第3章　勾股定理 课件 2025-2026学年数学苏科版八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习课件系统梳理了勾股定理及其逆定理、勾股数的概念，以及在最短路径、折叠问题、动点问题等场景中的应用。通过选择题、填空题、解答题等题型将知识点串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础的勾股数判断到综合的动点问题，如将筷子在圆柱中的长度问题转化为直角三角形模型，培养学生的几何直观和模型意识。这种设计兼顾不同水平学生，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

第3章　勾股定理 一、选择题(每小题6分,共42分) 1.(2025江苏常州武进月考)在下列条件中,△ABC不是直角三 角形的是 ( ) A.b2=a2-c2 B.a2∶b2∶c2=1∶3∶2 C.∠A+∠B=∠C D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5     D     解析    A.∵b2=a2-c2,∴b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形; B.∵a2∶b2∶c2=1∶3∶2,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形; C.∵∠A+∠B=∠C,∴∠C= ×180°=90°, ∴△ABC是直角三角形; D.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5, ∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°, ∴△ABC不是直角三角形.故选D. 2.(2025江苏无锡江阴期中)下列各组数中,是勾股数的是( ) A.6,8,12　    B.0.6,0.8,1 C.8,15,16　    D.9,12,15 D 解析　∵62+82≠122,∴6,8,12不是一组勾股数; ∵0.6,0.8不是正整数,∴0.6,0.8,1不是一组勾股数; ∵82+152=172≠162,∴8,15,16不是一组勾股数; ∵92+122=152,且三个数均是正整数,∴9,12,15是一组勾股数. 故选D. 3.已知一个直角三角形的两边长分别为12和13,则第三边长的 平方是 ( ) A.25　    B.5 C.313　    D.25或313     D     解析　①当12和13为直角边长时,斜边长的平方=122+132= 313;②当13为斜边长时,第三边长的平方=132-122=25. ∴第三边长的平方是25或313.故选D. 4.(2023天津中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心, 大于 AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交 于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若 BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为     ( ) A.9　    B.8　    C.7　    D.6     D     解析　根据题意,得MN是AC的垂直平分线, ∴AC=2AE=8,DA=DC,∴∠DAC=∠C. ∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD. ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°, ∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°, ∴∠BAC=90°. 在Rt△ABC中,∵BD=CD,AD=5,∴BC=2AD=10, ∴AB2=BC2-AC2=102-82=36,∴AB=6.故选D. 5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D是斜 边AB上的动点,则CD长的最小值为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     解析　在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13, ∴AC2=AB2-BC2=132-52=144,∴AC=12. 当CD⊥AB时,CD的长最小,为 = = .故选A. 6.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为15 cm,高8 cm的圆柱 形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围 是     ( ) A.h≤17　    B.h≥8 C.15≤h≤16　    D.7≤h≤16     D     解析　如图1所示,当筷子的底端在D点时,筷子露在杯子外面 的长度最大, ∴h最大=24-8=16(cm),   如图2所示,当筷子的底端在A点时, 筷子露在杯子外面的长度最小, 图1　 　     图2 在Rt△ABD中,AD=15 cm,BD=8 cm, ∴AB= = =17(cm), ∴h最小=24-17=7(cm), ∴h的取值范围是7≤h≤16. 故选D. 7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若 P,Q分别是BD,AB上的动点,则PA+PQ的最小值是 ( ) A.2.4　    B.4.8 C.4　    D.5 B 解析     如图,作点Q关于直线BD的对称点Q',∵BD平分∠ABC, ∴点Q'在BC上,连接PQ',则PA+PQ的最小值即为PA+PQ'的 最小值,∴当A,P,Q'三点共线且AQ'⊥BC时,PA+PQ的值最小, 过点A作AM⊥BC于点M,则PA+PQ的最小值即为AM的长. ∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC2=BC2-AB2=102-62=82,∴AC =8,∵S△ABC= BC·AM= AB·AC,∴AM= = =4.8.故选B. 二、填空题(每小题6分,共18分) 8.(2025江苏南京秦淮期末)如图,南京地铁公安监控区域的警 示图标中,摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB,BC两段构 成,若BC段长度为8 cm,点A,C之间的距离比AB段长2 cm,则AB 段的长度为_______cm. 15　     解析　连接AC(图略). 由题意知∠ABC=90°,BC=8 cm,设AB=x cm,则AC=(x+2)cm, 由勾股定理得AB2+BC2=AC2,所以x2+82=(x+2)2,解得x=15, 所以AB=15 cm. 故答案为15. 9.(2023湖北随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC =6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=______. 5　     解析     如图,过点D作DE⊥AB于点E. ∵∠C=0°,∴CD⊥BC. ∵BD是∠ABC的平分线,CD⊥BC,DE⊥AB, ∴CD=DE. 在Rt△BCD和Rt△BED中,  ∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BC=BE=6. 在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=82+62=100, ∴AB=10,∴AE=AB-BE=10-6=4. 设CD=DE=x,则AD=AC-CD=8-x. 在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2, ∴42+x2=(8-x)2,解得x=3, ∴AD=8-x=5.故答案为5. 10.(2025江苏南通启东月考)勾股定理是人类最伟大的科学发 现之一.如图1,以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方 形,再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大的正方形 中,三个阴影部分面积分别记为S1,S2,S3,若已知S1=2,S2=5,S3=8, 则两个较小正方形重叠部分(四边形DEFG)的面积为_______. 15　     解析　设直角三角形的斜边长为a,较长直角边的长为c,较短 直角边的长为b,由勾股定理得,a2=c2+b2, ∴a2-c2-b2=0, ∴S阴影=a2-c2-(b2-S四边形DEFG)=a2-c2-b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG. ∴S四边形DEFG=S1+S2+S3=2+5+8=15. 三、解答题(共40分) 11.(2025江苏扬州广陵期中)(12分)在△ABC中,AB=AC=10,BC =16.点D是BC的中点,点E是线段BD上的动点,过点E作EF⊥ BD交AB于点F.连接AE,若∠AEF=∠B. (1)求证:AE⊥AC. (2)求DE的长. 解析    (1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵EF⊥BD,∴∠AEF+∠AED=90°, ∵∠AEF=∠B,∠B=∠C,∴∠C+∠AED=90°, ∴∠EAC=90°,∴AE⊥AC. (2)∵∠EAC=90°,∴AE2+AC2=CE2, ∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴BD=DC= ×16=8,AD⊥BC, ∵CE=CD+DE=DE+8, ∴AE2=CE2-AC2=(DE+8)2-102, 在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD= = =6, 在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2=62+DE2, ∴(DE+8)2-102=62+DE2,解得DE=4.5. 12.(12分)为落实全民健身国家战略,推动健康中国建设,泰州 市体育局组织了一系列体育赛事,其中半程马拉松(21.097 5 公里)是泰州市众多市民热爱的一项运动.泰州半程马拉松比 赛赛道穿越泰州主城区,串联了天德湖公园、人民广场、老 街、梅园、凤城河、光孝寺等城市地标及人文景观.小明家 住在补给点C处,如图,他发现补给点A,B,C组成一个三角形,青 年路的一段BD恰好与边AC垂直,垂足为D.若AD=2千米,BD= 4千米,小明用速度为每分钟1千米的无人机M紧贴地面从C处 出发沿着线段CA匀速飞行,用了10分钟到达终点A处. (1)试判断△ABC的形状,并说明理由. (2)若N是CM的中点,连接BM,BN,设M的运动时间为t(t>0)分钟. 是否存在t值,使得BM=BN?若存在,求出t的值;若不存在,请说 明理由. 解析    (1)△ABC是直角三角形.理由如下: 由题意得AC=10千米, ∵AD=2千米,∴CD=8千米. ∵BD⊥AC,∴AB2=AD2+BD2=20,BC2=BD2+CD2=80. 又∵AC2=100,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形. (2)不存在.理由:当M在CD上时,显然BM≠BN.当M在AD上时, 由题意得CM=t千米,CN= t千米,DN= 千米, DM=(t-8)千米, 若BM=BN,则DM=DN,即t-8=8- t,解得t= >10,故不存在t值, 使得BM=BN. 13.(2025江苏苏州相城月考)(16分)如图,△ABC中,∠B=90°, BC=6 cm,AB=8 cm,点P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P 从点A开始沿A→B运动且速度为每秒2 cm,点Q从点B开始沿B →C→A运动,在BC边上的运动速度是每秒3 cm,在AC边上的 运动速度是每秒5 cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点 时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒. (1)当t=1时,S△BPQ=_____. (2)若△ABQ的面积是△ABC面积的 ,求t的值. (3)若PQ将△ABC的周长分为5∶7的两部分,求t的值. 解析    (1)当t=1时,AP=2 cm,BQ=3 cm, 则BP=8-2=6(cm), ∴S△BPQ= BP·BQ= ×6×3=9(cm2). 故答案为9 cm2. (2)S△ABC= AB·BC= ×8×6=24(cm2), ∵S△ABQ= S△ABC,∴S△ABQ= ×24=6(cm2), 当Q在BC上时, ×8×3t=6,∴t= . 当Q在AC上时,∵S△ABQ= S△ABC,∴AQ= AC, 根据勾股定理得AC= =10 cm, ∴AQ=  cm,∴CQ=10- = (cm). 点Q在BC上运动6÷3=2(秒),在AC上运动的时间为 ÷5=  (秒),∴t=2+ = . 答:当t= 或 时,△ABQ的面积是△ABC面积的 . (3)△ABC的周长=AB+BC+AC=8+6+10=24, PQ将△ABC的周长分为5∶7的两部分, 当Q点在BC上时(t≤2),分两种情况:①PB+BQ= ×24,②PB+ BQ= ×24, 对于①,(8-2t)+3t= ×24=10,解得t=2, 对于②,(8-2t)+3t= ×24=14, 解得t=6(舍去), 当Q点在AC上时(2<t≤4),分两种情况:①BP+BC+CQ= ×24, ②BP+BC+CQ= ×24, 即8-2t+6+5(t-2)=10,8-2t+6+5(t-2)=14, 解得t=2(舍去)或t= . 综上,t=2或 时,PQ将△ABC的周长分为5∶7的两部分. $