＝6.4 m，EH＝FB＝1.6 m， GD＝ HB＝EF＝1.6 m， 所以EG＝EH＋HG＝1.6＋6.4＝8(m)， AH＝AB－BH＝2－1.6＝0.4(m). 所以＝，解得CG＝＝2(m)， 所以CD＝CG＋GD=2＋1.6＝3.6(m)， 所以树的高度为3.6 m. 感悟新知 知2－练 感悟新知 3-1.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条 边 DF=0.5 m， EF=0.3 m， 测 得 边 DF 离地面的高度AC= 1.5 m，CD=10 m，求树高 AB. 知2－练 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P55 复习题 T8 ]如图1.6-4 是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2 米， BP＝3 米，PD＝12 米， 求该古城墙CD的高度. 例4 感悟新知 知2－练 思路导引： 感悟新知 解：如图1.6-4，过点P作PE⊥BD. 由题意可得∠CPE＝∠APE， ∠ BPE= ∠ DPE=90° ，所以∠CPD＝∠APB. 因为AB⊥BD，CD⊥BD，所以∠ABP ＝∠CDP＝90°， 所以△ABP ∽△CDP，从而＝. 因为AB＝2 m，BP＝3 m，PD＝12 m， 所以＝，解得CD＝8 m.答：该古城墙CD的高度为8 m. 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 4-1. [中考·南充]如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6 m，同时 量 得小菲与镜子的水平距离为 2 m，镜子与旗 杆的水平距离为 10m，则旗杆的高度为(     ) A. 6.4 m B. 8 m C. 9.6 m D. 12.5 m B 相似三角形的应用 相似三角形的应用 利用影子测量 利用标杆测量 利用镜面反射测量 测量高度 测量宽度 课堂小结 方法 利用中间比法求物高 1 [情境题 生活应用]周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度. 如图 1.6-5，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线 EF，通过在直线EF上选点观测，发 现当他位于点N时，他的视线从点 M通过露台点D正好落在遮阳篷点A处； 例5 综合应用创新 当他位于点N′时，视线从点M′通过点D正好落在遮阳篷点B处，这样观测到的两个点A，B间的距离即为遮阳篷的宽 .已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG， DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN=M′N′，露台的宽CD=GE.实际测得GE=5 m，EN=15.5 m，NN′=6.2m.请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米. 综合应用创新 解题秘方 : 根据平行线找相似三角形，利用相似三角形的性质建立线段之间的关系，寻找中间比作为“桥梁”进行转化后计算 . 综合应用创新 解 : 如图 1.6-5，延长MM′交DE于点H. 由题意可知HM=EN=15.5 m，CD=GE=5 m，MM′=NN′=6.2 m，HM∥EF. 因为CD∥EF，所以CD∥HM. 所以∠ADC=∠DMH. 又易知∠ACD=∠DHM=90°，所以△ACD∽△DHM. 所以 = . 综合应用创新 因为AB∥EF，MM′∥EF，所以AB∥MM′.所以△ABD∽△MM′D，从而= . 所以 = ，即 = ，解得AB=2 m. 答：遮阳篷的宽AB是 2 m. 综合应用创新 解题通法 利用相似求物高的方法： 解决实际问题中的求高度或距离问题时，常建立几何模型构造相似三角形，常作的辅助线是平行线、垂线或延长线，利用相似三角形对应边成比例的性质求解 . 综合应用创新 解题策略 一些复杂的实际问题需要多次运用相似三角形的性质，有时还需要借助方程来求解 . 综合应用创新 方法 利用分割(补形)法求物高 2 如图1.6-6，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH的长为2 m，此时树AB的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物CE的墙上， 墙上的影子CD高为 2 m，那么 这棵树AB的高度是多少米？ 例6 综合应用创新 解题秘方：添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解 . 综合应用创新 解：延长AD，与BH交于点M，如图1.6-6 所示 . 由AM∥FH，知∠AMB = ∠FHG. 因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG， 所以∠ABM=∠DCM=∠FGH=90°. 所以△ABM∽△DCM∽△FGH. 所以 = = . 综合应用创新 又CD=2 m，FG=1.2 m，GH=2 m， 所以= ，解得CM= m. 因为BC=4 m，所以BM=BC+CM=4+= (m). 所以= ，解得AB=4.4 m. 答：这棵树AB的高度是 4.4 m. 综合应用创新 另解思路 如图 1.6-7，过 点 D作 DM ⊥ AB 于 点 M，则易得四边形 BCDM 为矩 形，易知△ ADM ∽△ FHG，得 = ，则树高 AB 可求 . 综合应用创新 方法 利用影子断物法求物高 3 如图1.6-8，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上， 量得CD=8 m，BC=20 m，CD与地面成 30°角，且此时测得 1 m高的木杆(木杆与地面垂直)的影长为2 m，则电线杆AB的高度为( ) A. 9 m B. 28 m C.( 7+ ) m D.( 14+2) m 例7 综合应用创新 解题秘方 : 利用同一时刻影长和物高成比例，建立线段之间的数量关系解决问题 . 综合应用创新 解 : 如图1.6-8，延长 AD 交 BC 的 延 长 线 于 点 F，过 点D作DE⊥BF于点E. 因为∠DCE=30°，CD=8 m，∠CED=90°，所以DE=4 m. 所以CE= =4 m. 设 AB=x m，EF=y m. 因为 DE ⊥ BF，AB ⊥ BF，所以 DE ∥ AB. 所以△DEF∽△ABF.所以 = ，即= . 综合应用创新 因为 此时测得 1 m 高的木杆的影长是 2 m， 所以=，解得 y=8.将 y=8 代入=， 得 x=14+2 . 因此，电线杆AB的高度为(14+2 )m. 答案：D 综合应用创新 知识储备 同一时刻，同一地点，有比例式：=. 综合应用创新 方法点拨 当物体的影子落在斜坡上时，常延长光线画出若无斜坡阻挡时物体在地面上的影子，根据相似三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及方程思想求解 . 综合应用创新 易错点 不能准确理解题目中的已知条件，从而导致错误 1 如图1.6-9，铁道口栏杆的短臂OA长为1.25 m，长臂OB长为16.5 m，当短臂端点(A →C)下降0.85 m 时，长臂端点(B →D)升高了多少米(不计栏杆的宽度)？ 例8 综合应用创新 错解：由题意知OA=OC，OB=OD，所以= . 又∠AOC= ∠BOD，所以 △AOC∽△BOD.所以= . 又AO=1.25 m，BO=16.5 m，AC=0.85 m， 所以 = ，解得BD=11.22 m. 答：长臂端点升高了11.22 m. 综合应用创新 正解：由题意知OA=OC=1.25 m，OB=OD=16.5 m. 如图1.6-9，过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则∠CEO= ∠DFO=90°，CE=0.85 m. 因为∠COE=∠DOF， 所以△COE∽△DOF. 所以 = ，即=，解得DF=11.22 m. 答：长臂端点升高了11.22 m. 综合应用创新 诊误区： 构造相似三角形解决实际问题时，要注意对应线段所表示的量，如本题中错解是把AC 的长当成了下降的高度，把BD 的长当成了上升的高度. 综合应用创新 考法 利用相似解决杠杆问题 1 [新趋势跨学科中考·内江]阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处 可见.如图1.6-10甲，这是用杠杆撬石头 的示意图，当用力压杠杆时，另一端就 会撬动石头. 例9 中考风向标 如图1.6-10 乙，动力臂OA=150 cm，阻力臂OB= 50 cm，BD=20 cm，则AC的长度是( ) A. 80 cm B. 60 cm C. 50 cm D. 40 cm 中考风向标 试题评析：本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度. 中考风向标 解：因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以AC∥BD. 所以△AOC∽△BOD，从而 = . 又OA=150 cm，OB=50 cm，BD=20 cm， 所以 = ，解得AC=60 cm. 答案：B 中考风向标 考法 利用相似解实际中测距离问题 2 [中考·菏泽]如图1.6-11，M，N为山两侧的两个村 庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的距离，选择测量点A，B，C， 点B，C分别在AM，AN上，现测得AM= 1 000 m，AN=1 800 m，AB=54 m，BC= 45 m，AC=30 m，求M，N两点之间的距离. 例10 中考风向标 试题评析：本题考查了相似三角形的判定和性质，读懂题意，建立相似三角形的模型是解题的关键. 中考风向标 解：如图1.6-11，连接MN. 因为 = = ， = =，所以 = . 又∠BAC = ∠NAM，所以△BAC∽△NAM. 所以 = ，即= ，解得MN=1 500 m. 答：M，N 两点之间的距离为1 500 m. 中考风向标 考法 利用相似解实际中测物高问题 3 [中考·陕西]小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图1.6-12，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m，OA的影长OD为20 m，小明的影长FG为2.4 m，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上， A，B，O三点在同一直线上，且AO ⊥OD，EF⊥FG. 已知小明的身高 EF为1.8 m，求旗杆的高AB. 例11 中考风向标 试题评析：本题主要考查利用相似三角形的性质测量物高，关键是找出图形中相似的三角形. 中考风向标 解：因为AD ∥ EG，所以∠ADO= ∠ EGF. 又∠AOD= ∠EFG=90°，所以△AOD∽△EFG. 所以 = ，即 = ，解得AO=15 m. 因为AD∥BC，所以△BOC∽△AOD. 所以 = ，即 = ，解得BO=12 m. 因此AB=AO-BO=15-12=3(m).答：旗杆的高AB是3m． 中考风向标 1. [模拟·湘西州]如图，某数学兴趣小组为了估算河的宽 度，在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS 的直线b 的交点R. 如果测得QS=45 m，ST= 90 m，QR=60 m，则河的宽度PQ是(　　) A. 70 m B. 80 m C. 90 m D. 100 m C 综合素养训练 2. 如图，嘉嘉在A 时测得一棵4 m高的树CD的影长DF为 8 m，若A时和B时的太阳光线互相垂直，则B时树CD的影长DE为(　　) A. 2 m B. 2 m C. 4 m D. 4 m A 综合素养训练 3. [情境题 实践操作]某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再 用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测 者目高(CD)的长，利用测得的数据可 以求出这棵树的高度. 综合素养训练 已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB ⊥ BD 于点 B，BF=6 m，DF=2 m，EF=0.5 m，CD=1.7 m，则这棵树的高度(AB的长)是( ) A. 3.6 m B. 3.8 m C. 4.1 m D. 4.3 m C 综合素养训练 4. [新趋势跨学科中考·扬州]物理课上学过小孔成像的原 理，它是一种利用光沿直线传播的特性实现图像投影的方法. 如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB=36 cm， A′B′=24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm， 则小孔O到A′B′的距离为_____cm. 20 综合素养训练 5. [母题 教材P39 例]“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语. 现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离OE为80 cm，眼睛到目标的距离OF为200 m，若 射击时，由于抖动导致目标偏 离了25 cm，射击到点D处，已 知AB∥FD，则视线偏离准星 (即BE长)______ mm. 1 综合素养训练 6. [新考向数学文化中考·江西]《 周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法“. 矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)“. 偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度. 如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与 BC相交于点D. 测得AB=40 cm， BD=20 cm，AQ=12 m，则树高 PQ=_____m. 6 综合素养训练 7. [中考·上海]《九章算术》中记载了一种测量井深的方 法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与 井口的直径AB交于点E，如果测得AB= 1.6 m，BD=1 m，BE=0.2 m，那么AC为 _______m． 7 综合素养训练 8. [母题 教材P40 习题T4]在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1 m的竹竿(竹竿垂直于地面)的影长为0.8 m，树的影子除落在地面上 外，还有一部分落在教学楼的第一级台 阶上(如图)，落在地面上的影长为4.8 m， 一级台阶高为0.25 m，落在第一级台阶 上的影子长为0.2 m. 求树的高度. 综合素养训练 解：如图，设AB为树的高度，EF为树影在第一级台阶上的影长，BC为树影在地面部分上的长，EC的长为台阶高，连接AF，过点C作CG∥AF交AB于点G，延长CE交AF于点D， 则BC=4.8 m， CE=0.25 m，EF=0.2 m. 综合素养训练 由题意得=10.8，解得DE=0.25 m， 则CD=0.25+0.25=0.5(m).因为AG∥CD，AD∥CG， 所以四边形AGCD是平行四边形.所以AG=CD=0.5 m. 由题意得=，解得BG=6 m. 所以AB=AG+BG=0.5+6=6.5(m). 答：树的高度为6.5 m. 综合素养训练 9. [期末·昭阳北塔区]如图，小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A，第二次他把镜子放在点C′处，人在点F′处正好在镜中看到树尖A(点B，C，F，C ′，F ′在同一直线上). 已知小明眼睛距地面1.6 m(EF=E ′F ′ =1.6 m)，量得CC′=7 m，CF=2 m， C′F′=3 m，求这棵古松树AB的高. 综合素养训练 解：由题意知∠ACB=∠ECF，∠AC′B=∠E′C′F′. 因为∠ABC=∠EFC=∠E′F′C′=90°， 所以△BAC∽△FEC，△AC′B∽△E′C′F′. 所以=，=.设AB=x m，BC=y m， 则解得 答：这棵古松树AB的高为11.2 m. 综合素养训练 解：在Rt△DEF中，DF＝0.5 m，EF＝0.3 m， 所以DE＝＝0.4(m)． 由题意易知∠DEF＝∠DCB＝90°. 又因为∠EDF＝∠CDB，所以△DEF∽△DCB. 所以＝.即＝，所以BC＝7.5 m. 所以AB＝AC＋BC＝1.5＋7.5＝9(m)． 答：树高AB是9 m. $