山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高二数学试题

2025－2026学年度第二学期质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用铅笔按《填涂样例》正确填图，非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用铅笔作答，字体工整、笔迹清洗． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A．1 B．2 C．4 D．2或4 3．已知随机变量，且，则 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 4．若为实数，则“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数则 A． B． C． D． 6．已知离散型随机变量的分布列为，其中，，，，则 A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是 A． B． C． D． 8．如图，从点出发的三条线段，，的中点分别为，，．将数字，，，，，，分别标在上述个点的位置上，使，，每条线段上的三个数字之和相等，则不同的标记方法共有 A．36种 B．48种 C．96种 D．144种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．在6道不同试题中有4道选择题、2道填空题，每次从中随机抽出1道，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到选择题”，“第2次抽到填空题”，则 A． B． C． D． 10．已知，则 A．当时，的展开式中存在常数项 B．当时，的展开式中各项系数和为 C．当时，的展开式中的系数为 D．当，时，能被15整除 11．已知函数是定义域为的奇函数，为奇函数，当时，，则 A． B． C．当时，函数共有9个零点 D．不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知离散型随机变量，且，，则________． 13．2026年美加墨世界杯正在举行，某班级对“学生性别和关注世界杯”是否有关做了一次调查，将所得数据整理如下： 性别 世界杯 合计 关注 不关注 女生 男生 合计 根据小概率值的独立性检验，推断出“学生性别和关注世界杯”有关，则被调查的女生中关注世界杯的最少为人________． （附参考数据： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 参考公式：，） 14．已知函数的两个零点为，，且满足．若的最大值不小于64，则实数的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）当时，若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若，，，求的最小值． 16．（15分） 已知幂函数的定义域和值域相同，是的导函数． （1）求函数的解析式； （2）若函数，讨论的单调性． 17．（15分） 甲、乙两人分别从，，，，中取2个数字，其中．设随机变量表示两人取到相同数字的个数． （1）若，求的分布列和期望； （2）设事件“甲乙至少有一人取到数字1”，事件“甲、乙两人取到的2个数字均相同”，若，求的值． 18．(17分) 某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 （1）请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值．（精确到0.01） （2）通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令． （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ （3）为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好． 附：，，，，，，，模型①： 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为 19．(17分) 已知函数． （1）当时，证明：； （2）若函数有三个极值点，，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）试判断过点可以作曲线的几条切线？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择短 1.B2.D3.C4.B5.D6.C7.A8.D 二、多项选择題 9.ACD 10.BCD 11.AC 三、填空题 12号13.614号 四、解答題 15.解：（1)当a=0时，一3x十1八0，得2<号，不符合题意，…1分 当a0时，>0，即>0 △<0'1(a-3)-4a<0' ……4分 解得1<a<9, 综上，实数a的取值范图为(1,9)… 6分 (2)由f(1)=一1，得2a十b=2,… …7分 所以2a十b=a十a十b=2, 因为心0,6>0，所以日+后年6-号a+a+创c哈+a车3） =合1+4+6+≥5+20西)- a 2 …12分 a 当且仅当a=6=号时等号成立，所以启十。千6的最小值为号 …13分 16.解：(1)由幂函数的定义可知m2一m十1=1，所以m=0或m=1.…3分 当m=0时，f(x)=x2,此时函数定义蚊为R,值城为[0，十o),不合题意； …4分 当m=1时，f(x)=x,此时函数定义域和值域均为R,符合题意. …5分 所以，函数f(x)的解析式为f(x)=x以.…6分 (2)由(1)可知，f(x)=32z2…7分 所以g(x)=2x2+3(a-1)x8-6ax 所以g(x)=6x2十6(a-1)x-6a=6(x-1)(x十a)…9分 当一a<1即a>-1时， 令g(x)>0,得x<-a或x>1,令g(x)<0得-a<x<1,…11分 当-Q=1即a=一1时，g(x)≥0恒成立，…12分 高二数学试题参考答案第1页（共4页) 当-a>1即a<-1时， 令g(x)>0,得x<1或x>-a令g'(x)<0得1<x<-a;…14分 综上所述，当a<-1时，函数g(x)在(-o,l)和(-a,十oo)上单调递增，在(1，一a)上单 调递成： 当a=一1时，函数g(x)在R上单调递增， 当a>一1时，函数g(x)在（一∞，一a)和(1，十o)上单讯递增，在（一a,1)上单拥递湖。… …15分 -nm CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.解：(1)殖机变量X的可能取值有0,1,2，…1分 P(X=0)=g·S=3 Cg·-10' …3分 P(x=1)=G:9·CG=6=3 C·C8105' …5分 px-2-8:8-0 …7分 所以随机变量X的分布列为 0 1 2 P 品 吾 所以B0=0X品+1X号+2x品-号 ……8分 (2)由题意P④-C=a-2】 C 2, 所以P(A)=1-PA=1-a=2Y-4n-2, n n ……………………10分 又PAB)=总-D 4 ……………12分 4 所以P(BlA=PAR-(a-更1 PCA)4n-立=(a-1)=9, …14分 解得n=4 …15分 18.解：1)依题意，2=号-113.25， 6g1-5s89-8x号x1以.2 =-208≈-4.95 …2分 26-822 204-8×(号)2 42 因为8=-6i,所以，a=13.25-(-4.95)×号≈135.53 所以，经验回归方程分=一4.95十135.53.…4分 所以，当=5时，分=一4.95×5+135.53=110.78，而由题意，t=5时，y=107 高二数学试题参考答案第2页（共4页） 所以&=107-110.78=-3.78. … ……6分 (2)()依据参考数据：z=1.33,y=113.25, 所以2=y+20.4x=113.25+20.4X1.33≈140.4. 所以，非线性经脸回归方程为：=一20.4l十140.4.…8分 2(- ()依题意，R=1 - =1-盟各0.M<0.9,所以<，所以模型② 的拟合效果比模型①的报合效果好.（注，R的估计值能与比大小即可给分）… …11分 (3)依题意和(2)的运算结果可知，估算优化时效需采用模型②. 所以，aw(d)=120-（-20.41n+140.42_20.41n4-1) ……12分 t 所以，'()=20.4(2-ln2 由a'()>0得0<<e,由m'()<0得>e 三 < CS扫描全能王 3亿人都在用的扫猫ApP 所以，函数au(t)的单调递增区间为(0，e3),单调递减区间为(e,十c∞)…14分 由7<c<8,且am(7)=20.4血，1≈20.4X0.136,am(8)=20.4n8-≈20.4X0.135 8 所以u(7)>m(8)… …16分 所以，当t=7时，ω()最大，即大约经过连续参与7天后优化时效最好.…17分 19.解：1)由f)=x-lnx-盖，得(x)=(x-1D(2+3),>0,…1分 令(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上为减函数， (x)>0,得x>1,所以f(x)在(1，十o∞)上为增函数，…3分 所以当x=1时，fx)有最小值f1)=1-,即f(x)≥1-是 所以f(x)十>1… 4分 2ar田)=1-2+“2=a2号-， 5分 e* e 令f()=0,得x=1或g-a=0,… 6分 设g(a)-号-@，则g(x)至少有2个不为1的零点， 因为g(z)=e(x-12 22 令g(x)<0,得0<x<1,所以g(x)在(0,1)上单调递诚， g(x)>0,得x>1,所以g(x)在(1，十o)上单调递增， 所以当x=1时，g(x)有最小值g(1)=e一a.… 8分 又x→0时，g(x)+十∞，x→十∞时，g(x)+十∞， 高二数学试題参考答案第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的日偏APp 所以只孺e一a<0即可，即a>e,所以，实数a的取值范田为(e,十∞)…9分 (由(D可知0<<1，=1，函>1，且西是方程-a=0的两个根。 设切点(fa),则水）=w一1h十二， =f✉)-是(-o）-）-a-1, To .To 整理可得，ax名=eoln(ao),… …11分 等价于空=，0。 inLera) ioIn(aro)In(azo) 由(Dh()=兰在(0,1D上单调递诚，在1，十o上单调道增。 当≤1，lh(a,)≤1时，=lh(ao)时，即里=a,所以o=, Zo 由2=a,得-ln=lna, 所以k=)=卫(-)=0，f(西)=五-1hn西+爱=ha+1, en 所以此时切线方程为y=lna十1，……l2分 当o≥1，ln(a)≥1时，o=ln(ax),即坠=a,所以=， -a,得-ln=la, 所以&=f）=卫(2-0=0，fa)=,-l+学=lha+1, e 所以此时切线方程为y=na十1，… …13分 当x<1<n(aa)时，令p(x)=h(x)-hln(ax),x∈(0,1)， 则p)=e)-a(a》·子， 因为h'(x)<0,h'(1n(az)>0,所以p'(x)<0,所以(x)在(0,1)上单调递诚， 又p(1)=h(1)-h(1na),p(g)=h(g)-h(1), 由lna>1,9<1,且(x)在(1，十o)上单调递增，得h(lna)>h(1),h(号)>h(1), 即m(1)<0,p(g)>0, 所以存在唯一的实数z∈(。，1)，使得h(x)=h(l(ax), 此时x0=石(，符合题意，…16分 综上，过点(0,1na十1)可以作曲线y=f(x)的2条切线.…17分 高二数学试题参考答案第4页（共4页) 三 < CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP