精品解析：河北省石家庄市辛集市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷

辛集市2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法，结合共轭复数，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，所以. 故选：A. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量， 若，可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用梯形的面积公式求得直观图的面积，再利用直观图与原图面积的比值即可得解. 【详解】根据题意，直观图直角梯形中，， 则直观图的面积， 故原图的面积. 故选：A. 4. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故①不正确； 若，，则，故②正确； 若，，则，故③正确； 若，，则或，故④不正确； 正确命题的个数是. 故选：. 5. 一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先判断分位数的位置，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】因为， 所以该组数据的分位数是第4、第5位数的平均数， 所以，解得， 故选：C. 6. 在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论． 【详解】由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得 , 因为G为的重心，所以. 又M满足，即. 所以 . 故选：D. 7. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可 【详解】因为圆柱的高为，底面直径，底面直径，且两圆台的高都为， 所以该瓷器的容积为 ， 故选：B 8. 如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】圆锥轴截面如图所示， 设圆柱的底面半径为，，由可知，，即， 所以， 故被挖去的圆柱的侧面积为， 当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于非零复数，，下列结论正确的是（ ） A. 若和互为共轭复数，则为实数 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算即可判断A；根据纯虚数的定义结合复数的模和乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；先求出复数在复平面内对应的点的轨迹方程，进而可判断D. 【详解】设且不同时为， 对于A，若和互为共轭复数，则， 故为实数，故A正确； 对于B，若为纯虚数，则， ，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，设且不同时为， 则， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 原点到圆心的距离为， 所以点到原点的距离的最大值为， 即的最大值为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知向量满足且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用向量的垂直，模长，夹角相关公式，结合数量积定义可解. 【详解】因为，所以； 因为，所以，所以，故C错误，D正确； 因为，所以，A正确； 因为，所以，B错误； 故选：AD. 11. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，正弦定理解三角形判断解的个数；选项B，已知条件结合正弦定理化简得，可判断三角形形状；选项C，若为锐角三角形，有，可得；选项D，由已知判断的形状，利用投影向量的定义计算结果. 【详解】选项A，中，若，，， 则由正弦定理，可得， 又，所以或，此时有两解， 故A正确； 选项B，中，若，则由正弦定理可得， 所以，即， 又，所以或， 即或，为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 选项C，若为锐角三角形，则，即， 因为在上为减函数，所以，故C正确； 选项D，中，，则O是BC的中点， 所以BC为圆O的直径， 则有，又，则为等边三角形， 有，，，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 【答案】3 【解析】 【分析】 设球的半径为cm，由球的体积等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径. 【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为cm，则： ，解得：， 故答案为：3 13. 为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若，则铁塔OT的高度为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，在中，利用余弦定理求解． 【详解】设铁塔OT的高为，则可得 在中，则，即 解得 故答案为：． 14. 如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，然后将圆锥的侧面展开，如图，则可知此蚂蚁爬行的最短路径长为，求出扇形的圆心角，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】设，利用扇形的面积公式得，解得， 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为， 沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示， 因为，所以，连接，则为最短距离， 由余弦定理得， 所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． （1）证明：A，B，C三点共线； （2）若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标． 【答案】（1） 因为，所以． 又因为有公共点点， 所以A，B，C三点共线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量运算得，即可证明三点共线； （2）设点P的坐标为，利用得到方程组，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点P的坐标为，则，， 因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以， 即，解得， 所以点P的坐标为． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 17. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，设与交于点，连接， 由题意可得，所以四边形为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以为的中位线，则． 因为平面平面，所以平面． （2）证明：因为，所以． 因为平面平面，所以． ，平面PAD，所以平面． 平面，所以． 因为为的中点，所以． ，平面PCD,所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，可证为的中位线，则，从而得证平面； （2）根据题意，可知平面，所以，又，从而得证平面； （3）由（2）得即为直线与平面所成的角，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得平面，所以即为直线与平面所成的角． 易得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为． 18. 某高校的人学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目答对与否相互独立. （1）求小明同学恰好答对1道题目的概率； （2）若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接计算小明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率相加即可； （2）分小明答对2道题目、3道题目、4道题目面试成功，依次计算概率，再相加即可. 【小问1详解】 设事件“小明同学恰好答对1道题目”， 所以. 【小问2详解】 设事件“小明同学面试成功”.若小明同学恰好答对2道题目面试成功，则必定答对了第3题和第4题， 则小明同学恰好答对2道题目面试成功的概率； 若小明同学恰好答对3道题目，则必定面试成功，则小明同学恰好答对3道题目面试成功的概率； 若小明同学答对4道题目，则必定面试成功，则答对4道题目面试成功的概率. 所以. 19. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【答案】（1），平均数为81 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合加权平均数运算求解； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为， 则， 所以综合评分的平均数为81. 【小问2详解】 由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辛集市2024-2025学年度第二学期期末教学质量监测 高一数学试卷 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图1所示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为）的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，底面直径，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于非零复数，，下列结论正确的是（ ） A. 若和互为共轭复数，则为实数 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. 已知向量满足且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若的外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是______. 13. 为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若，则铁塔OT的高度为_______米． 14. 如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是平面内两个不共线的向量，若，，． （1）证明：A，B，C三点共线； （2）若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形，求点P的坐标． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某高校的人学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目答对与否相互独立. （1）求小明同学恰好答对1道题目的概率； （2）若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率. 19. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $