精品解析：河北保定市曲阳县2025-2026学年下学期七年级数学期末阶段性教学质量检测（A卷）

七年级数学学科阶段性教学质量检测（A卷） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 若，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，不等式两边同加，得，A一定成立． 对于B选项，，不等式两边同加，不等号方向不变，得，B一定成立． 对于C选项，当，时，满足，但，，此时，C不一定成立． 对于D选项，，不等式两边同除以，不等号方向改变，得，D一定成立． 2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项中，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，A错误； B选项中，变形是整式乘法运算，是从整式乘积得到多项式，不是因式分解，B错误； C选项中，将多项式变形为整式的平方，属于整式乘积的形式，符合因式分解的定义，C正确； D选项中，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，D错误． 3. 木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根木条组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？（ ） A. 长为的木条 B. 长为的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边解答即可． 【详解】解：三角形的任意两边之和大于第三边， 两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的木条分为两截． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系在实际中的应用，熟练掌握三角形的三边关系是关键． 4. 某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 【详解】解：由题意，得． 故选：D． 5. 如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 6. 是三个连续的正整数（），以为边长作正方形，分别以为长和宽作长方形，那么（ ） A. 长方形面积大 B. 正方形面积大 C. 一样大 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】设中间的数为b=x,则a=x-1,c=x+1,根据求出正方形、长方形的面积即可比较. 【详解】设中间的数为b=x,则a=x-1,c=x+1, ∴为边长作正方形的面积为x2，以为长和宽作长方形的面积为(x-1)(x+1)= x2-1, ∴正方形面积大 故选B. 【点睛】此题主要考查乘法公式的应用，解题的关键是熟知平方差公式的运用. 7. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得提取即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式分解因式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 8. 已知关于x的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 解①得，， 由数轴可知，， ∴不等式组的解集为． 9. 对于任意整数n，多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能（　　） A. 被20整除 B. 被7整除 C. 被21整除 D. 被n+4整除 【答案】A 【解析】 【分析】观察多项式，是平方差的形式，则可用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式. 【详解】由知： 原式= 则由可知，多项式可被20和（n+2）整除 故答案为A 【点睛】本题考查了多项式运用平方差公式进行因式分解后的实际应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式. 10. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义及平分三角形面积判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项错误，符合题意； 故选：C． 11. 某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售，春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价元，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键． 12. 三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（我们规定）．①的度数为；②是“灵动三角形”；③若，则是“灵动三角形”；④当为“灵动三角形”时，为或．结论正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，正确分类，灵活计算是解题的关键． 根据定义，逐一计算判定即可． 【详解】∵，， ∴， 故①正确； ∵， ∴是“灵动三角形”， 故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴是“灵动三角形”， 故③正确； ∵为“灵动三角形”， ， ∴或或或或或， ∵， ∴，舍去； 当时， ∴， ∴； 当时， 根据题意，得， 解得， 故， 当时， 根据题意，得， 解得， ∴不符合题意； 当时， 根据题意得： ∴ 当时， 根据题意得： ∴，不符合题意； 综上所述，为或或 故④错误； 综上所述正确的有：①②③； 故选：C． 二、填空题（4个小题，每题3分，共12分） 13. 我们在公路上常看到如图的提示牌，若设此路段通行车辆的高度为，则可以用不等式________来表示图中不等量关系． 【答案】 【解析】 【详解】解：“限高4.5米”表示通行车辆的高度要小于等于4.5米， 所以用不等式表示为． 14. 给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可． 【详解】， 这个单项式为； ， 这个单项式为． 故答案为：或． 15. (容斥原理)我校六年级一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等奖的有8人次，二等奖的有16人次；获得语文一等奖的有3人次，二等奖的有13人次；获得英语一等奖的有7人次，二等奖的有21人次．如果只获得一个学科奖项的同学有50人，那么三个学科都获奖的学生最多有_________人． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设三个学科都获奖的同学有人，根据只获得一个学科奖项的同学有50人，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设三个学科都获奖的同学有人，由题意，得： ， 解得：， ∴三个学科都获奖的学生最多有6人； 故答案为：6． 16. 如图，是的角平分线，是的高，，，为边上一点．当为直角三角形时，的度数为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图，当时， 同理可得， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括提取公因式法、平方差公式和完全平方公式的应用．解题的关键是先提取公因式，再观察剩余多项式的特征，选择合适的公式进行进一步分解． （1）先提取公因式a，利用平方差公式分解 （2）先提取公因式y，利用完全平方公式分解． 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 解答下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，化简求值等知识． （1）根据单项式乘单项式计算即可． （2）先根据多项式乘多项式，完全平方公式展开式子，再合并合并同类项，最后代入数字计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时， 原式． 19. 解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示如下： 20. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 【答案】（1）； （2）过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据十位上的数字为，且，则个位上的数字为，再根据两位数的表示方法列出代数式即可得出答案； （2）先计算这两个数的平方差，再进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且， ∴， ∴原来的两位数为：， 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， 则新的两位数为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 根据题意，得： ， ∵是整数， ∴能被整除，即【发现】中的结论正确． 【点睛】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，平方差公式，列代数式．会用代数式表示出新数和原数是解题的关键． 21. 如图，在中，，，平分，于点D，于点F，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出的度数，由，可得出，利用三角形内角和定理，可求出的度数，将其代入中，可求出的度数，由，可得出，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ． ， ， ， ． ， ， ． 22. 对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． （1）若，求常数k的值； （2）若，且，求xy的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）用新定义把式子化简，再利用完全平方式的系数特征列式计算即可； （1）用新定义把式子化简，再利将整体代入，即可整体求出xy的值． 【小问1详解】 解： 所以，即． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查了新定义运算法则、完全平方公式等知识点，理解新定义及熟练掌握完全平方公式是解题关键． 23. 某企业为实现碳中和目标，计划投入资金用于技术升级与植树造林．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放量3吨，植树造林每投入1万元可吸收碳排放量2吨，且两种措施的单次投入金额均为整数万元． （1）某企业第一次总投入10万元，通过两种措施共实现碳排放量净减少28吨（减少量吸收量净减少量），求该企业此次技术升级和植树造林分别投入了多少万元？ （2）某企业计划第二次投入资金，此次总投入不超过42万元，要求技术升级投入资金不低于植树造林投入资金的一半，技术升级减少的碳排放量要比植树造林吸收的碳排放量少8吨，则有哪几种投资方案？ 【答案】（1）技术升级投入8万元，植树造林投入2万元 （2）有4种方案，分别为①技术升级投入8万元，植树造林投入16万元；②技术升级投入10万元，植树造林投入19万元；③技术升级投入12万元，植树造林投入22万元；④技术升级投入14万元，植树造林投入25万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程与不等式组是解此题的关键． （1）设技术升级投入万元，植树造林投入万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设技术升级投入万元，则植树造林投入万元，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【小问1详解】 解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元． 由题意可得：， 解得； 答：技术升级投入8万元，植树造林投入2万元． 【小问2详解】 解：设技术升级投入万元，则植树造林投入万元． 由题意可得：， 解得， 因为，是整数 所以，，，，，，，． 故共有种方案：①技术升级投入8万元，植树造林投入16万元；②技术升级投入10万元，植树造林投入19万元；③技术升级投入12万元，植树造林投入22万元；④技术升级投入14万元，植树造林投入25万元． 24. 如图①，在中，，，分别是边，上的点（点不与点，重合，点不与点，重合），是平面内一动点（点不与点，在同一直线上）．设，，． 【初步探究】 （1）若点在边上运动（不与，重合），如图①所示，则________；（用含，的式子表示） 【类比思考】 （2）如图②，若点在的外部，则，，之间有何关系？写出结论，并说明理由； 【拓展探究】 （3）当点在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的，，之间的关系式． 【答案】（1） （2），理由见解析； （3）图见解析，或 【解析】 【分析】（1）根据，，四边形的内角和为，即可表示出∠1，∠2和∠3之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （3）画出符合条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 即； 【小问2详解】 解：结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学科阶段性教学质量检测（A卷） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 若，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根木条组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？（ ） A. 长为的木条 B. 长为的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不行 4. 某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 是三个连续的正整数（），以为边长作正方形，分别以为长和宽作长方形，那么（ ） A. 长方形面积大 B. 正方形面积大 C. 一样大 D. 不能确定 7. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 对于任意整数n，多项式（n+7）2-（n-3）2的值都能（　　） A. 被20整除 B. 被7整除 C. 被21整除 D. 被n+4整除 10. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售，春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价元，则可列不等式为（ ） A. B. C. D. 12. 三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（我们规定）．①的度数为；②是“灵动三角形”；③若，则是“灵动三角形”；④当为“灵动三角形”时，为或．结论正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（4个小题，每题3分，共12分） 13. 我们在公路上常看到如图的提示牌，若设此路段通行车辆的高度为，则可以用不等式________来表示图中不等量关系． 14. 给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为______． 15. (容斥原理)我校六年级一班组织了一次数学、语文、英语竞赛，其中获得数学一等奖的有8人次，二等奖的有16人次；获得语文一等奖的有3人次，二等奖的有13人次；获得英语一等奖的有7人次，二等奖的有21人次．如果只获得一个学科奖项的同学有50人，那么三个学科都获奖的学生最多有_________人． 16. 如图，是的角平分线，是的高，，，为边上一点．当为直角三角形时，的度数为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 解答下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 20. 【发现】一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）用含的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________； （2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确． 21. 如图，在中，，，平分，于点D，于点F，求的度数． 22. 对于任意四个有理数a，b，c，d可以组成两个有理数对与．我们规定：，例如：． （1）若，求常数k的值； （2）若，且，求xy的值． 23. 某企业为实现碳中和目标，计划投入资金用于技术升级与植树造林．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放量3吨，植树造林每投入1万元可吸收碳排放量2吨，且两种措施的单次投入金额均为整数万元． （1）某企业第一次总投入10万元，通过两种措施共实现碳排放量净减少28吨（减少量吸收量净减少量），求该企业此次技术升级和植树造林分别投入了多少万元？ （2）某企业计划第二次投入资金，此次总投入不超过42万元，要求技术升级投入资金不低于植树造林投入资金的一半，技术升级减少的碳排放量要比植树造林吸收的碳排放量少8吨，则有哪几种投资方案？ 24. 如图①，在中，，，分别是边，上的点（点不与点，重合，点不与点，重合），是平面内一动点（点不与点，在同一直线上）．设，，． 【初步探究】 （1）若点在边上运动（不与，重合），如图①所示，则________；（用含，的式子表示） 【类比思考】 （2）如图②，若点在的外部，则，，之间有何关系？写出结论，并说明理由； 【拓展探究】 （3）当点在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的，，之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $