3.3 勾股定理的简单应用提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

3.3 勾股定理的简单应用提优卷2025-2026学年苏科版七年级数学上册 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 3．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 7．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 二．填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为　 　 ． 10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为　 　 mm． 11．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是　 　 cm． 12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　 　 步路．（假设2步为1米） 13．如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　 　 cm高． 14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　 　 米． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　 　 米． 16．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　 　 m． 三．解答题（共10小题，共102分） 17．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度． 18．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 19．八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE， 他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 20．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米． （1）这个云梯的底端离墙多远？ （2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 21．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 22．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 23．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积． 24．我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m． （1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 25．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝　 　 米． （2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°． ①求∠MPN的度数； ②求丙房间的宽AB． 26．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD＝　 　 ， S△EBC＝　 　 ， S四边形AECD＝　 　 ， 则它们满足的关系式为 　 　 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 　 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16） 3.3 勾股定理的简单应用提优卷2025-2026学年苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A C A B C 一．选择题（共8小题） 1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故选：D． 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m， 小树高为CD＝4m， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m， 在Rt△AEC中，AC10（m）， 故小鸟至少飞行10m． 故选：B． 3．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝4cm，CD＝3cm； 根据勾股定理，得：AD5cm； ∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm； 故橡皮筋被拉长了2cm． 故选：A． 4．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．17m B．18m C．25m D．26m 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5＝17（米）． 故选：A． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米， ∴AB2＝0.72+2.42＝6.25． 在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2， ∴BD2+22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0， ∴BD＝1.5米， ∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）． 故选：C． 6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 【解答】解：依题意，AC＝24，BC＝7cm， 在Rt△ABC中，cm， ∵AB＝AD＝25，DE＝20， 在Rt△ADE中，cm， 故选：A． 7．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m， ∴AB（m）， ∵AC′＝10m，B′C′＝8m， ∴AB′（m）， ∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）； 故选：B． 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OECD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， 即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为x2+62＝（10﹣x）2 ． 【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2． 故答案为：x2+62＝（10﹣x）2． 10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为　150　 mm． 【解答】解：∵AC＝150﹣60＝90mm，BC＝180﹣60＝120mm， ∴ABmm． 11．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是　5　 cm． 【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为10cm， 盒子的对角线长：20cm， 细木棒长25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25﹣20＝5cm． 故答案为：5． 12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 　8　 步路．（假设2步为1米） 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m， ∴AB10（m）， 则（8+6﹣10）×2＝8， ∴他们仅仅少走了8步， 故答案为：8． 13．如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起　82　 cm高． 【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，对角线的长度为c， ∵a＝80cm，b＝18cm， ∴c82cm． 故最多可将这扇卷闸门撑起82cm． 14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　10　 米． 【解答】解：如图，设大树高为AB＝12m， 小树高为CD＝6m， 过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6（m）， 在Rt△AEC中， AC10（m）． 故小鸟至少飞行10m． 故答案为：10． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少　5　 米． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ∵圆柱高4米，底面周长1米 x2＝（1×3）2+42＝9+16＝25 所以，花圈长至少是5m． 16．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　2.5　 m． 【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形， ∴CE＝BF＝1m， ∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m）， 设绳索AD的长为xm， 则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣0.5）2+1.52＝x2， 解得：x＝2.5（m）， 即绳索AD的长是2.5m， 故答案为：2.5． 三．解答题（共10小题） 17．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B25m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度． 【解答】解：根据图中数据，由勾股定理可得： AB60（米）． ∴该河流的宽度为60米． 18．某单位有一块四边形的空地，∠B＝90°，量得各边的长度如图（单位：米）．现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 【解答】解：连接AC， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52， 在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122， ∵52+122＝132， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴∠DAC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△BAC+S△DACAB•BCAC•AD3×45×12＝36cm2， ∵36×30＝1080（元）， ∴这块地全部种草的费用是1080元 19．八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE， 他们进行了如下操作： （1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米． （3）牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE． 【解答】解：在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝±20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6米， 答：风筝的高度CE为21.6米． 20．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米． （1）这个云梯的底端离墙多远？ （2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？ 【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米， 由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2 解得：OB＝20， 答：这个云梯的底端离墙20米远； （2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米， 根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米， 由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：， ∴BD＝24﹣20＝4米， 答：梯子的底部在水平方向滑动了4米． 21．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【解答】解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45， 在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴BC⊥CD． 故该车符合安全标准． 22．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时， ∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里， ∴在Rt△AOB中，AO18， ∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里． 23．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积． 【解答】解：连接AC， 已知，在直角△ACD中，CD＝9m，AD＝12m， 根据AD2+CD2＝AC2，可以求得AC＝15m， 在△ABC中，AB＝39m，BC＝36m，AC＝15m， ∴存在AC2+CB2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， 要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可， S＝S△ABC﹣S△ACDAC•BCCD•AD， 15×369×12， ＝270﹣54， ＝216m2， 答：这块地的面积为216m2． 24．我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m． （1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【解答】解：（1）△OCP≌△QDO，理由如下： ∵QD⊥BD，PC⊥BD， ∴∠QDO＝∠OCP＝90°， ∵∠POQ＝90°， ∴∠DOQ+∠Q＝90°＝∠DOQ+∠COP， ∴∠Q＝∠COP， 又∵OQ＝PO， ∴△OCP≌△QDO（AAS）； （2）∵△OCP≌△QDO， ∴QD＝OC， ∵小丽到点Q，且小丽距离地面20m， ∴BD＝20m， 又∵AB＝10m，OA＝50m， ∴OD＝40m， ∴， ∴OC＝QD＝30m， ∴CD＝OD﹣OC＝10m， ∴两人所在座舱距离地面的高度差为10m． 25．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝　3.2　 米． （2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°． ①求∠MPN的度数； ②求丙房间的宽AB． 【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米， ∴PM2， ∵PB＝PM＝2， ∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米， 故答案为：3.2； （2）∵∠MPN＝90°， ∴∠APM+∠BPN＝90°， ∵∠APM+∠AMP＝90°， ∴∠AMP＝∠BPN． 在△AMP与△BPN中，， ∴△AMP≌△BPN， ∴MA＝PB＝2.4， ∵PA0.7， ∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1； （3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°； ②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM． 设AB＝x，且AB＝ND＝x． ∵梯子的倾斜角∠BPN为45°， ∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°． ∵∠APM＝75°， ∴∠AMP＝15°． ∴∠DNM＝∠AMP， ∵△PNM为等边三角形， ∴NM＝PM． ∴△AMP≌△DNM（AAS）， ∴AM＝DN， ∴AB＝DN＝AM＝2.8米， 即丙房间的宽AB是2.8米． 26．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD＝　a（a+b）　 ， S△EBC＝　b（a﹣b）　 ， S四边形AECD＝　c2 ， 则它们满足的关系式为 　a（a+b）b（a﹣b）c2 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　41　 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16） 【解答】解：【小试牛刀】S梯形ABCDa（a+b）， S△EBCb（a﹣b）， S四边形AECDc2， 则它们满足的关系式为：a（a+b）b（a﹣b）c2 故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）b（a﹣b）c2． 【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴BC＝AE，CE＝AB， ∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米， ∴CD41（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）如图2②所示： 设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米． 【知识迁移】：如图3， 代数式的最小值为：20． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/2 23:55:56；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $