精品解析：湖北省武汉市汉阳区2025-2026学年下学期期末考试八年级数学试卷

汉阳区2026春期末考试八年级数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共8页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置． 3．答选择题时，选出每小题正确答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知两点，都在直线（为常数）上，则，之间的数量关系是( ) A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 若一组数据：11，13，7，9，x，8，9，11，唯一的众数是11，则这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 下列式子中，能表示是的函数的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）（其中，，为常数，且） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 小明从学校骑车回家，途经文具店去买笔停留了2分钟．若小明骑车的速度始终不变，小明离家的距离（单位：）与骑车时间（单位：）的关系如图所示，则小明骑车的速度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知线段．（1）分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交直线异侧的两点，；（2）作直线交于点；（3）以点为圆心，以的长为半径画弧，并在弧上取点；（4）连接，，交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将正确结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 请写一个过的一次函数表达式：________． 12. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，结果如下表所示． 用水量/t 7 8 12 14 户数 3 5 5 7 则样本数据中“月用水量”的中位数是________． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是________边形． 14. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 15. 如图，中，，为线段上一点，点关于所在直线的对称点刚好在线段上，连接．点关于所在直线的对称点刚好在线段上．连接，若，，则的大小为________°，的长是________． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．，，，（为常数），现有以下结论：（1）直线的解析式为；（2）若的面积是面积的，则；（3）若线段与直线没有公共点，则；（4）若线段与直线总有交点，则点到线段的最大距离为．其中正确结论的序号为________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知，，求代数式的值． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，点在直线的同侧，连接，，，．线段与交于G点．已知，，． （1）求证：； （2）连接，，，添加一个条件，使四边形为矩形．（直接写出这个条件，不需要说明理由） 19. 数学活动课上，某兴趣小组在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图． 兴趣小组的成员发现纸杯的个数与叠放在一起的纸杯的总高度满足如下数量关系，如表． （个） 1 2 3 4 5 … 8 8.5 9 9.5 10 … （1）直接写出6个相同纸杯叠放在一起的总高度，照这样叠放，个相同纸杯叠放在一起的总高度（用含的式子表示）． （2）求100个这样的相同纸杯叠放在一起的总高度． 20. 如图，在中，，是的中线，分别过，作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过四条． （1）在图1中，先画中点；再在线段上画点，连接，使． （2）在图2中，先画的高；再在线段上画点，连接，使． 22. 游泳是一项很好的运动，小明同学为选择一家合适的游泳馆，收集了某游泳馆的如下信息． 信息1：该游泳馆共有A、B两种套餐的年卡（年卡，即购买后可在一年内使用）供选择．A年卡，交费600元；B年卡交费1200元． 信息2：A年卡，免费游泳不超过20次，超过20次时，每次收费40元；B年卡，免费游泳50次，超过50次时，增加专业教练指导，提升游泳技能，每次收费100元． 信息3：小明年游泳次． 解决问题： （1）直接写出小明游泳超过20次时，A年卡所需游泳费用与小明游泳超过50次时，B年卡所需游泳费用： （2）不论选择A年卡还是B年卡，所需游泳费用相同，求小明此时可以游泳的次数． （3）若想节省游泳费用，则小明如何选择？ 23. 某校为了解学校学生数学的学习情况，随机抽取了某班某次10名同学的数学测试成绩（满分100分）如下：92，93，70，88，82，75，，80，，95（，且，均为正整数） 整理数据：绘制了如下不完整的图表． 类别 成绩 频数 A 2 B C 分析数据：绘制了如下的箱线图． （1）直接写出，的值及C类学生成绩对应的圆心角度数： （2）求这组数据的平均数； （3）估计该班60名学生中本次数学成绩不低于80分（优秀）的学生人数． 24. 在矩形中，是边上的点，连接． （1）如图1，，是边上的点，，连接，交于点． ①直接写出的大小； ②连接，若，求证：是的中点． （2）如图2，连接，，将沿折叠，得对应，点的对应点刚好落在上，求证：． （3）如图3，为边上一点，将矩形沿折叠得图形，其中点的对应点刚好在边上．设，，则的值是________．（用含，的式子表示，不需要说明理由．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉阳区2026春期末考试八年级数学试卷 亲爱的同学： 在你答题前，请认真阅读下面的注意事项： 1．本试卷全卷共8页，三大题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置． 3．答选择题时，选出每小题正确答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试卷”上无效． 预祝你取得优异成绩！ 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求， 即， 解不等式得． 2. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用同类二次根式合并法则和二次根式乘法法则判断，只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加被开方数不变，二次根式乘法满足． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； ，B错误； 根据二次根式乘法法则，，计算符合法则，C正确； 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 3. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，则的，得出经过的象限是第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限 ∴不经过的象限是第二象限 故选：B 4. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 5. 已知两点，都在直线（为常数）上，则，之间的数量关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点A，B的坐标代入直线解析式得到和的表达式，再比较大小，也可利用一次函数的增减性直接判断． 【详解】解：方法一： ∵点，都在直线上， ∴， ， ∵， ∴． 方法二： ∵直线中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可得，根据求出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】解：光线平行， ， ∵， ∴， 水面和玻璃底部平行， ， ． 7. 若一组数据：11，13，7，9，x，8，9，11，唯一的众数是11，则这组数据的中位数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】先根据众数的定义确定的取值，再将数据从小到大排序，根据中位数的定义计算即可． 【详解】解：∵ 原数据中9和11都已经出现2次，其余数各出现1次，且这组数据的唯一众数是11， ∴ ，保证11出现次数最多，符合唯一众数要求， 将这组数据从小到大排序得：， ∵ 数据总个数为8，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第4个和第5个数的平均数， ∴ 中位数为 ． 8. 下列式子中，能表示是的函数的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）（其中，，为常数，且） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，逐个判断四个式子即可得到答案． 【详解】解：（1），当取任意值时，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数； （2），在的范围内，的每一个确定值都对应唯一确定的值，能表示是的函数； （3），当时，例如，可得或，一个对应两个不同的值，不满足函数定义，不能表示是的函数； （4），当取任意值时，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数； 综上所述，题中能表示是的函数的个数有个． 9. 小明从学校骑车回家，途经文具店去买笔停留了2分钟．若小明骑车的速度始终不变，小明离家的距离（单位：）与骑车时间（单位：）的关系如图所示，则小明骑车的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可得，总共行驶的距离为，总共花的时间为，再结合速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得小明骑车的速度为． 10. 如图，已知线段．（1）分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交直线异侧的两点，；（2）作直线交于点；（3）以点为圆心，以的长为半径画弧，并在弧上取点；（4）连接，，交于点，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，，因此，得到，，从而，根据勾股定理求出，设，在中，根据勾股定理构造方程，求出，从而在中求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，，． 设，则， ∵在中，， 即， 解得， ∴， ∴在中，． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将正确结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 请写一个过的一次函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质．设一次函数的表达式为，再把代入求出的值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， 函数图象经过， ， 当时，， 函数的解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，结果如下表所示． 用水量/t 7 8 12 14 户数 3 5 5 7 则样本数据中“月用水量”的中位数是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，正确理解中位数的概念是解题关键，将一组数据从小到大依次排列，若数据个数为偶数，中位数为中间两个数据的平均数，根据定义计算即可。 【详解】解：首先计算抽查的总户数： ， 将数据从小到大排列后， 中位数为第位和第位数据的平均数， 前个数据分别为和， 第到第个数据均为， 因此第位和第位数据都为， 可得中位数为． 13. 一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是________边形． 【答案】七 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，外角和为，根据题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据题意得 ， 解得， 答：这个多边形是七边形． 14. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 15. 如图，中，，为线段上一点，点关于所在直线的对称点刚好在线段上，连接．点关于所在直线的对称点刚好在线段上．连接，若，，则的大小为________°，的长是________． 【答案】 ①. 20 ②. 6 【解析】 【分析】根据轴对称可得：，，，，，，求出，设，则， 根据，得出，求出结果即可；过点E作于点G，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：根据轴对称可得：，， ， ，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点E作于点G，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 整理得：， 开平方得：， 解得：，（舍去）， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点．，，，（为常数），现有以下结论：（1）直线的解析式为；（2）若的面积是面积的，则；（3）若线段与直线没有公共点，则；（4）若线段与直线总有交点，则点到线段的最大距离为．其中正确结论的序号为________． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出直线的解析式即可判断；（2）根据三角形面积公式分别表示出和的面积，建立方程求解，即可判断；（3）根据线段与直线没有公共点，可知点和点在直线的同侧，利用不等式求解的取值范围，即可判断；（4）根据线段与直线有交点，可知点和点在直线的异侧或直线上，确定的取值范围，利用的面积表示出点到线段的距离，进而求出最大值，即可判断． 【详解】解：（1）设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为，故结论（1）正确． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴ ， 解得，故结论（2）正确． （3）直线的解析式为，即． 若线段与直线没有公共点，则点与点在直线的同侧， ∴或， 解得或，故结论（3）错误． （4）若线段与直线总有交点，则点与点在直线的异侧或直线上， ∴或， 解得． 此时，点在轴正半轴，点在轴正半轴上，如图， ∵在中，，， ∴， 设点到线段的距离为， ∵， 即， 解得， ∵， ∴h随m的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为．故结论（4）正确． 综上所述，正确结论的序号为（1）（2）（4）． 三、解答题（共8个小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对代数式因式分解，再将，代入，由平方差公式及二次根式混合运算计算即可． 【详解】解：当，时， ． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，点在直线的同侧，连接，，，．线段与交于G点．已知，，． （1）求证：； （2）连接，，，添加一个条件，使四边形为矩形．（直接写出这个条件，不需要说明理由） 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）添加条件：（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据可得，因此只要添加条件使四边形为平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加条件； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 19. 数学活动课上，某兴趣小组在探究“叠在一起的纸杯的总高度随着纸杯数量的变化规律”时，如图，是1个纸杯和若干个规格相同的纸杯叠放在一起的示意图． 兴趣小组的成员发现纸杯的个数与叠放在一起的纸杯的总高度满足如下数量关系，如表． （个） 1 2 3 4 5 … 8 8.5 9 9.5 10 … （1）直接写出6个相同纸杯叠放在一起的总高度，照这样叠放，个相同纸杯叠放在一起的总高度（用含的式子表示）． （2）求100个这样的相同纸杯叠放在一起的总高度． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中数据找出规律：每增加1个纸杯高度增加，然后得出6个相同纸杯叠放在一起的总高度，个相同纸杯叠放在一起的总高度； （2）把代入函数解析式，求出h的值即可． 【小问1详解】 解：根据表格中数据可知：每增加1个纸杯高度增加， ∴6个相同纸杯叠放在一起的总高度为； 个相同纸杯叠放在一起的总高度； 【小问2详解】 解：100个这样的相同纸杯叠放在一起的总高度为： ． 20. 如图，在中，，是的中线，分别过，作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）连接，根据菱形的性质得出，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过四条． （1）在图1中，先画中点；再在线段上画点，连接，使． （2）在图2中，先画的高；再在线段上画点，连接，使． 【答案】（1）如图，点D、E即为所求； （2）如图，即为所求作的高，点G即为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）取格点M、N，连接交于点D，则点D即为所求；取格点F，连接，交于点E，则点E即为所求； 【小问1详解】 证明：连接，，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，即点D为的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：取格点Q，K，P，连接，，如图所示： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为的高； ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 22. 游泳是一项很好的运动，小明同学为选择一家合适的游泳馆，收集了某游泳馆的如下信息． 信息1：该游泳馆共有A、B两种套餐的年卡（年卡，即购买后可在一年内使用）供选择．A年卡，交费600元；B年卡交费1200元． 信息2：A年卡，免费游泳不超过20次，超过20次时，每次收费40元；B年卡，免费游泳50次，超过50次时，增加专业教练指导，提升游泳技能，每次收费100元． 信息3：小明年游泳次． 解决问题： （1）直接写出小明游泳超过20次时，A年卡所需游泳费用与小明游泳超过50次时，B年卡所需游泳费用： （2）不论选择A年卡还是B年卡，所需游泳费用相同，求小明此时可以游泳的次数． （3）若想节省游泳费用，则小明如何选择？ 【答案】（1）超过20次时，A年卡费用为元；超过50次时，B年卡费用为元． （2）小明此时游泳次数为35次或60次． （3）当游泳次数小于35次时，选择A年卡更节省；当游泳次数为35次或60次时，两种套餐费用相同；当游泳次数大于35次且小于60次时，选择B年卡更节省；当游泳次数大于60次时，选择A年卡更节省． 【解析】 【分析】（1）根据两种套餐的收费方式解答即可； （2）根据选择A年卡还是B年卡，所需游泳费用相同，可得游泳次数大于20次，然后分两种情况，即可求解； （3）分六种情况解答即可． 【小问1详解】 解：超过20次时，A年卡费用为元； 超过50次时，B年卡费用为元． 【小问2详解】 解：∵不论选择A年卡还是B年卡，所需游泳费用相同， ∴游泳次数大于20次， 当游泳次数大于20次且不大于50次时，， 解得：； 当游泳次数大于50次时，， 解得：； 综上所述，小明此时游泳次数为35次或60次； 【小问3详解】 解：当游泳次数小于20次时，，此时选择A年卡更节省； 当，即时，选择A年卡更节省； 由（2）得：当游泳次数为35次或60次时，两种套餐费用相同； 当，即时，选择B年卡更节省； 当，即时，选择A年卡更节省； 当，即时，选择B年卡更节省； 综上所述，当游泳次数小于35次时，选择A年卡更节省；当游泳次数为35次或60次时，两种套餐费用相同；当游泳次数大于35次且小于60次时，选择B年卡更节省；当游泳次数大于60次时，选择A年卡更节省． 23. 某校为了解学校学生数学的学习情况，随机抽取了某班某次10名同学的数学测试成绩（满分100分）如下：92，93，70，88，82，75，，80，，95（，且，均为正整数） 整理数据：绘制了如下不完整的图表． 类别 成绩 频数 A 2 B C 分析数据：绘制了如下的箱线图． （1）直接写出，的值及C类学生成绩对应的圆心角度数： （2）求这组数据的平均数； （3）估计该班60名学生中本次数学成绩不低于80分（优秀）的学生人数． 【答案】（1）2；3； （2）或 （3）48 【解析】 【分析】（1）根据频数统计表和扇形统计图求出b、c的值，用乘C类学生成绩的百分比，即可得出答案； （2）根据箱线图先求出x、y的值，再求出平均数即可； （3）样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知；成绩的人数为：（人）， 成绩的人数为：（人）， C类学生成绩对应的圆心角度数为：； 【小问2详解】 解：根据箱线图可知：数学测试成绩的最小值为70分，最大值为96分，中位数为90，第三四分位数为93，第一四分位数为80， ∵10名同学的数学测试成绩为：92，93，70，88，82，75，，80，，95，， ∴， 将已知的9个数从小到大进行排序：70，75，80，82，88，92，93，95，96， ∵， ∴第三四分位数为第8个数， ∴这10个数可能为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96 或70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， ∴或， ∴这组数据的平均数为： ， 或； 【小问3详解】 解：， 答：该班60名学生中本次数学成绩不低于80分（优秀）的学生人数为48人． 24. 在矩形中，是边上的点，连接． （1）如图1，，是边上的点，，连接，交于点． ①直接写出的大小； ②连接，若，求证：是的中点． （2）如图2，连接，，将沿折叠，得对应，点的对应点刚好落在上，求证：． （3）如图3，为边上一点，将矩形沿折叠得图形，其中点的对应点刚好在边上．设，，则的值是________．（用含，的式子表示，不需要说明理由．） 【答案】（1）①； ②延长，，交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即是的中点； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，求出结果即可； ②延长，，交于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，再根据，即可得出结论； （2）根据矩形性质得出，，根据折叠得出，，根据余角性质得出，证明即可； （3）连接，，设，则，，，设，，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①∵在矩形中，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∵，， ∴设，则，，， 设，，则，， 在中，根据勾股定理得出：， 即， 解得：， 即， 在中，根据勾股定理得出：， 在中，根据勾股定理得出：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $