精品解析：辽宁省锦州市2025--2026学年下学期八年级期末数学试卷

锦州市2025-2026学年度年八年级（下）期末质量检测 数学试卷 考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 24 7. 如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，．则的值为（ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 9. 如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（ ） A. 与的差 B. 的长 C. 等腰梯形与周长的差 D. 的周长 10. 如图，在平行四边形中，，连接，按下列要求作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，；作直线，分别交，边于点，；连接．若恰好为边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 12. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 13. 关于的分式方程有增根，则________． 14. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，恰好落在上，则点与点之间的距离为________． 15. 如图，在一个长方形公园中，，，凉亭在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点在点左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时长为________m． 三、解答题（本题共8个小题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列小题； （1）分解因式： （2）解不等式组： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出． （2）画出绕原点顺时针旋转得到的． （3）为平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形．直接写出所有可能的点坐标． 19. 如图，在中，，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 20. 笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用600元购进A型号的数量与用800元购进B型号的数量相同． （1）求两种型号“文房四宝”的单价； （2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套? 21. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当时，，，求的长． 22. 阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： （1）下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ① ② ③ ④ （2）当________时，代数式有最大值________； （3）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； （4）求分式的最值． 23. 根据要求完成下列小题； 【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________：（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题： ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市2025-2026学年度年八年级（下）期末质量检测 数学试卷 考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】C 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，分子分母同时改变符号，分式值不变． 【详解】解：A、，A错误； B、 该变形给分子乘，分母乘，不符合分式基本性质，B错误； C、 该变形给分子分母同时减去同一个数，不符合分式基本性质， C错误； D、，符合分式基本性质，D正确． 3. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项判断即可得到结果. 【详解】解：完全平方公式的结构为， ∵ 对于选项A，，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解，∴ 选项A符合题意； 对于选项B，，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项C，若符合完全平方公式，中间项应为，原式中间项为，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项D，的常数项为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意. 4. 如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 5. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、，，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意． 6. 已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（ ） A. 8 B. C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 7. 如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故选：D． 8. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，．则的值为（ ） A. 64 B. 16 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，然后问题可求解． 【详解】解：由点，，若将线段平移至，其中点，，可知：平移方式为先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴， ∴， ∴． 9. 如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（ ） A. 与的差 B. 的长 C. 等腰梯形与周长的差 D. 的周长 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是一个等腰梯形， ，， ， ， ∵， ∴， ， 的周长为， 无法求出与的差、等腰梯形与周长的差、的长. 10. 如图，在平行四边形中，，连接，按下列要求作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，；作直线，分别交，边于点，；连接．若恰好为边的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由作图可知：垂直平分，由平行四边形的性质可知，，则有，然后可得，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由作图可知：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵恰好为边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 【答案】 【解析】 【详解】解：若，则，用反证法证明这个结论时，应先假设． 12. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 13. 关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先把分式方程去分母得到整式方程，然后根据方程有增根的问题进行求解即可． 【详解】解：由方程去分母得：， ∵该方程有增根， ∴，即， ∴把代入得：， 解得：． 14. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，恰好落在上，则点与点之间的距离为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质可知：，则有是等边三角形，，然后可得，，进而可得是等边三角形，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由旋转的性质可知：， ∴是等边三角形，， ∴， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 15. 如图，在一个长方形公园中，，，凉亭在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点在点左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时长为________m． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，，，，则得，要使四边形的周长最小，则需满足的值最小，在边上取一点，使得，作点关于的对称点，连接，然后根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵凉亭在的中点处， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，则需满足的值最小， 在边上取一点，使得，作点关于的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可知：， 在长方形中，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当且仅当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点作于点，如上图， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴当四边形的周长最小，． 三、解答题（本题共8个小题，共65分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成下列小题； （1）分解因式： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先变形提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集是． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为；值为 【解析】 【分析】先化简括号内式子，分解分母完全平方式，变除为乘，提取负号约分，再把代入最简分式求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出． （2）画出绕原点顺时针旋转得到的． （3）为平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形．直接写出所有可能的点坐标． 【答案】（1）为所求， （2）为所求， （3）或或 【解析】 【分析】（1）确定向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的对应点，再顺次连接即可． （2）确定绕原点O顺时针旋转的对应点，再顺次连接即可． （3）分别讨论以，，为对角线时的情况，根据平行四边形的性质可得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：设点D的坐标为． 由图可知，． 当为对角线时， 则 解得， ∴； 当为对角线时， 则 解得， ∴； 当为对角线时， 则 解得， ∴； 综上可知，点坐标为或或． 19. 如图，在中，，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ； 由翻折可知：； ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 是等腰三角形，， 是的中线， ； ∵， ， ， ， ； 是的中线，点是的中点， 是的中位线， ， 即：． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质及折叠的性质可得，然后问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而根据三角形中位线可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 笔、墨、纸、砚是我国特有的书法绘画工具，其被称为“文房四宝”，这一名称起源于南北朝时期．某中学开设书法社团，为学生购买A，B两种型号的“文房四宝”若干套．已知A型号的单价比B型号的单价少20元，且用600元购进A型号的数量与用800元购进B型号的数量相同． （1）求两种型号“文房四宝”的单价； （2）若该书法社团准备用不超过1200元的资金购买两种型号的“文房四宝”，其中购进A型号的数量比B型号的3倍少5套，则最多购买B型号“文房四宝”多少套? 【答案】（1）B型号和A型号的单价分别为80元，60元 （2）5套 【解析】 【分析】（1）设B型号“文房四宝”的单价为元，则A型号“文房四宝”的单价为元．依题意得，然后进行求解即可； （2）设购买B型号“文房四宝”套，则购买A型号“文房四宝”套．依题意得：，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设B型号“文房四宝”的单价为元，则A型号“文房四宝”的单价为元． 依题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：B型号“文房四宝”的单价为80元，A型号“文房四宝”的单价为60元． 【小问2详解】 解：设购买B型号“文房四宝”套，则购买A型号“文房四宝”套． 依题意得：， 整理得，， 解得． ∵，解得：， ∴， 取正整数， 的最大值为5， 所以最多购买B型号“文房四宝”5套， 答：最多购买B型号“文房四宝”5套． 21. 如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当时，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理， （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求得的长，得出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结论； 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 22. 阅读下列材料： 材料1：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式。我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 材料2：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以求代数式最大值、最小值等． 例如求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 根据上面材料回答下列问题： （1）下列分式中，属于“假分式”的是：________（填序号） ① ② ③ ④ （2）当________时，代数式有最大值________； （3）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________； （4）求分式的最值． 【答案】（1）①④ （2）3； （3） （4）最大值为，无最小值 【解析】 【分析】（1）根据题中所给新定义进行排除答案即可； （2）根据配方法进行求解即可； （3）令，则有，然后进行求解即可； （4）由可令，则，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：属于“假分式”的是①④； 【小问2详解】 解：∵ ， ∵， ∴当时，代数式有最大值； 【小问3详解】 解：由可令，则有， ∴原式， ∴； 【小问4详解】 解：由可令， ∴原式， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，无最小值． 23. 根据要求完成下列小题； 【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点、、不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________：（写出一对即可）上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”． 【类比分析】 （2）如图2，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题： ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，当时，点、为、上的点，，，若，，求线段的长． 【答案】（1） （2）， 理由：如图2，过点作平分交于， 四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用得； （2）过点作平分交于，根据已知条件计算可得，从而证明，进而证明四边形是平行四边形，得，结合角平分线计算出，证明是等边三角形，得、，进而得，，由旋转得、，进而得，根据证明，得； （3）以、为边作平行四边形，连接，证明是等边三角形，将绕点逆时针旋转得，连接，得是等边三角形、，进而得，则，设，得关于的方程，求解即可得的长． 【小问1详解】 解：和是等边三角形， ， ，即， ， 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，， 设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $