精品解析：河南省平顶山市郏县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

河南省平顶山市郏县2024－2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ） A. 剪纸 B. 琵琶 C. 钢笔 D. 乒乓球拍 2. 若，则下列运用不等式的基本性质变形正确的是（ ） A B. C. D. 3. 分式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列四张图形中，经过旋转之后不能得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的对角线相交于点是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 8. 若a2-3a+1＝0，则a2+值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题； ②等腰三角形高、中线、角平分线互相重合； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”．其中，正确的说法有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A 6 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为______. 12. 用适当的符号表示不等关系：m与3的和不大于5_________． 13. 已知一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为______． 14. 如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=△ABC；其中正确的结论是______________(只填序号)． 15. 如图，在△ABC中．，．D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为_______ 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 18. 如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形． 19. 已知线段a、h，求作等腰三角形，使其底边长为a，底边上的高为h． 已知：线段a，h（如图）． 求作：，使，且，高． 20. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 21. 如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． （1）求出m、n的值； （2）直接写出不等式–x+m ＞–2x+3的解集； （3）求出ABP的面积． 22. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是中点，连接．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省平顶山市郏县2024－2025学年八年级下学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ） A. 剪纸 B. 琵琶 C. 钢笔 D. 乒乓球拍 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义依次判断即可． 本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转度后，它能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看能否找到对称中心． 【详解】A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若，则下列运用不等式的基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的基本性质：加减性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘除正数：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘除负数：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式两边同时减1，根据加减性质，不等号方向不变，应为，与矛盾，故选项错误，不符合题意； B、原不等式两边同时乘以，根据乘除负数性质，不等号方向应改变，即，与矛盾，故选项错误，不符合题意； C、原不等式两边先乘以，不等号方向改变为，再加2后不等号方向不变，即，故选项正确，符合题意； D、原不等式两边同时加3，根据加减性质，不等号方向不变，应为，与矛盾，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 分式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键． 4. 下列因式分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查因式分解-提公因式法，首先提取公因式进而利用公式法分解因式得出即可． 【详解】A. ，此选项正确； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. 无法分解因式，故此选项错误； 故选A． 5. 如图，点A、M、C、N、F都在格点上，与相交于点P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，过点作，连接，平行线的性质，得到，证明，证明为等腰直角三角形，进而求出的度数即可． 【详解】解：过点作，连接，则：， 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6. 下列四张图形中，经过旋转之后不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某个固定点旋转一定角度的变换角旋转，固定点是旋转中心，要判断是否为旋转就要找到旋转中心． 【详解】A中的可以看做是绕着中点旋转180°得到，不符合题意； B中的可以看做是绕着点旋转180°得到，不符合题意； C中的可以看做是绕着点旋转得到，不符合题意； D中的可以看做是轴对称得到，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查旋转，解题的关键是找到旋转中心． 7. 如图，平行四边形的对角线相交于点是中点，且，则平行四边形的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．首先由中位线的判定与性质得到，再由，推出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点， ∵是的中点， 是的中位线，且， ∴， ∵， ∴，即， ∴平行四边形的周长， 故选：A． 8. 若a2-3a+1＝0，则a2+的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得，再两边同时平方后得出，即可计算出结果． 【详解】解：由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a， ∵a≠0， 给a2+1＝3a两边同除以a，得， 则， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了求分式的值，根据已知求出是解题的关键． 9. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”．其中，正确的说法有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题相等角是对顶角是假命题，故①说法错误； ②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故②说法错误； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数，故③说法正确； ④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，故④说法正确； 故正确的有③④共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的应用是解题的关键． 10. 如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件即可得出． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x-1=0且x≠0， ∴x=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零． 12. 用适当的符号表示不等关系：m与3的和不大于5_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式．m与3的和即，然后可得不等式． 【详解】解；m与3的和不大于5表示为． 故答案为：． 13. 已知一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据任何多边形的外角和都是，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 本题考查了多边形的内角和外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握． 【详解】解：多边形的边数为：， 正多边形的内角和的度数是：， 故答案为： 14. 如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点M、N.给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=△ABC；其中正确的结论是______________(只填序号)． 【答案】①②③. 【解析】 【分析】本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时S =S． 【详解】∵因为平行四边形ABCD， ∴AD=BC,AB=CD,且AD∥BC，AB∥CD∠BAE=∠DCF， ∵E、F分别是边AD、BC中点， ∴AE=DE=BF=CF， ∴四边形BFDE是平行四边形 ∴BE∥DF， 在△ABE和△CDF中 ∵ ， ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴∠ABM=∠CDN， ∵AB∥CD， ∴∠BAM=∠DCN， 在△ABM和△CDN中 ∵ ， ∴△ABM≌△CDN(ASA)，∴①正确； ∵E是AD的中点,BE∥DF， ∴M是AN的中点， 同理N是CM的中点， ∴AM=AC，故②正确； ∵F为BC的中点， ∴NF为三角形BCM的中位线， ∴BM=2NF ∴DN=2NF，故③正确； ∵CN=MN=AM， ∴S =S，故④不正确， ∴其中正确的结论是①②③. 故答案为①②③. 【点睛】此题考查全等三角形判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于掌握各性质定义. 15. 如图，在△ABC中．，．D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为_______ 【答案】4或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，提公因式法与公式法的综合运用，正确计算是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式、再利用提公因式法分解； （3）分别解不等式①、②，再找出它们的公共部分即可． 详解】解：（1） ； （2） ； （3）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、中心对称，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据平移方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （2）根据中心对称方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （3）结合图形得到的坐标，再根据旋转中心在旋转对应点连线的垂直平分线上即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问3详解】 解：由图可得，，，，，，， 的中点为，的中点为，的中点为， 点同时在、、的垂直平分线上， 又将绕某一点旋转可得到， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 18. 如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形的全等，解题的关键在于熟练掌握判定三角形全等的方法以及相关平行四边形的性质．根据平行四边形的性质推出对应的边和角相等，即可证明，从而推出相应的边和角相等，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明：， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 19. 已知线段a、h，求作等腰三角形，使其底边长为a，底边上的高为h． 已知：线段a，h（如图）． 求作：，使，且，高． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定． 先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为D点，然后在垂直平分线上截取，则满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 20. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解． （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn =（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2） =（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2 =（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n） （2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0 ∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是：a﹣b=0，a﹣c=0， 所以,a=b=c． 即：△ABC的形状是等边三角形． 【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点． 21. 如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． （1）求出m、n的值； （2）直接写出不等式–x+m ＞–2x+3解集； （3）求出ABP的面积． 【答案】（1）n=，m=- （2）x＞ （3） 【解析】 【分析】（1）将点P（n，-2）代入y=–2x+3求得的坐标，进而代入y=–x+m即可求解； （2）根据函数图象与交点的横坐标即可求解； （3）分别求得y=-2x+3，y=-x-与轴的交点，得到A，B的坐标，进而得出AB的值，根据面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵y=-2x+3过P（n，-2） ∴-2=-2n+3， 解得：n=， ∴P() ， ∵y=-x+m的图像过P() ， ∴-2=-×+m， 解得：m=-， 【小问2详解】 P()，根据函数图象可得， 不等式-x+m＞-2x+3的解集为x＞； 【小问3详解】 ∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3 ∴A(0，3) ∵y=-x-中，x=0时，y=-， ∴B(0， -)． ∴AB=3， ∴△ABP的面积：AB×=××= 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，求两直线围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键． 22. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元 【解析】 【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可； （2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米 由题意得 解得， ∴，经检验为分式方程的解 ∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米 （2）设建类摊位个，则类个，费用为 ∵ ∴ ， ∵110>0， ∴z随着a的增大而增大， 又∵a为整数， ∴当时z有最大值，此时 ∴建造90个摊位的最大费用为10520元 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $