精品解析：河南省平顶山市郏县2025-2026学年下学期八年级数学期末考试试卷

2025～2026学年下学期期末学情检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分125分，其中试题120分，卷面5分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值是零，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 3. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 当n为自然数时，一定能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 7. 如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分） 11. 若，则__． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 13. 已知关于x的分式方程的增根是，则m的值为________． 14. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，且，，，那么图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，为等腰三角形，，，是边上的高，，动点、分别在边、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. 按要求完成下列计算： （1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （2）因式分解： 17. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的： （2）在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为________． 18. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； （2）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 19. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）尺规作图：过点作，垂足为，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； 20. 定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 21. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 22. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 23. 【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． （1）【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． （2）【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． （3）【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期期末学情检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分125分，其中试题120分，卷面5分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解题关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 分式的值是零，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 3. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4， ∵， ∴点B′的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键． 4. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 当n为自然数时，一定能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案． 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 7. 如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9. 如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，从而得到a＞0，b＜0，故①②正确；再由直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．可得方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；然后观察图象可得当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，可得不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，故④正确，即可求解． 【详解】解：根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴， ∴a＞0，b＜0，故①②正确； ∵直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2． ∴当x＝﹣2时，ax+2＝mx+b， ∴方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确； ∵ax﹣b＞mx﹣2， ∴ax+2＞mx+b， ∵当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方， ∴不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2， 即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．故④正确 ∴正确的结论为①②③④，共有4个． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 如图1，点是边上一定点，点是一动点，点从点出发，依次沿路线匀速运动，运动到点停止．设点运动路程为，线段的长为，且关于的函数图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点，则点的纵坐标的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点D分别作于E，于F，根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标表示点D到的距离，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理逆定理可得，在中，利用勾股定理可得，然后根据，求出的长，即可． 【详解】解：如图1，连接，过点D分别作于E，于F， 根据图2得：，，，点D到的距离为，点N的纵坐标a表示点D到的距离的长度， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， 即点N的纵坐标a为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分） 11. 若，则__． 【答案】##小于 【解析】 【详解】解：∵， 根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变， ∴，即. 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 13. 已知关于x的分式方程的增根是，则m的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】先将分式方程去分母求得，然后根据方程的增根为，最后代入求解即可． 【详解】解：方程去分母得：， ∴ 解得，， ∵分式方程的增根为， ∴， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程有增根的条件是解题的关键． 14. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，且，，，那么图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出，从而得到的面积，证明，进而可得阴影部分面积等于的面积，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，， ∴． ∵平行四边形的对角线和相交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，为等腰三角形，，，是边上的高，，动点、分别在边、上（点不与点、重合），满足．当为等腰三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：分为3种情况： ①当时， ∵为等腰三角形，是边上的高，， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ∴， ； ②当时， 则， ， ， 根据三角形外角性质得：， 这种情况不存在； ③如图所示，当时， ， ， 设，则， ∵在中，， ， 解得：， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. 按要求完成下列计算： （1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （2）因式分解： 【答案】（1），数轴上表示见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可； （2）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图， 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，的各顶点坐标分别为，，． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的： （2）在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图方法即可解答． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求： 【小问2详解】 解：点以点为对称中心的对应点坐标为， 点以点为旋转中心，顺时针方向旋转的对应点坐标为， 则点在上对应点的坐标为． 18. 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）以上化简过程中，第________步是分式的通分，通分的依据是________； （2）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，请你帮助小明写出正确的化简过程． 【答案】（1）一，分式的基本性质 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据通分的定义进行解答即可； （2）根据分式混合运算的法则，进行计算得出正确答案即可． 【小问1详解】 解：以上化简过程中，第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）尺规作图：过点作，垂足为，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如图即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，又因为，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，连接交于点； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】（1）数对是异差数对． （2）见解析． （3）该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【解析】 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴数对是异差数对． 【小问2详解】 证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． 【小问3详解】 解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 21. 某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？ 【答案】（1）甲礼品100元，乙礼品60元；（2）5． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可． 试题解析：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：，解得：x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100． 答：甲礼品100元，乙礼品60元； （2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5． 答：最多可购买5个甲礼品． 考点：1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．最值问题． 22. 【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． （1）上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： （2）【实战演练】用配方法因式分解； （3）【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2） （3），时，原式有最小值 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 23. 【理解问题】 如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． （1）【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． （2）【实施计划】 如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． （3）【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明：和是美好等腰三角形， ，， ，， ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， ，所在直线是线段的垂直平分线； （2）证明：如图，作射线交于点． ， ． . ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 点在线段上，且，则和是美好等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $