精品解析：湖南衡阳市衡东县第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2026年衡东县第一中学高一下期末考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查方法的选择中，最合适的是（ ） A. 了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C. 了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D. 某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 7. 如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设随机事件，满足，，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（ ） A. 极差为4 B. 中位数为6.5 C. 平均数为7 D. 方差为3.5 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若向量满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则___________． 13. 已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 14. 若事件和事件相互独立，且，，则___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且； （1）求与的夹角； （2）若，求实数k的值； 16. 某地区有小学所，初中所，高中所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查． （1）求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量； （2）若从被抽到的所学校中随机抽取所学校做进一步数据分析，求抽取的所学校均为小学的概率． 17. 已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． （1）求其体积； （2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 19. 为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． （1）求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； （2）求该样本数据的中位数； （3）求该样本数据的平均数； （4）若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年衡东县第一中学高一下期末考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，即， 又， 所以. 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】两个向量若不共线即可作为一组基底，所以找出不共线的向量组即可. 【详解】对于A，因为，，所以，则，共线，故A错误； 对于B，因为，，所以，则，共线，故B错误； 对于C，因为，，所以，则，共线，故C错误； 对于D，因为，，所以，则，不共线，故D正确. 4. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由复数在复平面内对应的点为，则. 5. 已知圆台的上、下底面的半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的结构特征，利用上下底面半径差、高与母线构成直角三角形的性质，结合勾股定理计算母线长. 【详解】根据圆台的结构性质：圆台的母线长、高、下底面半径与上底面半径的差值构成直角三角形的三边，其中母线为斜边， 由题意可知，，，，故上下底面半径的差值为， 根据勾股定理可得母线长：，故C正确. 6. 下列调查方法的选择中，最合适的是（ ） A. 了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查 B. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查 C. 了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，采用全面调查 D. 某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，采用全面调查 【答案】A 【解析】 【详解】A选项，了解北京每天的流动人口数，调查范围广，应采用抽样调查，故A正确； B选项，旅客上飞机前的安检，涉及到安全，事关重大，应采用全面调查，故B错误； C选项，了解北京居民“2026年十一假期”期间的出行方式，调查范围广，应采用抽样调查，故C错误； D选项，某火箭军部队要了解某批反舰导弹的性能，由于调查具有破坏性，应采用抽样调查，故D错误． 7. 如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图与原图之间的面积关系求解即可. 【详解】由直观图可得， 则. 8. 设随机事件，满足，，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【详解】可知. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据6，8，5，6，7，10，则这组数据的（ ） A. 极差为4 B. 中位数为6.5 C. 平均数为7 D. 方差为3.5 【答案】BC 【解析】 【分析】根据样本数据的数字特征求解即可. 【详解】有一组样本数据6，8，5，6，7，10，先对数据从小到大排列可得5,6,6,7,8,10，那么 极差为，A错误； 中位数为，B正确； 平均数为：,C正确； 方差为：，D错误. 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 11. 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若向量满足，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D. 【详解】对于A，，，则.所以A正确； 对于B，，则与的夹角为.所以B正确； 对于C，由B可知，，则在方向上的投影向量为.所以C正确； 对于D，，若，也满足，但.所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】． 13. 已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题设，数据平均值为， 则方差为. 14. 若事件和事件相互独立，且，，则___. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据相互独立事件的概率及和事件的概率公式可得. 【详解】因为事件相互独立，所以，且， 所以.​ 根据和事件的概率公式. 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且； （1）求与的夹角； （2）若，求实数k的值； 【答案】（1）## （2）或 【解析】 【分析】（1）计算目标向量坐标后用向量夹角公式求夹角； （2）利用向量模长公式列方程求解. 【小问1详解】 由向量垂直则两向量点积为0，即， 解得，即，因此，， 代入向量夹角公式得， 又，因此（或）； 【小问2详解】 依题意， 由两边平方得：， ， ，即， 解得或. 16. 某地区有小学所，初中所，高中所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取所学校对学生进行视力调查． （1）求应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量； （2）若从被抽到的所学校中随机抽取所学校做进一步数据分析，求抽取的所学校均为小学的概率． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）直接抽样比计算各层所抽取的样本数可得； （2）直接用古典概型概率公式计算可得. 【小问1详解】 因为总样本空间为，抽取个样本，抽样比为. 所以从小学抽取所；从初中抽取所；从高中抽取所； 因此应从小学、初中、高中分别抽取的学校数量为，，. 【小问2详解】 小学的所学校编号为，初中的所学校编号为，高中的所学校编号为， 从中随机抽取所学校，基本事件有：，共种， 其中抽取的所学校均为小学的是：，共种， 所以抽取的所学校均为小学的概率为. 17. 已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为． （1）求其体积； （2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积． 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】（1）先求出圆台的高，再根据体积公式计算即可； （2）由球的体积公式求得，再由表面积公式求解即可. 【小问1详解】 设圆台高为， 则． 其体积为． 【小问2详解】 设球的半径为， 由题意， 即， 解得 则其表面积为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； 【答案】（1）证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． （2）证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 19. 为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示． （1）求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率； （2）求该样本数据的中位数； （3）求该样本数据的平均数； （4）若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数． 【答案】（1） （2） （3）50 （4） 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出，进而求出频率； （2）利用频率分布直方图估计中位数； （3）利用频率分布直方图估计平均数； （4）利用频率及频数的关系求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得， 所以该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率为. 【小问2详解】 由（1）知该样本数据的中位数，则， 解得，所以该样本数据的中位数为. 【小问3详解】 平均数. 【小问4详解】 由频率分布直方图知，该企业管理层中35岁以下的频率约为， 所以该企业管理层中35岁以下的人数约为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $