第三课时-集合的基本运算-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

高一数学必修一 · 课时同步训练

第三课时  集合的基本运算

 

姓名：______________   班级：______________   得分：______________   用时：______ 分钟

【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

核心考点清单

■ 考点一  交集的概念与性质

一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B（读作"A 交 B"），即 A∩B＝{x | x∈A 且 x∈B}。交集的本质是取两集合的公共元素。交集的重要性质包括：①A∩B⊆A，A∩B⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③交换律 A∩B＝B∩A；④结合律 (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；⑤A⊆B⇔A∩B＝A。求交集的常用方法有：列举法（找公共元素）、描述法（取条件交集）、数轴法（区间取重叠部分）、Venn 图法（两圆重叠区域）。

■ 考点二  并集的概念与性质

一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B（读作"A 并 B"），即 A∪B＝{x | x∈A 或 x∈B}。并集的本质是合并两集合的所有元素（注意互异性去重）。并集的重要性质包括：①A⊆A∪B，B⊆A∪B；②A∪A＝A，A∪∅＝A；③交换律 A∪B＝B∪A；④结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；⑤A⊆B⇔A∪B＝B。求并集的常用方法有：列举法（合并去重）、描述法（取条件并集）、数轴法（区间取覆盖范围）、Venn 图法（两圆覆盖区域）。

■ 考点三  全集与补集

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 ∁ᵤA（读作"A 的补集"），即 ∁ᵤA＝{x | x∈U 且 x∉A}。补集的重要性质包括：①A∪∁ᵤA＝U；②A∩∁ᵤA＝∅；③∁ᵤ(∁ᵤA)

＝A；④∁ᵤ∅＝U，∁ᵤU＝∅。补集的求法：先确定全集 U，再找出 U 中不属于 A 的元素。补集思想是解决集合问题的重要方法，常用于"正难则反"的转化。

■ 考点四  集合的运算律

集合的运算遵循以下基本运算律：①交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A；②结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；③分配律：A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)；④反演律（德摩根定律）：∁ᵤ(A∪B)＝∁ᵤA∩∁ᵤB，∁ᵤ(A∩B)＝∁ᵤA∪∁ᵤB。这些运算律是化简和变形集合表达式的重要依据，特别是反演律在处理复杂集合关系时非常有效，能将"并"与"交"相互转化。

■ 考点五  集合运算的综合应用

集合运算的综合应用主要包括：①利用集合运算求参数的取值范围，常借助数轴分析，注意端点值的取舍；②集合方程问题，已知集合运算结果求参数，需将运算关系转化为元素关系；③集合的计数问题，利用容斥原理 card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；④Venn 图的应用，直观展示集合运算结果，特别适合处理多个集合的复杂关系。常用结论：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B；∅⊆A∩B⊆A⊆A∪B。解题时需注意空集的特殊性，以及区间端点是否取到。

  知识结构思维导图

图1  集合的基本运算知识结构图