2 一元二次方程根的分布以及简单的恒成立、有解问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次方程根的分布及恒成立、有解问题，以函数与方程思想为主线，整合零点、判别式、韦达定理等基础知识点，通过典型例题分类讲解根的正负、区间分布等问题，结合分层练习（选择、填空、解答题），形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的系统复习流程，助力学生突破难点。 讲义突出数学思维与模型观念的培养，如根的分布问题中引导学生通过二次函数图像分析判别式、对称轴、端点函数值等条件构建不等式组，强化逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的梯度练习，配合即时反馈，确保高效复习，帮助学生提升解题规范性与效率，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

2一元二次方程根的分布以及简单的恒成立、有解问题 (一)一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。 一、基本知识储备 1. 函数的零点：若 与 轴有交点 1. 判别式： ；求根公式： 1. 韦达定理： ； 1. 二次函数对称轴 ，最值坐标 1. 一元二次不等式的恒成立问题思路方法：(1)首先判断二次项系数 是否为0；不等式 对任意实数 恒成立 或 不等式 对任意实数 恒成立 或 (2)一元二次不等式 对任意实数 恒成立的条件是 (3)一元二次不等式 对任意实数 恒成立的条件是 二、典型例题 例1. 关于 的一元二次方程 (1)若此方程有两个实数根，求 的取值范围。 (2)若此方程有两正根，求 的取值范围。 (3)是否存在 的值使得此方程有两负根。 (4)是否存在 的值使得此方程有一正根，一负根。 (5)若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比3小，求字母 的取值范围。 (6)若此方程有两个实数根，两根都比1大，求字母 的取值范围。 (7)若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比1小，求字母 的取值范围。 例2. 若一元二次方程 的两根都是负数，求 的取值范围 例3. 已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围 例4. 若关于 的方程 的一根小于1，另一根大于1，那么实数 的取值范围是 例5. 已知使不等式 成立的任意一个 ，都满足不等式 ，则实数 的取值范围为 例6. 关于 的方程 至少有一个负根的充要条件是 A.    B.    C.    D. 一、一元一次不等式在区间上恒成立 对于一次函数 有： 恒成立， 恒成立 例1. 若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围( ) 例2. 若 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是( ) 例3. 已知 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为( ) 例4. 已知 . (1) 如果 ， 恒成立，求实数 的取值范围？ (2) 如果 ，使 成立，求实数 的取值范围？ 二、一元二次不等式在 上恒成立： 对于一元二次函数 有： 1. 在 上恒成立 且 ； 1. (2) 在 上恒成立 且 例1. 若不等式 的解集是 ，求 的范围。 例2. 若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是( ) 例3. 若不等式 的解集为实数集 ，则实数 的取值范围为( ) 例4. 已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是( ) 例5. 已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是( ) 三、一元二次不等式在区间上恒成立； 设 (1)当 时， 在 上恒成立 或 或 ； 在 上恒成立 . (2)当 时， 在 上恒成立 ； 在 上恒成立 或 或 . (3)不等式恒成立求参数也可以采用参变分离，有解问题依旧可以转换为恒成立问题。 参变分离：用变量表示参数，如： 例1：函数 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是( ) 例2. 若不等式 ，在 存在实数解，则 的取值范围( ) A.    B.    C.    D. 例3. 若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围( ) A.    B.    C.    D. 巩固练习 一、单选题 1．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 4．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 二、多选题 7．已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 8．已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 9．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 三、概念填空 10．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 四、填空题 11．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 12．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 13．方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 14．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 五、解答题 15．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 16．关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围． 17．已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)当时，求的解集； (2)若均为正根，求实数的取值范围； (3)求使的值为整数的的整数值； 18．已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 19．已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 20．已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 21．设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 22．已知二次函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数y的最小值为，求实数a的值； (3)若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2一元二次方程根的分布以及简单的恒成立、有解问题 (一)一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图像性质问题，它应用上的广泛性和灵活性是高考的热点。根据初中所学知识，已知方程的根可以确定方程中字母系数的值，同理已知方程根的范围也可以确定方程中字母系数的范围，对于一元二次方程可结合图像，函数与方程根的关系，将问题转化为解关于字母系数的不等式组的问题。 一、基本知识储备 1. 函数的零点：若 与 轴有交点 1. 判别式： ；求根公式： 1. 韦达定理： ； 1. 二次函数对称轴 ，最值坐标 1. 一元二次不等式的恒成立问题思路方法：(1)首先判断二次项系数 是否为0；不等式 对任意实数 恒成立 或 不等式 对任意实数 恒成立 或 (2)一元二次不等式 对任意实数 恒成立的条件是 (3)一元二次不等式 对任意实数 恒成立的条件是 二、典型例题 例1. 关于 的一元二次方程 (1)若此方程有两个实数根，求 的取值范围。 (2)若此方程有两正根，求 的取值范围。 (3)是否存在 的值使得此方程有两负根。 (4)是否存在 的值使得此方程有一正根，一负根。 (5)若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比3小，求字母 的取值范围。 (6)若此方程有两个实数根，两根都比1大，求字母 的取值范围。 (7)若此方程有两个实数根，一根比3大，一根比1小，求字母 的取值范围。 解析 (1) (2) 或 例2. 若一元二次方程 的两根都是负数，求 的取值范围 解： 由题意可得： 或 从而解得： 或 例3. 已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范围 解析： ① 当 时，；② 当 时， 综上： 即： 例4. 若关于 的方程 的一根小于1，另一根大于1，那么实数 的取值范围是 解析： 令 ，只需 例5. 已知使不等式 成立的任意一个 ，都满足不等式 ，则实数 的取值范围为 解析： 解不等式 得 不等式 的解集是 的子集，由 得 ：① 当 时， 符合题意；② 当 时， 则 所以 ③ 当 时， 符合，所以 ；综上 的取值范围为 例6. 关于 的方程 至少有一个负根的充要条件是 A.    B.    C.    D. 解析： 当 时，方程为 此时方程的根为负根；当 时，方程 ，① 当 即 时，方程只有一根为 满足题意，② 当方程有二个负根时，则有 解得： ，③ 当方程有一个负根一个正根时，则 ，综上：当关于 的方程 至少有一个负根时，有 ，即关于 的方程 至少有一个负根的充要条件是 。故选：D. 一、一元一次不等式在区间上恒成立 对于一次函数 有： 恒成立， 恒成立 例1. 若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围( ) 解析： 我们可以用改变主元的办法，将 视为主变元，即将元不等式化为： ，令 ，则 时， 恒成立，故需 解得： 例2. 若 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是( ) 解析： 本题已知 的范围求 的范围可看作关于 的函数，设 ，即关于 的一次函数，若要 ，只需在端点处 解得： 或 例3. 已知 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为( ) 解析： 记 ，由 对任意的 恒成立，得 或 例4. 已知 . (1) 如果 ， 恒成立，求实数 的取值范围？(2) 如果 ，使 成立，求实数 的取值范围？ 解(1)： 解(2)： ，使 成立， 开口向上且对称轴 ；① 当 时， ，即 ；② 当 时， ，即 ③ 当 时， ，即 ；④ 当 时， ，即 ；综上： 二、一元二次不等式在 上恒成立： 对于一元二次函数 有： 1. 在 上恒成立 且 ； 1. (2) 在 上恒成立 且 例1. 若不等式 的解集是 ，求 的范围。 解析： 应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 ，所以要讨论 是否是0。① 当 时，元不等式化为 恒成立，满足题意；② 时，只需 ，故 。 例2. 若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是( ) 例3. 若不等式 的解集为实数集 ，则实数 的取值范围为( ) 例4. 已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是( ) 例5. 已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是( ) 参考答案： 例2.    例3.    例4.    例5. 三、一元二次不等式在区间上恒成立； 设 (1)当 时， 在 上恒成立 或 或 ； 在 上恒成立 . (2)当 时， 在 上恒成立 ； 在 上恒成立 或 或 . (3)不等式恒成立求参数也可以采用参变分离，有解问题依旧可以转换为恒成立问题。 参变分离：用变量表示参数，如： 例1：函数 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是( ) 解析： 不等式为 ，如果参变分离虽可解决问题，但是因为 所在区间含参， 的取值将决定分离时 不等号方向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。换一个角度观察到 是开口向上的抛物线，若要 只需端点处函数值小于零即可(无论对称轴是否在区间内)故只需 故 例2. 若不等式 ，在 存在实数解，则 的取值范围( ) A.    B.    C.    D. 解1： 参变分离： ，作出对勾函数图象，只需要： 即可，本题选B； 解2： 函数分析法：当 时， 在 轴上有图象，当 取并集选B. 例3. 若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围( ) A.    B.    C.    D. 解析： 分离参数： ，① 当 时， ；② 当 时， 故 ，由 ①② 取交集得 ，选D【注意很多学生取并集了，选了C项】好好反思为什么会出现这种错误！ 巩固练习 一、单选题 1．“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 2．若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 3．已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 4．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 5．已知集合，关于的不等式的解集为，若中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将整理成，设，由中恰有三个正整数得到有两个不同的解，故解得的范围，求出的两个根为，由得到，此不等式的解集为，由中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数的取值范围是. 【详解】， ， ， ， 设， 中恰有三个正整数， 有两个不同的解， ，， 的两个根为， ，， 转化为， 的解集为， 中恰有三个正整数，故， ， ， ，，， ，， ，，， ，，， 综上可知，， 实数的取值范围是. 故选：B. 6．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 二、多选题 7．已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 8．已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【答案】ABD 【分析】求出方程的两根为即可分析求解判断AB；由题设得到不等式即可求解判断C；分、和分析函数单调性求出最小值即可求解m判断D. 【详解】因为二次函数， 所以方程， 所以，故A正确； 方程的两根为，且， 所以一元二次不等式的解集为，故B正确； 若且，则，故C错误； 二次函数对称轴为，开口向上， 所以当时，函数的图像在上单调递减， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增， 所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为，故此情况无解， 综上，的值为或4，故D正确； 故选：ABD 9．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 三、概念填空 10．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 【答案】 【详解】略. 四、填空题 11．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 12．关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 13．方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 14．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 五、解答题 15．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 16．关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围． 【答案】 【分析】根据方程的所在的区间，得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令，则，解得 17．已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)当时，求的解集； (2)若均为正根，求实数的取值范围； (3)求使的值为整数的的整数值； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式求解集即可； （2）根据已知有，再由两根为正，应用韦达定理列不等式求参数范围； （3）问题化为为整数，结合求参数值. 【详解】（1）由，不等式为， 所以原不等式的解集为； （2）由题设知，可得， 由均为正根，则，可得或， 综上，； （3）由为整数， 所以为整数，令且， 由，所以. 18．已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）求出方程的两根，根据已知条件可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，由可得， 方程的两根分别为、， 当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，即当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为关于的方程有两个不等实根、，则，且， 由，可得，， 所以，即，等价于，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 19．已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合韦达定理与正根的符号条件，分析判别式、根的和与积的范围，确定的取值区间； (2)先化简目标代数式，代入韦达定理的结果转化为关于的函数，通过配方法求其最大值. 【详解】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. 20．已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 21．设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助二次函数图像得到求解即可； （2）借助的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2，得到求解即可. 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 22．已知二次函数. (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，函数y的最小值为，求实数a的值； (3)若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1). (2)或. (3). 【分析】（1）根据开口向上，只需要即可； （2）讨论对称轴与0，1的关系，讨论最值即可； （3）根据二次函数性质，讨论端点情况以及对称轴、判别式的情况，列不等式求解即可. 【详解】（1）恒成立，故，所以. （2）对称轴， ①当，即时，当时，，故，所以； ②当，即时，当时，，故，所以，舍去. ③当，即，当时，，故，所以或（舍去）. 综上：或. （3）当时，；当时，； （i）当，即时，符合题意； （ⅱ）当时，此不等式组无解. 综上：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $