精品解析：河北石家庄市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

石家庄市第一中学 2025—2026学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试题 命题人：王超男 审核人：邢欣蕊 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】根据复数的相关概念，得的虚部为1. 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 【答案】D 【解析】 【分析】确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解； 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人， 故选：D 3. 数据6，4，3，6，3，9，8，3，1，9，则关于这组数据下列说法正确的是（ ） A. 中位数为6 B. 85%分位数为8 C. 极差为2 D. 85%分位数为9 【答案】D 【解析】 【详解】首先将该组数据从小到大排序得：，共10个数据. 选项A：10个数据的中位数为排序后第5个和第6个数据的算术平均数，即，故A错误. 选项C：极差为数据最大值与最小值的差，即，故C错误. 选项B,D：计算85%分位数，由，不为整数，向上取整为9，即85%分位数为排序后第9个数据，故B错误，D正确. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 5. 已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，若，，，不一定；对于B，先由和得，再由结合面面垂直的判定定理即可得解；对于C，若，，，则与相交或或；对于D，若，，由面面垂直的性质得或. 【详解】对于A，若，，，则与相交或，故A错误； 对于B，若，，则，又，则，故B正确； 对于C，若，，，则与相交或或，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：B. 6. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】利用是否同时发生来判断互斥事件和对立事件，即可判断AB，利用古典概型来求相应事件的概率，然后利用独立事件概率乘法公式来判断是否独立，即可判断CD． 【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 7. 如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 8. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20% D. 丁险种最受参保人青睐 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可. 【详解】对A：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项C错误； 对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确. 故选：AD. 10. 已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角函数单调性、余弦定理变形、三角形多解的判定条件，逐一分析各选项的正误. 【详解】选项A：根据正弦定理（为外接圆半径），可得，. 若，两边同乘正数即可得，故A正确. 选项B：锐角中，，因此，即. 由于，且在上单调递增，因此，故B正确. 选项C：将不等式变形为，化简得，结合正弦定理得， 由余弦定理可知，仅说明角为锐角，无法判断是否为锐角，故C错误. 选项D：已知一边和其对角时，三角形有两解的条件为， 若，则无解. 若，只有一解. 若，只有一解. 所以，故D正确. 11. 半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（ ） A. 三点共线 B. C. 直线与平面所成角小于 D. 三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题易知两球有唯一公切线即可判断A选项，根据确定的平面与球相切，可得平面，，接着可得到外接圆半径为，利用正弦定理可求得到B选项，就是直线与平面所成角，得到正弦值比较即可判断C选项；由外接圆半径为及，可计算，再得到，然后利用体积公式可算体积. 【详解】 因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确； 设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切， 所以平面，，， 在，，则， ，故B错误； 因为平面，所以就是直线与平面所成角， ，故C正确； 又，所以， 又，所以为直角三角形， 则，， ，故D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用弦化切可求三角函数式的值. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线AO与DC1所成角的余弦值. 【详解】建立如图的坐标系，以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，DD1所在直线为竖轴．设正方体棱长为2. 则A（2，0，0），O（1，1，2），C1（0，2，2）， ，， 则异面直线AO与DC1所成角θ的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程可得，再将中边化为角后可用表示，最后利用对勾函数性质计算即可得解. 【详解】， ， 故， 由 ， 故， 又，故，即， 故有或， 若，由，则，即， 与为锐角三角形矛盾，故舍去； 则，由，则，即， 则 ， 由，为锐角三角形， 则，解得，故， 由对勾函数在上单调递增， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是虚数单位. （1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由其对应点的坐标列不等式求解； （2）也是方程的根，根据韦达定理先求得，再求得． 【小问1详解】 由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以， 解得，所以 【小问2详解】 因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以， 所以， 所以，所以. 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 18. 遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． （3）已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 【答案】（1），众数为，平均成绩为77.5. （2） （3）首场由比赛才能使获胜的概率最大． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式和众数的定义求解即可； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）需要分别计算与、与、与参加首场比赛时获胜的概率，再进行比较. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，， 解得． 初赛成绩的众数为， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为，平均成绩为77.5. 【小问2详解】 由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 【小问3详解】 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜，概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为 ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为； 所以最终获胜的概率为； 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 若首场比赛，则获胜有两种情况： ①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为， 因为， 所以首场由比赛才能使获胜的概率最大． 19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． （1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解； （2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可； （3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可. 【小问1详解】 在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即. 【小问2详解】 由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，， 在中，， 由等面积法可知，，， 而，. 【小问3详解】 设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，， 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学 2025—2026学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试题 命题人：王超男 审核人：邢欣蕊 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 3. 数据6，4，3，6，3，9，8，3，1，9，则关于这组数据下列说法正确的是（ ） A. 中位数为6 B. 85%分位数为8 C. 极差为2 D. 85%分位数为9 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件 7. 如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20% D. 丁险种最受参保人青睐 10. 已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（ ） A. 三点共线 B. C. 直线与平面所成角小于 D. 三棱锥的体积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，则____________. 13. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为_____ 14. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数是虚数单位. （1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值. 16. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若的周长为，且，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面． （2）求直线与面所成的角的正弦值． 18. 遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． （3）已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． （1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）求二面角的正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $