5.1 方程 预习讲义-2026-2027学年新版人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元一次方程入门，系统梳理方程及方程的解、列方程步骤、一元一次方程概念、等式基本事实与性质等核心知识点，从概念定义到实际应用，构建“概念理解-技能训练-问题解决”的学习支架。 资料以“知识点+考点”双模块设计，通过“巩固基础”题夯实抽象能力，“直击考点”例题及变式培养模型意识与推理能力，如列方程解决商品利润问题、利用等式性质判断变形正误。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第五章 一元一次方程 01讲 方程目录 【知识点1. 方程及方程的解 1】 【知识点2. 根据实际问题列方程步骤 4】 【知识点3. 一元一次方程 6】 【知识点4. 等式的基本事实 8】 【知识点5. 等式的性质 8】 【考点1. 方程的概念 11】 【考点2. 方程的解概念 12】 【考点3. 列方程 14】 【考点4. 一元一次方程的概念 18】 【考点5. 方程求参问题 20】 【考点6. 等式的性质 22】 【考点7. 等式性质的实际应用 27】 【课后作业 30】 知识清单：方程及方程的解 1、方程及方程的解 1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 注：在这一概念中要抓住方程定义的两个要点 ①等式；②含有未知数． 2）方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值 求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程，叫作解方程． 规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 巩固基础 1．下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程. 根据方程的定义，对各选项进行判断即可． 【详解】解：方程的定义是含有未知数的等式． A选项是等式，但不含未知数，不是方程． B选项是代数式，不是等式，不是方程． C选项是代数式，不是等式，不是方程． D选项是含有未知数的等式，符合方程的定义． 故选：D． 2．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 3．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个方程中，看对应方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； B、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边相等， ∴是方程的解，符合题意； C、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； D、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 4．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 把代入方程判断左右是否相等，即可得答案． 【详解】解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意； 故选D． 5．若是方程的解，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】把方程的解代入方程，等式成立，据此求出未知参数的值 ． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程可得： 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，解题关键是将方程的解代入方程，通过解方程求出未知参数的值． 6．方程的解是，则（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 将代入方程中，即可求解出的值． 【详解】解：由题可知，方程的解是， 将代入方程中，即， 解得：， 故选：D． 知识清单：根据实际问题列方程步骤 1、根据实际问题列方程步骤 1）分析实际问题中的数量关系； 2）设合适的未知数； 3）用含有未知数的等式表示数量关系； 4）列出方程. 巩固基础 1．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据实际售价-进价=利润，用代数式表示出售价，进价，利润即可解题． 【详解】解：设每件商品的进价为元，依题意得： ， 故选：C． 2．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 3．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设______，列方程为______． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 4．写出一个关于x的一元一次方程，使该方程的解为，则该方程可以是__________（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的一般形式，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程是解题关键．根据定义结合方程解的定义即可求解． 【详解】解：方程的解为， 该方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 5．一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 知识清单：一元一次方程 1、一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元），且未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程． 一元一次方程的通常形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 巩固基础 1．下列各式中是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是整式方程，依次对选项判断即可． 【详解】解：A、中含有x和y两个未知数，不是一元一次方程，∴A不符合要求； B、中未知数x的最高次数为2，不是一元一次方程，∴B不符合要求； C、中分母含有未知数x，不是整式方程，不是一元一次方程，∴C不符合要求； D、中，只含1个未知数x，x的最高次数为1，且是整式方程，是一元一次方程，∴D符合要求． 2．下列各式中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行判断，即可解答． 【详解】解：一元一次方程需满足：①是方程（含有等号），②只含一个未知数，③未知数的最高次数为1． 选项A：，是等式但无未知数，不是方程，不符合题意； 选项B：，有未知数但次数为2，不是一次方程，不符合题意； 选项C：，不是等式，不是方程，不符合题意； 选项D：，是等式，含一个未知数x，且次数为1，是一元一次方程，符合题意； 故选D． 3．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，根据一元一次方程的定义，构造出符合条件的方程即可． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 4．若是关于的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 知识清单：等式的基本事实与性质 1、等式的基本事实 1）等式两边可以交换。如果a=b，那么b=a。 2）相等关系可以传递。如果a=b，b=c，那么a=c。 2、等式的性质 1）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c 2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a=b，那么ac=bc ； 如果a=b，c≠0，那么 . 巩固基础 1．运用等式性质进行的变形，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式性质要求除数不能为零是解题的关键． 根据等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵ 等式性质要求除数不能为零， ∴ 选项D中若，则除法无意义，变形不正确，符合题意； 选项A、B、C均符合等式性质（两边加、减、乘同一数或式子，等式仍成立），正确，不符合题意． 故选D． 2．已知，下列各式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的两条基本性质逐一分析选项，判断式子是否一定成立即可． 【详解】解：∵， ∴根据等式的基本性质1（等式两边同时加上同一个数，等式仍成立），可得，故A选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴两边同时乘得，再根据等式基本性质1，两边同时加a得，故B选项一定成立，不符合题意． ∵， ∴根据等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，等式仍成立），可得，故C选项一定成立，不符合题意． 对于D选项，当时，分式和无意义，只有当时，根据等式基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才成立，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 3．等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，关键是结合天平操作判断对应的等式变形规则．观察图形可知，初始天平平衡代表，后续天平两边同时移除相同的砝码，对应等式两边同时减去同一个数，这符合等式的性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立． 【详解】解：观察图形，左边平衡的天平表示，右边天平是在两边同时加上一个相同的砝码，相当于等式两边同时加上同一个数，根据等式的性质1，等式两边同时加上(或减去)同一个数，等式仍然成立； 选项A是对等式两边平方，与图示操作无关； 选项B是等式两边乘同一个数，不符合图示的减法操作； 选项C是等式两边除以同一个不为0的数，也不符合图示； 选项D“若，则”体现了等式性质1中“同时加同一个数”的规则，和图示中“同时减同一个数”属于同一性质范畴． 故选：D． 4．如果，那么（_____）． 【答案】 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质进行求解即可． 【详解】解：由可知等式两边同时加上得：； 故答案为． 5．已知，利用等式的基本性质判断和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 利用等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，得结论． 【详解】解：等式同时减去，得， 等式的两边都除以，得，即 ∴， 故答案为：． 直击考点 【考点1：方程的概念】 例1．下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A. 是等式，但不含未知数，不是方程． B. 是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程． C. 是等式且含有未知数，满足方程的定义． D. 是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程． 故选：C． 变式1.下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握和运用一元一次方程的定义是解决本题的关键．根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，即可判定． 【详解】解：A．，中不含未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意； B．，不是等式，不是一元一次方程，故选项不符合题意； C．，不是等式，不是一元一次方程，故选项不符合题意； D．，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意； 故选：D． 变式2.在 ①，②，③，④中，方程有 __（填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 变式3.在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 【考点2：方程的解概念】 例1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 变式1.关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 变式2.___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 变式3.整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解等知识点，掌握等式的性质成为解题的关键． 根据由表格中的数据即可解答． 【详解】解：根据表格可知当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【考点3：列方程】 例1．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故选：D． 例2.根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （）设这个数为，根据题意列出方程即可； （）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可； （）设大约周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 变式1.如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要块黑皮，块白皮， 由题意得． 故选：． 变式2.根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式和列方程，正确理解题意列出对应的式子或方程是解题的关键． 【详解】解：A、a与5的和的3倍可以列式为，不能得到方程，不符合题意； B、甲数的3倍与乙数的2倍的和可以列式为（a、b分别代表甲、乙），不能得到方程，不符合题意； C、a与b的差的可以列式为，不能得到方程，不符合题意； D、一个数的5倍是18可以列式为（m代表这个数），能得到方程，符合题意； 故选：D． 变式3.由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列一元一次方程__________________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，依据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”即可列出一元一次方程. 【详解】解：由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列得： 故答案为： ． 变式4.根据图中给出的信息，可得正确的方程是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 变式5.根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重，便可以列出方程； （2）根据题意，可得数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克，结合所设，便可以得到方程； （3）根据列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了，可以列出相应的方程． 【详解】（1）解：根据数量关系：蓝鲸原来的体重+天增长的体重=总体重， 可得方程； （2）解：根据数量关系：个袋子中大米的质量+剩余的千克=千克， 可得到方程：； （3）解：根据数量关系：技术改造前运行时间-技术改造后运行时间=， 可得到方程：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，可以根据数量关系列出方程解答． 【考点4：一元一次方程的概念】 例1．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且未知数的次数是，这样的整式方程，叫一元一次方程”，判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数和，故此选项不符合一元一次方程的定义，不符合题意； B、，未知数的最高次数为，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； C、，只含有一个未知数，且未知数的次数为，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； D、，含有分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； 故选：C． 例2.下列方程中，___________是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程是只含一个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边都是整式且化简后一次项系数不为0的方程．根据一元一次方程的定义，逐一分析所给式子是否符合，从而确定一元一次方程的编号． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 变式1.下列方程中是一元一次方程的有（   ） ① ；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程需满足：只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程．逐一判断每个方程是否符合定义即可解题． 【详解】解：① ，未知数在分母上， 不是整式方程，故不是一元一次方程． ② ，含有两个未知数， 不是一元一次方程． ③ ，含有项，最高次数为2， 不是一元一次方程． ④ ，只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程． 是一元一次方程． 综上，只有1个一元一次方程． 故选A 变式2.一元一次方程的一次项是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程中，一次项为作答即可． 【详解】解：一元一次方程的一次项是． 故答案为：． 变式3.下列方程：①②③④⑤⑥ ．其中是一元一次方程的是___________．（请填写序号） 【答案】①②⑥ 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程；②是一元一次方程；③分母含未知数，不是一元一次方程；④含有两个未知数，不是一元一次方程；⑤中未知数的次数是2，不是一元一次方程；⑥是一元一次方程． ∴一元一次方程的是①②⑥． 故答案为：①②⑥． 【考点5：方程求参问题】 例1．如果关于x的方程的解是，那么a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据方程的解求参数，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选D． 例2.已知是关于的一元一次方程，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了判断是否是一元一次方程，解题关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，由此列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴的指数，且系数． ∵得， ∴或． 当时，， 系数为0，不符合条件； 当时，， 符合条件． 故答案为：． 变式1.已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了方程的整数解，正确求解方程是解题关键．解方程得到，根据x为正整数确定k的可能整数值． 【详解】解：解得：， 为正整数， 必须为正整数，即为4的正因数， 4的正因数有1、2、4， 对应、2、4， 解得、1、3， 整数k的可能值有3个. 故选C． 变式2.若关于的方程是一元一次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程要求只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，一次项系数不为，据此分析的取值范围． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，方程中， 一次项系数不能为 0，即，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题关键是明确一元一次方程中一次项系数不能为． 变式3.若关于x的方程是一元一次方程，那么________． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 根据一元一次方程的定义，二次项系数必须为零，且一次项系数不能为零，由此求解的值即可． 【详解】解：原方程化为． 根据题意得：且， ∴． 故答案为：． 变式4.若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． （1）根据一元一次方程的定义解答即可． （2）将，，分别代入即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知且， ∴且， ∴； （2）解：由（1）可知方程为． 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解； 把代入方程，得左边右边，∴是方程的解． 【考点6：等式的性质】 例1．下列各式进行的变形中，不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，掌握好等式的两条性质是关键． 根据等式的性质判断每个变形是否正确，注意除法性质中除数不能为零． 【详解】解：对于A，若，则，符合等式的性质1，故A正确； 对于B，若，则，符合等式的性质2，故B正确； 对于C，若，则，符合等式的性质1，故C正确； 对于D，当时，x和y不一定相等，故D不正确． 故选：D． 例2.用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则______；( ) （3）已知，则______；( ) （4）已知，则______．( ) 【答案】 等式的基本性质1 等式的基本性质1 等式的基本性质2 等式的基本性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，①等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式，②等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为)所得结果仍是等式． 【详解】解： ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去1，得； ，根据等式的基本性质1，方程两边同减去，得； ，根据等式的性质，方程两边同乘以，得； ，根据等式的性质，方程两边同除以，得． 故答案为： ，等式的基本性质1， ，等式的基本性质1， ，等式的基本性质2， ，等式的基本性质2 ． 例3.利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1解答即可； （2）根据等式的基本性质2解答即可； （3）根据等式的基本性质1和2解答即可； （4）根据等式的基本性质1和2解答即可． 【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：． （2）解：，等式两边同时除以得：． （3）解：，先两边同时减去得， 再同时乘以得：． （4）解：，先两边同时减去1得， 再同时除以得：． 变式1.下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，说法正确，该选项不符合题意； B、若，则或，原说法不正确，该选项符合题意； C、若，则，说法正确，该选项不符合题意； D、若，则，说法正确，该选项不符合题意； 故选：． 变式2.下列等式变形：①如果，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，则，其中变形正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了等式的基本性质．判断四个等式变形的正确性，需考虑分母是否为零及变形过程是否合理，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：变形①：若，则分母为零，等式无意义，故变形不正确； 变形②：若，则分母为零，等式无意义，故变形不正确； 变形③：由 得 ，而非 ，故变形不正确； 变形④：，分母恒不为零，故变形正确； ∴ 只有变形④正确，正确个数为1个． 故选：A 变式3.下列等式变形错误的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，需逐一验证各选项是否符合等式变形规则． 【详解】A．由，两边同时加1，得，符合等式性质，正确． B．由，两边同时乘5，得，符合等式性质，正确． C．由，两边同时减3，得，符合等式性质，正确． D．由，即．正确解法应为两边乘2，得，而非直接得出．选项D的变形未遵循等式运算规则，错误． 故选：D 变式4.（1）方程的两边都减去___________，得，这是根据等式的性质___________； （2）方程的两边都加上___________，得，这是根据等式的性质___________； （3）方程的两边都除以___________，得，这是根据等式的性质___________． 【答案】 1 8 1 2 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：（1）方程的两边都减去，得，这是根据等式的性质1； （2）方程的两边都加上8，得，这是根据等式的性质1； （3）方程的两边都除以，得，这是根据等式的性质2． 故答案为：，1，8，1，，2． 变式5.在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【答案】(1)二 (2)没考虑的情况 (3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据等式的性质判定即可； （3）根据等式的性质判定即可． 【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步， 故答案为：二； （2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理， ∴错误原因：没考虑的情况； （3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）． 【考点7：等式的性质的实际应用】 例1．能运用等式的性质说明图中事实的是（   ） A．若，则（a、b、c均不为0） B．若，则（a、b、c均不为0） C．若，则（a、b、c均不为0） D．若，则（a、b、c均不为0） 【答案】A 【分析】根据等式的性质，结合实物解答即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得若，则， 故选：A． 例2.如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是__________（用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解图形中的数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形列得，整理即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得： ， ∴， 即小长方形的长和宽的差是． 故答案为：． 变式1.如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：， 把代入， 得到：， 整理得：． 故选：C． 变式2.夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中______． a 9 5 b 8 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 变式3.有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示（），将它们拼成较大的长方形，共有如图2的三种不同的方式． (1)用含a，b的式子表示： 方式一拼成的大长方形的周长：______； 方式二拼成的大长方形的周长：______； 方式三拼成的大长方形的周长：______． (2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大． (3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a和b之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，等式的性质，掌握等式的加减法法则和等式的性质是解答本题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式即可； （2）用作差法比较大小即可； （3）由（2）可知只能是方式二和方式三的周长相等，据此列式求解即可． 【详解】（1）方式一拼成的大长方形的周长：； 方式二拼成的大长方形的周长：； 方式三拼成的大长方形的周长： 故答案为：；；； （2） ， ， 所以，，即最大． （3）由（2），得，即， 所以． 课后作业 1．（25-26六年级下·山东威海·期中）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，依此逐个判断每个方程即可． 【详解】解：①，∵分母含有未知数，不是整式方程，∴不是一元一次方程； ②，∵只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，∴是一元一次方程； ③，∵只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，∴是一元一次方程； ④，∵未知数的最高次数为2，∴不是一元一次方程； ⑤，∵含有2个不同未知数，∴不是一元一次方程； 综上，一元一次方程共有2个． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）根据等式的性质，下列各式变形一定正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵若，当时，不一定成立，∴A变形错误； B、∵若，等式两边同时减，可得，符合等式性质1，∴B变形正确； C、∵若 ，等式两边同时乘，可得，∴C变形错误； D、∵若，移项可得，∴D变形错误． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出x的，再根据题意可知与的差为，据此列方程即可． 【详解】解：∵的可表示为，题意为“比它的多”，即与的差为， ∴可列方程为 ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列四个式子中，不是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A： 满足定义，是一元一次方程，不符合题意； 对于选项B：满足定义，是一元一次方程，不符合题意； 对于选项C：满足定义，是一元一次方程，不符合题意； 对于选项D：中，不是整式，不满足整式的要求，该方程不是一元一次方程，符合题意． 5．（25-26六年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A．1 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】把代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得：． 6．（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 7．（25-26七年级下·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 8．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：对于A选项，，等式两边同时加2， ，变形正确； 对于B选项，，分式有意义说明，等式两边同时乘， ，变形正确； 对于C选项，若，当时，无论取何值等式都成立，无法推出，变形错误； 对于D选项，，，等式两边同时除以， ，变形正确； 因此不正确的变形是选项C． 9．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式的性质：性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需根据等式的两条基本性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：A、由两边除以，得，A选项变形正确，不符合题意； B、，即，由两边乘，得，B选项变形正确，不符合题意； C、由两边减6，得，C选项变形正确，不符合题意； D、当时，成立，但此时，故由直接得出是错误的，D选项变形错误，符合题意． 故选：D． 10．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，代数式求值，根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，分别列出等式，进而得出，，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个小三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 11．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数为，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得． 12．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程，则______． 【答案】1 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数次数为1且一次项系数不为0，据此列关系式求解即可． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·四川眉山·期中）代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 【详解】解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． 14．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 【答案】7 【分析】根据定义列出关于m的等式与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，可得， 解，得或， 解得或， 由，得， 因此． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某同学在书写化学方程式时，不慎将墨水滴落在“”上，请你帮助该同学计算出被遮盖的数是______． 【答案】4 【分析】根据等量关系求解． 【详解】解：由得的个数为， ∴被遮盖的数是4． 16．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 18．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 19．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将三个式子相加可得，从而得出，，表示出，结合是正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 20．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． 21．（2026·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 【答案】C 【分析】设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为，由题意得到关于的方程组，求出，然后作差表示出即可得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为， 则， 由①②③④⑤得， 则， ， ， ， ， ， ， 这五张卡片上数字最大的是C． 22．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 23．（25-26六年级下·全国·课后作业）规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用等式性质解方程，新定义运算，理解题意，列出方程，是解题的关键．先根据新定义得出方程，然后利用等式的性质，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 等式两边都乘3，得； 等式两边都减6，得； 等式两边都除以2，得． 24．（25-26七年级上·广西玉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 25．（25-26七年级上·山东德州·月考）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 【详解】解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 26．（25-26七年级上·山西大同·月考）下面是年年同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：…第一步， 去括号：…第二步， 移项：…第三步， 合并同类项：…第四步， 系数化1：…第五步． (1)以上解题过程中，第一步进行的操作是：________，其依据是________； (2)年年从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (3)请写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)去分母，等式的基本性质 (2)三，移项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据等式的基本性质，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，逐一判断即可解答； （3）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步是进行了去分母，依据等式的基本性质进行变形的， 故答案为：去分母，等式的基本性质； （2）解：从第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三，移项没有变号； （3）解：正确解答过程如下： 方程：， 去分母，等式两边同时乘以6：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化1：． 27．（25-26七年级上·广东惠州·月考）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得      ① 去括号，得      ② 移项，得        ③ 合并同类项，得           ④ 系数化为1，得            ⑤ (1)该同学求解过程中，步骤去分母的依据是____________________； (2)该同学的解答过程在第__________步开始就出现错误；（填写对应编号） (3)请你写出此方程的正确解答过程． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)① (3)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意即可得去分母的依据； （2）认真观察解题过程，得出去分母的过程中，等号右边的没有乘，即可作答． （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可知，去分母的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：观察解方程的过程，在第①步开始就出现错误，去分母的过程中，等号右边的没有乘， 故答案为：①； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 28．（25-26七年级上·北京·期末）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 01讲 方程目录 【知识点1. 方程及方程的解 1】 【知识点2. 根据实际问题列方程步骤 2】 【知识点3. 一元一次方程 3】 【知识点4. 等式的基本事实 3】 【知识点5. 等式的性质 3】 【考点1. 方程的概念 4】 【考点2. 方程的解概念 5】 【考点3. 列方程 5】 【考点4. 一元一次方程的概念 7】 【考点5. 方程求参问题 8】 【考点6. 等式的性质 8】 【考点7. 等式性质的实际应用 10】 【课后作业 11】 知识清单：方程及方程的解 1、方程及方程的解 1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 注：在这一概念中要抓住方程定义的两个要点 ①等式；②含有未知数． 2）方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值 求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程，叫作解方程． 规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 巩固基础 1．下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 5．若是方程的解，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．方程的解是，则（    ） A．2 B． C． D．6 知识清单：根据实际问题列方程步骤 1、根据实际问题列方程步骤 1）分析实际问题中的数量关系； 2）设合适的未知数； 3）用含有未知数的等式表示数量关系； 4）列出方程. 巩固基础 1．现某商品每件的标价是550元，按标价的八折出售，仍可获利，则该商品每件的进价是多少元？设每件商品的进价为元，下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 3．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设______，列方程为______． 4．写出一个关于x的一元一次方程，使该方程的解为，则该方程可以是__________（写一个即可） 5．一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为________． 知识清单：一元一次方程 1、一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元），且未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫一元一次方程． 一元一次方程的通常形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 巩固基础 1．下列各式中是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．写出一个一元一次方程，满足下列要求：①方程的解为；②未知数的系数不能为1，这个方程可以是______． 4．若是关于的一元一次方程，则的值为______． 知识清单：等式的基本事实与性质 1、等式的基本事实 1）等式两边可以交换。如果a=b，那么b=a。 2）相等关系可以传递。如果a=b，b=c，那么a=c。 2、等式的性质 1）等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c 2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 如果a=b，那么ac=bc ； 如果a=b，c≠0，那么 . 巩固基础 1．运用等式性质进行的变形，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，下列各式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．等式就像平衡的天平，下列选项能刻画如图事实的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如果，那么（_____）． 5．已知，利用等式的基本性质判断和的大小关系是_________． 直击考点 【考点1：方程的概念】 例1．下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1.下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 变式2.在 ①，②，③，④中，方程有 __（填序号）． 变式3.在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【考点2：方程的解概念】 例1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 变式1.关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 变式2.___________（填“是”或“不是”）方程的解 变式3.整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是________． 【考点3：列方程】 例1．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 例2.根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 变式1.如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 变式2.根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 变式3.由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列一元一次方程__________________． 变式4.根据图中给出的信息，可得正确的方程是______． 变式5.根据下列情境中的等量关系列一个等式． (1)一头半岁的蓝鲸体重为，90天后体重为30.1t．设蓝鲸体重平均每天增加． (2)把50kg大米分装在3个同样大小的袋子里，装满后还剩余5kg．设每个袋子可装大米． (3)甲、乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从提高到，运行时间缩短了2h．设甲、乙两城市间的路程为． 【考点4：一元一次方程的概念】 例1．下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 例2.下列方程中，___________是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 变式1.下列方程中是一元一次方程的有（   ） ① ；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2.一元一次方程的一次项是______． 变式3.下列方程：①②③④⑤⑥ ．其中是一元一次方程的是___________．（请填写序号） 【考点5：方程求参问题】 例1．如果关于x的方程的解是，那么a的值为（ ） A． B． C． D． 例2.已知是关于的一元一次方程，则的值是_____． 变式1.已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式2.若关于的方程是一元一次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3.若关于x的方程是一元一次方程，那么________． 变式4.若方程是关于x的一元一次方程． (1)求k的值； (2)判断，，是否是方程的解． 【考点6：等式的性质】 例1．下列各式进行的变形中，不正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2.用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并在题后的括号内写出变形的依据． （1）已知，则( )；( ) （2）已知，则______；( ) （3）已知，则______；( ) （4）已知，则______．( ) 例3.利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1.下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2.下列等式变形：①如果，那么；②如果，且，那么；③如果，那么；④如果，则，其中变形正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3.下列等式变形错误的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 变式4.（1）方程的两边都减去___________，得，这是根据等式的性质___________； （2）方程的两边都加上___________，得，这是根据等式的性质___________； （3）方程的两边都除以___________，得，这是根据等式的性质___________． 变式5.在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步） 所以（第二步） ． (1)等式变形产生错误的步骤是第 步． (2)产生错误的原因是什么？ (3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可． 【考点7：等式的性质的实际应用】 例1．能运用等式的性质说明图中事实的是（   ） A．若，则（a、b、c均不为0） B．若，则（a、b、c均不为0） C．若，则（a、b、c均不为0） D．若，则（a、b、c均不为0） 例2.如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长和宽的差是__________（用含a，b的式子表示） 变式1.如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 变式2.夏禹时代的“河图洛书”被视为中华文明之源．河图主要代表天文，洛书则主要代表地理方位．其中，“洛书”所呈现的数字排列方式，与三阶幻方有相似之处，其实际数学意义就是它每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则如图所示的幻方中______． a 9 5 b 8 变式3.有4张相同的长方形纸片，各边长如图1所示（），将它们拼成较大的长方形，共有如图2的三种不同的方式． (1)用含a，b的式子表示： 方式一拼成的大长方形的周长：______； 方式二拼成的大长方形的周长：______； 方式三拼成的大长方形的周长：______． (2)试说明方式一拼成的大长方形的周长最大． (3)如果这三种方式拼成的大长方形中有两个大长方形的周长相等，请求出a和b之间的数量关系． 课后作业 1．（25-26六年级下·山东威海·期中）下列方程：①；②；③；④；⑤．其中一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）根据等式的性质，下列各式变形一定正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）用方程表示“x比它的多3”正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列四个式子中，不是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·山东青岛·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A．1 B． C．11 D． 6．（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 7．（25-26七年级下·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26七年级上·河南信阳·期末）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 10．（25-26七年级上·河北唐山·期末）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．就是我们今天的幻方．三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D．0 11．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 12．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若是关于x的一元一次方程，则______． 13．（25-26七年级下·四川眉山·期中）代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 14．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某同学在书写化学方程式时，不慎将墨水滴落在“”上，请你帮助该同学计算出被遮盖的数是______． 16．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 17．（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 18．（25-26七年级上·河北邯郸·月考）已知是方程的解，则_____ ． 19．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 20．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为______． 21．（2026·湖南长沙·一模）在数学游艺会上，小宁负责一个游戏项目，他准备了50张同样的卡片，上面分别写有．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下，按逆时针方向围成一圈，放置在桌上（如图），将这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．小宁依次将每张卡片与它逆时针方向每隔一张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是小宁抽取的五张卡片中按游戏规则得到的两张卡片上的数的和． 卡片组合 B，D C，E D，A E，B A，C 两数的和 75 70 65 59 77 则这五张卡片上数字最大的是_____________（填A，B，C，D，E） 22．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于的方程的解是，求的值． 23．（25-26六年级下·全国·课后作业）规定：*为一种新运算，对任意的有理数，，有，若，试用等式的性质求的值． 24．（25-26七年级上·广西玉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 25．（25-26七年级上·山东德州·月考）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 26．（25-26七年级上·山西大同·月考）下面是年年同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：…第一步， 去括号：…第二步， 移项：…第三步， 合并同类项：…第四步， 系数化1：…第五步． (1)以上解题过程中，第一步进行的操作是：________，其依据是________； (2)年年从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (3)请写出该方程的正确解答过程． 27．（25-26七年级上·广东惠州·月考）下面是某同学解方程的过程，请仔细阅读，并完成以下任务 解方程：． 解：去分母，得      ① 去括号，得      ② 移项，得        ③ 合并同类项，得           ④ 系数化为1，得            ⑤ (1)该同学求解过程中，步骤去分母的依据是____________________； (2)该同学的解答过程在第__________步开始就出现错误；（填写对应编号） (3)请你写出此方程的正确解答过程． 28．（25-26七年级上·北京·期末）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $