4.2-整式的加法与减法课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕“整式的加减”展开，涵盖同类项的定义与判定、合并同类项法则、去括号法则及整式加减运算，通过复习整式概念搭建基础，结合汽车通过隧道时间等生活情境引入问题，构建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以“超市水果分类”类比同类项培养数学眼光（抽象能力），通过合并同类项“一加二不变”法则推导和例题训练数学思维（运算能力），用阴影面积计算、水费问题等实例强化数学语言（模型意识）。采用情境导入、讲练结合的教学方法，帮助学生直观理解知识，教师可提升教学效率。

整式的加减 4.2 整式的加法与减法 1.7.2013 同学们好！今天我们继续学习第四章《整式的加减》。在上一节课中，我们认识了整式，今天我们将学习整式的加法与减法运算，这是代数式运算的基础。让我们一起探索其中的奥秘吧！ ‹#› 复习回顾 01 单项式 定义：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 示例：-5x，a²b，12 02 多项式 定义：几个单项式的和组成的代数式。每个单项式是它的项，不含字母的项是常数项。 示例：x² + 2x - 1，3a - 2b + 7 03 整式 定义：单项式和多项式的统称，是有理式的一部分。整式中除数不能含有字母，即分母不含未知数。 关系：整式 包含 单项式 和 多项式 思考：我们已经清晰地认识了整式的“家族成员”，那么在实际运算中，如何对整式进行加减运算呢？整式的加减与我们之前学过的数的加减运算有什么联系和区别？ 1.7.2013 在开始新知识之前，我们先来回顾一下。什么是单项式？什么是多项式？它们统称为整式。那么，既然它们是代数式，我们该如何对它们进行加减运算呢？这就是我们今天要解决的问题。 ‹#› 情境引入与新知探究 情境引入 汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25a h，香港口岸到西人工岛的全长是 72a + 96×1.25a，即 72a + 120a。如何计算 72a + 120a 呢？ 新知探究 填空： (1) 72a - 120a = ( )a； (2) 3m² + 2m² = ( )m²； (3) 3xy² - 4xy² = ( )xy²。 结论：观察以上多项式，它们所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 1.7.2013 本节课我们将分为五个部分。首先，我们会快速回顾上节课的知识。然后，我们将依次学习同类项、合并同类项和去括号这三个核心知识点。最后，通过综合练习来巩固和应用所学内容。 ‹#› 新知探究（一）：同类项 生活中的“分类”智慧 就像在超市挑选水果，我们会自然地将苹果与苹果归为一类，香蕉与香蕉归为一类。这种“物以类聚”的生活经验，正是我们理解数学中“同类项”的直观基础。 01 数学中的观察与归类 观察这组代数式：8n、3ab²、2n、-5ab²。 我们可以直观地将它们分为两类：8n 与 2n是一类，3ab² 与 -5ab²是另一类。 02 同类项的核心特征 单字母项：形影不离 以 8n 和 2n 为例： ① 所含字母完全相同（都是 n）； ② 相同字母的指数也相同（指数都是 1）。 多字母项：严丝合缝 以 3ab² 和 -5ab² 为例： ① 所含字母完全相同（a 和 b）； ② 相同字母的指数一一对应（a为1，b为2）。 1.7.2013 大家看，买水果时我们会把同类的水果放在一起。在数学中也是一样。观察屏幕上的四个代数式，我们可以发现8n和2n可以归为一类，3ab²和-5ab²可以归为一类。因为它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同。 ‹#› 同类项的定义 核心定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 判定依据：两相同 ① 所含字母必须完全一致； ② 相同字母的指数（次数）必须分别相等。 干扰排除：两无关 ① 与系数的大小没有关系； ② 与字母的排列先后顺序没有关系。 特别注意：所有的常数项都是同类项（如：5 与 -3，0 与 100）。 随堂练习：快速判断 1. 2x²y 与 -3x²y → 2. 2abc 与 2ab → 3. -3pq 与 3qp → 4. 4x² 与 4x³ → 5. 5 与 -8 → 6. a³ 与 b³ → 是（字母指数均一致） 否（所含字母不同） 是（与字母顺序无关） 否（指数不同） 是（均为常数项） 否（所含字母不同） 1.7.2013 我们把这样的项称为“同类项”。判断同类项有两个标准：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同。记住，它与系数的大小和字母的排列顺序无关。另外，所有的常数项都是同类项。大家来看这几个例子，判断一下它们是不是同类项。 ‹#› 新知探究（二）：合并同类项 就像整理积木一样， 把“同类”的项归类合并， 让复杂的数学式子变得简洁有序。 01 概念理解 将多项式中的同类项合并成一项，称为“合并同类项”。它是简化代数式、进行整式加减运算的基础。 📝 核心法则：“一加二不变” 同类项的系数相加，结果作为新系数； 字母和字母的指数保持不变（这是解题的关键！）。 💡 记忆口诀：先找同类项，再算系数和，字母指数原样抄。 1.7.2013 找到了同类项，我们就可以把它们合并起来，这个过程叫做“合并同类项”。法则很简单：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。比如8n加2n，就是8加2等于10，再乘以n，结果是10n。这就像把相同颜色的积木块堆在一起一样。 ‹#› 例题讲解（一）：例1 例1 合并下列各式的同类项： (1) xy² - xy² (2) 4a² + 3b² + 2ab - 4a² - 4b² (1) 原式 = (1 - )xy² = xy² (2) 原式 = (4a² - 4a²) + (3b² - 4b²) + 2ab = -b² + 2ab 解： 1.7.2013 大家看，买水果时我们会把同类的水果放在一起。在数学中也是一样。观察屏幕上的四个代数式，我们可以发现8n和2n可以归为一类，3ab²和-5ab²可以归为一类。因为它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同。 ‹#› 例题讲解（一）：例2 例2 求多项式的值： (1) 2x² - 5x + x² + 4x - 3x² - 2，其中 x = 。 (2) 3a + abc - c² - 3a + c²，其中 a = - , b = 2, c = -3。 解答： (1) 化简得 -x - 2，代入 x = ，得 - 。 (2) 化简得 abc，代入 a = - , b = 2, c = -3，得 1。 1.7.2013 我们把这样的项称为“同类项”。判断同类项有两个标准：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同。记住，它与系数的大小和字母的排列顺序无关。另外，所有的常数项都是同类项。大家来看这几个例子，判断一下它们是不是同类项。 ‹#› 课堂练习一 1.合并下列各式的同类项： （1）5x+4x； （2）y- +2y； （3）-7ab+6ab； （4）10y2-0.5y2； （5）mn2+3mn2； （6）-3x2y+3xy2+2x2y-2xy2. 解：（1）原式=9x （2）原式= （3）原式= -ab （4）原式=9.5y2 （5）原式=4mn2 （6）原式= -3x2y+2x2y+3xy2-2xy2 = -x2y+xy2 课堂练习一 2.先化简，再求值： （1）3a+2b-5a-b，其中a= -2，b=1； （2）3x-4x2+7-3x+2x2+1；其中x= -3。 解：（1）原式=3a-5a+2b-b = -2a+b 将x=-3带入得， 原式=( -2)×(-3)2+8 = -18+8= -10 （2）原式=3x-3x-4x2+2x2+7+1 = -2x2+8 将a=-2，b=1带入得，原式=( -2)×(-2)+1=5 课堂练习一 3.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的求阴影部分的面积。 解：阴影面积=大圆面积-小圆面积 =πR2 - πR2 =πR2 例题讲解（一）：例3 例3 (1)水库水位第一天下降a h，平均每小时下降2cm；第二天上升a h，平均每小时上升0.5cm。这两天水位总的变化情况如何？ 例3 (2)某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg。上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋。进货后这个商店有大米多少千克？ 解答：(-2a) + 0.5a = -1.5a，即下降了1.5a cm 解答：5x - 3x + 4x =6x kg。 1.7.2013 找到了同类项，我们就可以把它们合并起来，这个过程叫做“合并同类项”。法则很简单：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。比如8n加2n，就是8加2等于10，再乘以n，结果是10n。这就像把相同颜色的积木块堆在一起一样。 ‹#› 新知探究：去括号 引入 主桥与海底隧道长度和： 92b + 72(b - 0.15) 主桥与海底隧道长度差： 92b - 72(b - 0.15) 法则 1. 括号前是“+”号：去掉括号和“+”号，原括号里各项符号都不改变。 2. 括号前是“-”号：去掉括号和“-”号，原括号里各项符号都要改变。 示例 +(x - 3) = x - 3 -(x - 3) = -x + 3 1.7.2013 我们来看几个例子。第一题，3x²加2x²，系数相加得5，结果是5x²。第二题，-4xy²加2xy²，系数相加得-2，结果是-2xy²。第三题稍微复杂一点，有三项同类项，我们需要分别合并，最后得到9a + 2a² + 3。大家注意步骤，先找同类项，再结合，最后合并。 ‹#› 例题讲解（二）：例4 例4 化简： (1) 8a + 2b + (5a - b) (2) (4y - 5) - 3(1 - 2y) 解答：(1) 原式 = 8a + 2b + 5a - b = 13a + b (2) 原式 = 4y - 5 - 3 + 6y = 10y - 8 1.7.2013 有时候，整式的加减会带有括号，这就需要我们先学会去括号。去括号的法则关键看括号外面的符号。如果外面是正号，去掉括号后，里面各项的符号不变。如果外面是负号，去掉括号后，里面各项的符号都要改变。大家一定要记住这个规则。 ‹#› 例题讲解（二）：例5 例5 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50 km/h，水流速度是a km/h。 (1) 2 h后两船相距多远？ (2) 2 h后甲船比乙船多航行多少千米？ 解答： (1) 2(50+a) + 2(50-a) =200 km (2) 2(50+a) - 2(50-a) =4a km 1.7.2013 我们来看两个综合例子。第一题，括号前是正号，直接去掉括号，然后合并同类项，得到13a + b。第二题，括号前是负号，去掉括号后，里面的每一项都要变号，然后再合并同类项，得到-3a² + 5a + 3b。大家要特别注意第二题的符号变化。 ‹#› 课堂练习二 1.下列去括号得过程是否正确？如果错误，请改正。 （1）a2-(2a-b+c)=a2-2a-b+c； （2）-(x-y)+(xy-1)=-x-y+xy-1. 解：(1) 错误，原式 = a2-2a+b-c (2) 错误，原式 = -x+y+xy-1 2.去括号： （1）a+(b-c)； （2）a-(-b+c) （3）(a-b)+(c+d)； （4）-(a+b)-(-c+d) 解：(1) 原式 = a+b-c (2) 原式 = a+b-c (3) 原式 = a-b+c+d (4) 原式 = -a-b+c-d 3.化简 （1）12(x-0.5)； （2）-5(1- )； （3）-5a+(3a-2)-(3a-7)； （4）+2(y+1)。 解：(1) 原式 = 12x-6 (2) 原式 = -5+x (3) 原式 = -5a+3a-2-3a+7=-5a+5 (4) 原式 = 3y-1+2y+2=5y+1 4.某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过15 m3，每立方米a元；超过部分每立方米 （a+2）元．若该地区某家庭上月用水量为20m3，则应缴水费多少元？ 解：超出部分为20-15=5 m3 水费为15a+5(a+2)=15a+5a+10=20a+10（元） 答：应缴水费（20a+10）元。 新知探究：整式的加减 法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 例6 计算： (1) (2x - 3y) + (5x + 4y) (2) (8a - 7b) - (4a - 5b) 解答：(1) 原式 = 2x - 3y + 5x + 4y = 7x + y (2) 原式 = 8a - 7b - 4a + 5b = 4a - 2b 1.7.2013 现在我们来做几道练习题，检验一下大家的掌握情况。请大家仔细阅读题目，思考后做出选择。这几道题涵盖了同类项的判断、合并同类项以及去括号的基本运算。 ‹#› 例题讲解（三）：例7 例7做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）： 小纸盒：长a，宽b，高c 大纸盒：长1.5a，宽2b，高2c 问题：(1) 做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ (2) 做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 解答：小纸盒表面积：2(ab + bc + ca) 大纸盒表面积：2(3ab + 4bc + 3ca) = 6ab + 8bc + 6ca (1) 共用纸：8ab + 10bc + 8ca (2) 多用纸：4ab + 6bc + 4ca 1.7.2013 接下来是解答题，请大家在练习本上完成这三道化简题。注意步骤要清晰，先去括号（如果有的话），再合并同类项。做完后可以和同桌互相检查一下。 ‹#› 例题讲解（三）：例8 题目 求x - 2(x - y²) + (- x + y²)的值，其中 x = -2，y = 2/3。 解答 化简：原式 = x - 2x + y² - x + y² = -3x + y² 代入：原式 = (-3)×(-2) + ()² = 6 + = 6 1.7.2013 最后一题是先化简再求值。这类题的策略是“先化简，再代入”，这样可以大大简化计算过程。我们先合并同类项，得到最简形式6x²y - 8xy²，然后再将x=1，y=-1代入计算，最终结果是-14。 ‹#› 课堂练习三 1.计算： （1） - ab-4a2+3a2-(- ab)；（2）x3-(x2-x+1)-2(x3-x2-1)-1； （3）a-(a-8b-12c)+3(-2c+2b)。 解：（1）原式=-4a2+3a2- ab+ab= -a2+ab （2）原式=x3-x2+x-1-2x3+2x2+2-1= -x3+x2+x （3）原式=a- +4b+6c-6c+6b = - +10b 2.求x2-5xy-3x2-2(1-2xy-x2)的值，其中x= - ；y=. 解：原式=x2-5xy-3x2-2+4xy+2x2 =(x2-3x2+2x2)+(-5xy+4xy)-2 = -xy-2 将x= - ，y=带入得：-xy-2= - (- )×()-2= -2= - 3.笔记本的单价是x元，中性笔的单价是y元．王芳买了3本笔记本， 2支中性笔；李明买了4本笔记本，3支中性笔．买这些笔记本和中性笔。王芳和李明一共花费多少元？ 解：王芳的花费为(3x+2y)元； 李明的花费为(4x+3y)元； 两人一起的花费为(3x+2y)+(4x+3y)=(7x+5y)元 总结回顾 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 合并同类项：系数相加，字母和指数不变。 去括号法则：括号前是“+”，符号不变；括号前是“-”，各项变号。 整式加减运算法则：先去括号，再合并同类项。 1.7.2013 今天的课程就到这里。感谢同学们的积极参与和认真思考，我们下节课再见！ ‹#› $