第三课时-集合的基本运算-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

**基本信息** 以基础概念巩固为起点，通过三级梯度设计实现从单一运算到综合应用的进阶，适配新授课知识内化需求，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|交集、并集、补集概念与直接运算|采用列举法、数轴法直观运算（如选择1-4、填空9-10），强化概念理解与基本技能| |进阶层|运算律与简单参数问题|结合方程求解与集合关系转化（如选择5-8、填空11-12），发展逻辑推理与符号意识| |综合层|综合应用与定律验证|通过含参问题及德摩根定律验证（如解答14-15），提升数学表达与问题解决能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第三课时 集合的基本运算 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 ■ 考点一 交集的概念与性质 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B（读作"A 交 B"），即 A∩B＝{x | x∈A 且 x∈B}。交集的本质是取两集合的公共元素。交集的重要性质包括：①A∩B⊆A，A∩B⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③交换律 A∩B＝B∩A；④结合律 (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；⑤A⊆B⇔A∩B＝A。求交集的常用方法有：列举法（找公共元素）、描述法（取条件交集）、数轴法（区间取重叠部分）、Venn 图法（两圆重叠区域）。 ■ 考点二 并集的概念与性质 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B（读作"A 并 B"），即 A∪B＝{x | x∈A 或 x∈B}。并集的本质是合并两集合的所有元素（注意互异性去重）。并集的重要性质包括：①A⊆A∪B，B⊆A∪B；②A∪A＝A，A∪∅＝A；③交换律 A∪B＝B∪A；④结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；⑤A⊆B⇔A∪B＝B。求并集的常用方法有：列举法（合并去重）、描述法（取条件并集）、数轴法（区间取覆盖范围）、Venn 图法（两圆覆盖区域）。 ■ 考点三 全集与补集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 ∁ᵤA（读作"A 的补集"），即 ∁ᵤA＝{x | x∈U 且 x∉A}。补集的重要性质包括：①A∪∁ᵤA＝U；②A∩∁ᵤA＝∅；③∁ᵤ(∁ᵤA)＝A；④∁ᵤ∅＝U，∁ᵤU＝∅。补集的求法：先确定全集 U，再找出 U 中不属于 A 的元素。补集思想是解决集合问题的重要方法，常用于"正难则反"的转化。 ■ 考点四 集合的运算律 集合的运算遵循以下基本运算律：①交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A；②结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；③分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)；④反演律（德摩根定律）：∁ᵤ(A∪B)＝∁ᵤA∩∁ᵤB，∁ᵤ(A∩B)＝∁ᵤA∪∁ᵤB。这些运算律是化简和变形集合表达式的重要依据，特别是反演律在处理复杂集合关系时非常有效，能将"并"与"交"相互转化。 ■ 考点五 集合运算的综合应用 集合运算的综合应用主要包括：①利用集合运算求参数的取值范围，常借助数轴分析，注意端点值的取舍；②集合方程问题，已知集合运算结果求参数，需将运算关系转化为元素关系；③集合的计数问题，利用容斥原理 card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；④Venn 图的应用，直观展示集合运算结果，特别适合处理多个集合的复杂关系。常用结论：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；∅⊆A∩B⊆A⊆A∪B。解题时需注意空集的特殊性，以及区间端点是否取到。 知识结构思维导图 图1 集合的基本运算知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A＝{1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，则 A∩B＝（ ） A．{1, 2, 3, 4} B．{2, 3} C．{1, 4} D．∅ 2．已知集合 A＝{x | －1 ＜ x ＜ 3}，B＝{x | 0 ≤ x ≤ 4}，则 A∪B＝（ ） A．{x | 0 ≤ x ＜ 3} B．{x | －1 ＜ x ≤ 4} C．{x | 0 ＜ x ＜ 4} D．{x | －1 ≤ x ≤ 4} 3．已知全集 U＝{1, 2, 3, 4, 5}，集合 A＝{1, 3, 5}，则 ∁ᵤA＝（ ） A．{1, 3, 5} B．{2, 4} C．{1, 2, 3, 4, 5} D．∅ 4．已知集合 A＝{x | x ＜ 3}，B＝{x | x ≥ 1}，则 A∩B＝（ ） A．{x | x ＜ 3} B．{x | x ≥ 1} C．{x | 1 ≤ x ＜ 3} D．∅ 5．设集合 A＝{x | x²－3x＋2＝0}，B＝{x | x²－4x＋3＝0}，则 A∪B＝（ ） A．{1} B．{1, 2} C．{1, 3} D．{1, 2, 3} 6．已知全集 U＝R，集合 A＝{x | x ＜ 0}，B＝{x | x ≥ 2}，则 ∁ᵤ(A∪B)＝（ ） A．{x | x ＜ 0 或 x ≥ 2} B．{x | 0 ≤ x ＜ 2} C．{x | 0 ＜ x ＜ 2} D．{x | x ≤ 0 或 x ＞ 2} 7．已知集合 A＝{1, 2, 3}，B＝{2, 4, 6}，则 (A∪B) 中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．设全集 U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{1, 2, 3}，B＝{2, 4, 6}，则 ∁ᵤA∩∁ᵤB＝（ ） A．{5} B．{1, 3, 5} C．{5, 6} D．{2} 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．已知集合 A＝{x | x 是小于 6 的正整数}，B＝{x | x 是 3 的倍数}，则 A∩B＝ ____________。 10．已知全集 U＝{x | x 是小于 10 的正整数}，A＝{1, 2, 3, 4}，则 ∁ᵤA＝ ____________。 11．已知集合 A＝{x | －2 ≤ x ≤ 5}，B＝{x | m ≤ x ≤ m＋3}，若 A∪B＝A，则实数 m 的取值范围是 ____________。 12．已知集合 A＝{x | x²－5x＋6＝0}，B＝{x | x²＋mx＋n＝0}，若 A∩B＝{2}，A∪B＝{2, 3}，则 m＋n＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知集合 A＝{x | 2 ≤ x ≤ 6}，B＝{x | －1 ≤ x ≤ 4}。 （1）求 A∩B 和 A∪B； （2）若全集 U＝R，求 ∁ᵤ(A∩B) 和 ∁ᵤA∪∁ᵤB。 14．（14分）设集合 A＝{x | x²－3x－4＝0}，B＝{x | x²＋ax＋b＝0}。 （1）若 A∩B＝{4}，A∪B＝{－1, 4}，求实数 a, b 的值； （2）若 A∩B＝B，求实数 a, b 满足的条件。 15．（14分）已知集合 A＝{x | 1 ≤ x ≤ 4}，B＝{x | 2 ≤ x ≤ 5}，全集 U＝R。 （1）求 A∩B 和 A∪B； （2）求 ∁ᵤ(A∩B) 和 ∁ᵤA∪∁ᵤB，并验证德摩根定律； （3）若 C＝{x | x ＜ 3}，求 A∩C 和 B∪C。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． B 3． B 4． C 5． D 6． B 7． C 8． A 9． {3} 10． {5, 6, 7, 8, 9} 11． －2 ≤ m ≤ 2 12． 0 ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】A∩B表示集合A与B的公共元素。A＝{1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，公共元素为2和3，故A∩B＝{2, 3}，选B。本题考查交集的基本运算，关键是找出两集合的公共元素。 2．【答案】B 【解析】A∪B表示集合A与B的所有元素。A＝{x | －1＜x＜3}，B＝{x | 0≤x≤4}，借助数轴分析：A的范围是(－1, 3)，B的范围是[0, 4]，取并集得(－1, 4]，即A∪B＝{x | －1＜x≤4}，选B。本题考查并集运算，借助数轴可直观确定范围。 3．【答案】B 【解析】全集U＝{1, 2, 3, 4, 5}，A＝{1, 3, 5}，∁ᵤA表示U中不属于A的元素。U中元素为1, 2, 3, 4, 5，A中元素为1, 3, 5，故∁ᵤA＝{2, 4}，选B。本题考查补集运算，关键是正确理解全集和补集的概念。 4．【答案】C 【解析】A＝{x | x＜3}，B＝{x | x≥1}，A∩B表示同时满足x＜3且x≥1的元素。借助数轴分析：A的范围是(－∞, 3)，B的范围是[1, ＋∞)，取交集得[1, 3)，即A∩B＝{x | 1≤x＜3}，选C。本题考查交集运算，注意端点值的取舍。 5．【答案】D 【解析】由x²－3x＋2＝0解得x＝1或x＝2，故A＝{1, 2}；由x²－4x＋3＝0解得x＝1或x＝3，故B＝{1, 3}。A∪B＝{1, 2, 3}（合并去重），选D。本题考查并集运算，注意元素的互异性，相同元素只算一个。 6．【答案】B 【解析】A＝{x | x＜0}，B＝{x | x≥2}，A∪B＝{x | x＜0或x≥2}。全集U＝R，∁ᵤ(A∪B)表示R中不属于A∪B的元素，即{x | 0≤x＜2}，选B。本题考查并集与补集的综合运算，也可用反演律：∁ᵤ(A∪B)＝∁ᵤA∩∁ᵤB＝{x | x≥0}∩{x | x＜2}＝{x | 0≤x＜2}。 7．【答案】C 【解析】A＝{1, 2, 3}，B＝{2, 4, 6}，A∪B＝{1, 2, 3, 4, 6}（合并去重），共5个元素，选C。本题考查并集运算与元素计数，注意元素2在两集合中都出现，并集中只算一个。 8．【答案】A 【解析】全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{1, 2, 3}，B＝{2, 4, 6}。∁ᵤA＝{4, 5, 6}，∁ᵤB＝{1, 3, 5}。∁ᵤA∩∁ᵤB＝{4, 5, 6}∩{1, 3, 5}＝{5}，选A。本题也可用反演律：∁ᵤA∩∁ᵤB＝∁ᵤ(A∪B)，A∪B＝{1, 2, 3, 4, 6}，∁ᵤ(A∪B)＝{5}，结果一致。 ■ 填空题解析 9．【答案】{3} 【解析】A＝{x | x是小于6的正整数}＝{1, 2, 3, 4, 5}，B＝{x | x是3的倍数}＝{..., －3, 0, 3, 6, ...}。A∩B取两集合的公共元素，在A中是3的倍数只有3，故A∩B＝{3}。 10．【答案】{5, 6, 7, 8, 9} 【解析】全集U＝{x | x是小于10的正整数}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，A＝{1, 2, 3, 4}。∁ᵤA表示U中不属于A的元素，即{5, 6, 7, 8, 9}。 11．【答案】－2 ≤ m ≤ 2 【解析】A＝{x | －2≤x≤5}，B＝{x | m≤x≤m＋3}，A∪B＝A等价于B⊆A，即B中所有元素都在A中。需区间[m, m＋3]包含于[－2, 5]中，故需同时满足：m≥－2 且 m＋3≤5（即m≤2）。由于m＋3＞m恒成立，B非空，无需考虑空集情形。故实数m的取值范围为－2≤m≤2。本题关键：A∪B＝A等价于B⊆A，将集合关系转化为区间包含关系。 12．【答案】0 【解析】由x²－5x＋6＝0解得x＝2或x＝3，故A＝{2, 3}。由A∩B＝{2}知2∈B且3∉B；由A∪B＝{2, 3}知B⊆A。综合得B＝{2}，即方程x²＋mx＋n＝0有且仅有一个解x＝2（二重根）。由韦达定理：2＋2＝－m且2×2＝n，解得m＝－4, n＝4。故m＋n＝－4＋4＝0。本题关键：由A∩B和A∪B的结果确定B的元素，再利用韦达定理求参数。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）A∩B＝{x | 2≤x≤4}，A∪B＝{x | －1≤x≤6}；（2）∁ᵤ(A∩B)＝{x | x＜2或x＞4}，∁ᵤA∪∁ᵤB＝{x | x＜2或x＞4} 【解析】（1）A＝{x | 2≤x≤6}，B＝{x | －1≤x≤4}。 A∩B取两区间的重叠部分：[2, 6]∩[－1, 4]＝[2, 4]，故A∩B＝{x | 2≤x≤4}。 A∪B取两区间的覆盖范围：[2, 6]∪[－1, 4]＝[－1, 6]，故A∪B＝{x | －1≤x≤6}。 （2）全集U＝R，∁ᵤ(A∩B)表示R中不属于A∩B＝[2, 4]的元素， 即∁ᵤ(A∩B)＝{x | x＜2或x＞4}。 ∁ᵤA＝{x | x＜2或x＞6}，∁ᵤB＝{x | x＜－1或x＞4}。 ∁ᵤA∪∁ᵤB＝{x | x＜2或x＞6}∪{x | x＜－1或x＞4}＝{x | x＜2或x＞4}。 验证：由反演律∁ᵤ(A∩B)＝∁ᵤA∪∁ᵤB，两者结果一致，符合德摩根定律。 14．【答案】（1）a＝－8, b＝16；（2）B⊆A，即B＝∅或B＝{－1}或B＝{4}或B＝{－1, 4} 【解析】由x²－3x－4＝0解得x＝4或x＝－1，故A＝{－1, 4}。 （1）由A∩B＝{4}知4∈B且－1∉B；由A∪B＝{－1, 4}知B⊆A。 结合4∈B且B⊆A＝{－1, 4}且－1∉B，得B＝{4}。 即方程x²＋ax＋b＝0有且仅有一个解x＝4（二重根）。 由韦达定理：4＋4＝－a且4×4＝b，解得a＝－8, b＝16。 检验：当a＝－8, b＝16时，方程为x²－8x＋16＝0，即(x－4)²＝0，解为x＝4（二重根），B＝{4}，符合题意。 故a＝－8, b＝16。 （2）若A∩B＝B，则B⊆A＝{－1, 4}。 分情况讨论：①B＝∅，即方程x²＋ax＋b＝0无实数解，需Δ＝a²－4b＜0； ②B＝{－1}，即－1是二重根，由韦达定理(－1)＋(－1)＝－a且(－1)×(－1)＝b，得a＝2, b＝1，检验Δ＝4－4＝0成立。 ③B＝{4}，即4是二重根，由韦达定理a＝－8, b＝16。 ④B＝{－1, 4}，即－1和4都是根，由韦达定理－1＋4＝－a且(－1)×4＝b，得a＝－3, b＝－4。 综上，B⊆A的条件为：B＝∅（a²－4b＜0）或B＝{－1}（a＝2, b＝1）或B＝{4}（a＝－8, b＝16）或B＝{－1, 4}（a＝－3, b＝－4）。 15．【答案】（1）A∩B＝{x | 2≤x≤4}，A∪B＝{x | 1≤x≤5}；（2）∁ᵤ(A∩B)＝{x | x＜2或x＞4}，∁ᵤA∪∁ᵤB＝{x | x＜2或x＞4}，德摩根定律成立；（3）A∩C＝{x | 1≤x＜3}，B∪C＝{x | x＜3或2≤x≤5}＝{x | x≤5} 【解析】已知A＝{x | 1≤x≤4}，B＝{x | 2≤x≤5}，全集U＝R。 （1）求A∩B和A∪B： A∩B取两区间的重叠部分：[1, 4]∩[2, 5]＝[2, 4]，故A∩B＝{x | 2≤x≤4}。 A∪B取两区间的覆盖范围：[1, 4]∪[2, 5]＝[1, 5]，故A∪B＝{x | 1≤x≤5}。 （2）求∁ᵤ(A∩B)和∁ᵤA∪∁ᵤB： ∁ᵤ(A∩B)表示R中不属于A∩B＝[2, 4]的元素，即∁ᵤ(A∩B)＝{x | x＜2或x＞4}。 ∁ᵤA＝{x | x＜1或x＞4}，∁ᵤB＝{x | x＜2或x＞5}。 ∁ᵤA∪∁ᵤB＝{x | x＜1或x＞4}∪{x | x＜2或x＞5}＝{x | x＜2或x＞4}。 验证德摩根定律：∁ᵤ(A∩B)＝∁ᵤA∪∁ᵤB＝{x | x＜2或x＞4}，两者结果一致，符合德摩根定律。 （3）若C＝{x | x＜3}： A∩C＝{x | 1≤x≤4}∩{x | x＜3}＝{x | 1≤x＜3}（取A和C的公共部分）。 B∪C＝{x | 2≤x≤5}∪{x | x＜3}＝{x | x≤5}（取B和C的覆盖范围，x＜3与2≤x≤5合并得x≤5）。 本题关键：交集取公共部分，并集取覆盖范围，补集取全集中的剩余部分，借助数轴分析。 高一数学必修一 · 第三课时 集合的基本运算 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $