湖南湘西州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 聚焦数学眼光、思维与语言，通过分层问题设计考查函数、几何、概率等核心内容，适配高中期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数性质、立体几何初步|基础题占比60%，融入科技情境素材| |填空题|4/20|数列求和、不等式应用|设置梯度，兼顾抽象能力与量感| |解答题|6/70|概率统计、函数综合、立体几何|概率题结合社会热点数据，考查数据意识；函数题设开放探究问，发展创新意识|

2026年上学期高一年级期末考试 数学参考答案 一、选择题：1.B 2.C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】A 二、多项选择题： 9.【答案】BD 10.【答案】ABD 11.【答案】ACD 三、填空题： 1 12.【答案】4 13.【答案】V2+1 14. 【答案】1V3 四、解答题： 15.解：【1】由题： i-5（2ma+}r sin a+=0 所以 -4+sma+=5 解得 6 3_310 所以ā=(1,0)，万=(3-)，所以， sa.6)=闷1xio10 ab 如a)ma+引引 -o2a+-2sma+-12(-1=号 16.解：【1】由题， 2×(0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13)=1,解得：a=0.10, 由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×(0.01+0.03)×100%=8%， 18+20-19 【2】由频率分布直方图可得，众数2 因为2×(0.08+0.13)=0.42<0.52×(0.08+0.13+0.1)=0.62>0.5 故中位数在[20,22），设为m,则” m=20+0.5-042×(2-20)=20.8 2×0.1 【3】设样本平均数为x，则由频率分布直方图可得： x=2×(17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64 T= 604+402 60×22.4+404=21.64 又 100 ，即 100 解得：4=20.5 17.解【1】连接AC,交BD于点O,连接OF, 因底面ABCD是边长为2的菱形，则点O是AC的中点，又因F为线段PC的中点，则有PAIIOF, PA￠平面BDF,OFC平面BDF,可得PAIW平面BDF. B 【2】因△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，则有PE⊥AD,又AD=AB,∠BAD=6O°，即 △ADB为正三角形，且BE⊥AD,因BE∩PE=E,BE,PEc平面BPE,则AD⊥平面BPE, 又因BCIIAD,故得BC⊥平面BPE. FM-ZPD-1 【3】如图，取DC的中点M,连接FM,BM,CE,则FMIIPD,且 - B 故∠MFB即PD与BF所成角或其补角 因DC=2,DE=1,∠ADC=120° 由余弦定理，CE2=1P+22-2×1×2c0s120°=7. 又因平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊥AD,PEc平面PAD, PE1平面4BCD.又CEC平面4BCD则PE⊥CE又E-)+23 故PC=V+列=o 由(2)已得BC⊥平面PEB,因PBC平面PEB,故BC⊥PB,则 =1PC-10 12+ √10 -3 2 cOS∠BFM= 10 >0 M=5×2=5 ,则在△MFB中，由余弦定理， 2x1x V10 20 又 10 即异面直线PD与BF所成角的余弦值为20 18.解：【1】因为A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， -片-引 -a-1}18 故 【2】设A、B两队打平的概率为Po 记事件C:第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜. 记事件D:第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则C与D为互斥事件， =PCUD)-PC)+Po)号x1-2》t1-}分1-号 【3】设丁获胜的概率为p 若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，则 p=p+P:=18 7 P=- 同理，若A队按丙、乙、甲的出场顺序与B队进行比赛，则18. 若A队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与B队进行比赛， 111.112.1125 则P2有*行+2*3*号+2*3*行i8】 +X二X+一X二X 若A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛， 1.22,121.12184 则233233233189 475 因为91818，所以A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利. 19.解：【1】在△ABC中， ∠ABC=T 2,AC=2,AB=1,所以 3 ∠PAC=T-日∠ABP=T-0∠APC=2T∠APB=T 所 3 2 3 2 AP=4C=45 sin .2π3 45 sin- AP=- 在△APC中， 3 ,所以 AP S、AB -=1 h-0 sin sin 在△APB中， 2 ,所以AP=cos0, 4 -sin0=cos0 所以3 tano=3 ，故 4 【2】SAARC=SAAPB+S△MPc+S△cPB A-sin0+C.sin0+PC.C-sin0 S-1(PA-AB+PB-BC+PC-AC)PA.AB+PB.BC+PC-AC=45, 因为6，所以 4 ①S=V3,所以PAAB+PB.BC+PC·AC=4V5 在△APB中， PB2=AP2+AB2-2AP.AB.cos 6, 在△CPB中， PC2=BP2+CB2-2BP.CB.cos 6 在△APC中， PA=CP2+AC2-2CP.AC.cos 6， 三式相加得PA+PC2+PB2 =P4+PC2+PB+AB+CB+AC2-2cosT(PA.AB+PB.BC+PC.AC) 6 整理得：Q++c2=AB+CB2+AC2=V5(PAAB+PB.BC+PC4C)=5x4V5=12 a2+c2-b2 、2 acsin B=Ia c-co 2ac ②又 又由O知Q2+b2+c2=V5(PAAB+PB.BC+PCAC)=4V5S a2+b2+c2=23ac,1- a2+c2-b22 2ac 所以 故(a+b+c2=12ac2-3(a2-b2+c2y, 整理得：a+b+c4-a2b2-a2c2-bc2=0, 即(a2-b+(a2-c2ヅ+(c2-By=0 所以a2=b=c2,即a=b=c, csin2x2xsin S=1 2 2026年上学期高一年级期末试卷 数学 本试卷共6页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．书写在本试卷上无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（i为虚数单位）的虚部为（ ） A． B．5 C． D． 2．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，向量等于（ ） A． B． C． D． 4．函数的奇偶性（ ） A．仅取决于的值 B．与的值无关而与的值有关 C．与和的值有关而与A的值无关 D．与A、、的值都有关 5．抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 6．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）．将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（ ） A．4 B．5 C．6 D．4.5 7．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的最小值为（ ） A． B．2 C．1 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项中，正确的是（ ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，则它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则A，B，C三点共线 10．有一组样本数据，，…，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（ ） A． B． C． D． 11．如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A．当F为线段中点时，平面 B． C．不存在点F，使平面 D．当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．________； 13．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若复数，且复数z满足，则的最大值为________； 14．已知非零向量，的夹角为，．对于任意的，恒成立，则________，的最小值为________．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知，． （1）若，求与夹角的余弦值； （2）若，求的值． 16．（15分）（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比； （2）估计该公司员工的值的众数，中位数； （3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值． 18．（17分）A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手．比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，各盘比赛相互独立，且各盘比赛没有平局。丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． （1）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求； （2）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A、B两队打平的概率； （3）通过计算判断A队怎样安排出场顺序对丁最有利． 19．（17分）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： （1）若，，，求； （2）已知， ①若，求的值； ②若，求S． 学科网（北京）股份有限公司 $