2.2 基本不等式 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式，分层设计从概念辨析到综合应用，通过基础题巩固核心知识，中档题提升灵活运用能力，拔高题培养数学建模与推理能力，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念辨析与简单应用|选择1-4直接考查不等式成立条件，夯实数学抽象基础| |进阶层|多条件综合应用与辨析|填空11-14结合条件式求最值，提升运算推理能力| |拔高层|跨情境建模与逻辑证明|解答15几何情境关联均值不等式证明，发展数学建模与几何直观|

2.2 基本不等式 一、选择题 1．已知a、b、,那么下列命题中正确的是(      ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2．已知，，且，则的最小值为(      ) A. B.5 C.4 D.3 3．“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案,经过小组成员分析讨论形成如下四个方案: 方案甲:第一次提价,第二次提价;方案乙:第一次提价,第二次提价; 方案丙:第一次和第二次均提价; 方案丁:第一次提价,第二次降价; 其中,则四个方案中提价最多的方案为(      ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4．已知a,b,,且,则下列说法正确的是(      ) A. B. C. D. 5．已知为正实数,且,则的最小值为(      ) A. B. C. D. 6．已知，，且，则的最小值为(      ) A.11 B.12 C.13 D.14 7．已知，，，则的最小值是(      ) A.0 B. C. D.1 二、多项选择题 8．已知,,,则(      ) A.的最大值为1 B.的最小值为2 C.的最小值为9 D.的最大值为 9．已知为正实数,且,则下列选项正确的是(      ) A.的最大值为 B. C.的最大值为4 D.的最小值是 10．现有以下结论 ①函数的最小值是2； ②若a,且,则； ③的最小值是； ④函数的最小值为. 其中,不正确的是(      ) A.① B.② C.③ D.④ 三、填空题 11．若,,且,则的最小值是_____________. 12．已知正数x、y满足,则的最小值是_____________ 13．若，且，则的取值范围为______. 14．已知,且,则的取值范围为_________. 四、解答题 15．如图，ABDC为梯形，其中，，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 16．设正数x，y满足下列条件，分别求的最小值. （1）； （2）. 17．设a，b是正实数，求证：. 18．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价； 方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次提价，第二次提价. 其中，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？ 19．求的最小值. 参考答案 1．答案：C 解析：对于A,若,,则,故A错误; 对于B,若,,则,但,故B错误; 对于C,若,此时,则,故C正确; 对于D,若取,,则,故D错误. 故选:C. 2．答案：B 解析：已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5. 3．答案：C 解析：设商品原价为, 对于甲:最终价格为; 对于乙:最终价格为; 所以甲、乙方案结果相同, 对于丙:最终价格为; 由均值不等式,,所以方案丙的最终价格高于甲、乙, 对于丁:最终价格为:,该式存在负项,所以明显小于其他方案的结果, 综上,提价最多的是方案丙. 4．答案：D 解析：对于A,当时,满足,而,故A错误; 对于B,当时,,故B错误; 对于C,当时,满足,而,故C错误; 对于D,因为函数在R上单调递增,且,则,故D正确. 5．答案：C 解析：因为,则, 由于, 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为, 故选：C 6．答案：C 解析：（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13. （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13. 7．答案：A 解析：由题意知，则，由，，知， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是0.故选A. 8．答案：ABD 解析：因为,,,所以由基本不等式得, 当且仅当时取等,下面,我们开始分析各个选项, 对于A,由对数的运算性质得, 则，最大值为1,故A正确, 对于B,由基本不等式得, 当且仅当时取等,此时,则的最小值为2,故B正确, 对于C,因为,所以, 则, 由基本不等式得,当且仅当时取等, 此时解得,得到, 则的最小值不为9,故C错误, 对于D,我们对进行平方, 得到, 由重要不等式得, 当且仅当时取等,此时解得, 则, 故,得到, 而,,解得, 即的最大值为,故D正确. 故选：ABD. 9．答案：ABD 解析：对于A:,当且仅当时取等号, 所以的最大值为,故A正确; 对于B:因为,所以,当且仅当时等号成立, 所以,当且仅当时等号成立,故B正确; 对于C:因为,所以,则,解得, 所以, 因为,所以,所以,即, 所以无最值,故C错误; 对于D: , 设,,可得, 则上式, 当且仅当时,即当时,即当时,等号成立, 所以,的最小值为,故D正确. 故选:ABD 10．答案：ACD 解析：对于①,当时,,故错误； 对于②,由知,,由基本不等式知,故正确； 对于③,令,,在上是增函数, 故该函数的最小值是,故错误； 对于④,取时,故错误； 故选：ACD. 11．答案：4 解析：因,,则,整理得, 解得,即,当且仅当时取等, 故当时,取得最小值为4. 12．答案：18 解析：. 13．答案： 解析：由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得. 故答案为：. 14．答案： 解析：方法一:由去分母,可得,整理得（*）, 因,,即,当且仅当时等号成立, 由（*）可得,即,解得或（不合题意舍去）, 故的取值范围为; 方法二:因为,所以, 而, 当且仅当时等号成立,由,解得, 当时,取得最小值为2, 此时取得最小值为. 即的取值范围为. 故答案为:. 15．答案：，，，；，证明见解析 解析：，，，. 由，可得. 用基本不等式证明如下： 因为a，b为不相等的正数，所以， 所以，所以，即. 又因为， 所以，所以. 综上，. 16．答案：（1）4 （2） 解析：（1） ， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为4. （2） ， 当且仅当即时，等号成立， 的最小值为. 17．答案：证明见解析 解析：证明：， 、b均是正实数，，，，均为正实数， ，当且仅当时，等号成立①，，当且仅当时，等号成立②， ， 当且仅当 即时，等号成立， ，故原不等式成立. 18．答案：方案甲和方案乙提价一样且最少，方案丙提价最多 解析：设该产品原来的价格为. 方案甲：两次提价后该产品的价格为，提价)， 方案乙：两次提价后该产品的价格为，提价)， 方案丙：两次提价后该产品的价格为，提价]， )， 方案甲和方案乙提价一样且最少，方案丙提价最多. 19．答案：9 解析：， 当且仅当时，等号成立，所以函数的最小值为9. 学科网（北京）股份有限公司 $