专题11一元一次不等式应用及不等式组暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题11一元一次不等式应用及不等式组暑假预习讲义 · 回顾列方程解应用题思路，分清等量关系与不等关系，掌握一元一次不等式应用题完整解题步骤：审题、设未知数、挖掘不等关系、列不等式、求解、结合实际筛选合理取值、规范作答。 · 准确识别 “至少、至多、不超过、不少于、不足、超过” 等关键词，对应正确不等号，能从分配、利润、行程、几何、限额计分等实际场景列出一元一次不等式。 · 解完不等式后结合实际意义取值，懂得人数、物品数量等变量需取正整数，会根据解集求最多、最少类最值，看懂基础方案选择题型。 · 掌握一元一次不等式组定义，能辨别是否为不等式组（同一个未知数、多个一元一次不等式）；理解不等式组解集是各个不等式解集的公共部分。 · 熟练解不等式组：分别求解每个不等式，在同一数轴画出解集，借助数轴找出公共区间，能准确判断不等式组有解或无解。 · 会求不等式组的整数、正整数、非负整数解，能根据不等式组的解集反向求解简单参数取值范围。 · 遇到多重限制条件的问题，会列出不等式组建模，区分单一不等关系用一元一次不等式、多重不等约束用不等式组。 · 建立数形结合思想，利用数轴辅助分析解集、整数解与参数问题，梳理高频易错点：不等号写反、忽略实际整数限制、数轴虚实圆点画错、不会找公共解集、混淆方程与不等式建模逻辑，标记疑难题型课堂重点突破。 预习必备 知识梳理 1.一元一次不等式的应用 2.不等式组相关概念 3.解不等式组标准步骤 4.四大解集模型 5.含参数的不等式组 6.不等式组解决实际问题 常考题型 精讲精练 1列一元一次不等式组. 2.用不等式解决实际问题 3.用不等式解决几何问题 4..一元一次不等式组的定义 5.求不等组的解集 6.解特殊不等式组 7.求不等式组整数解 8.由不等式组解集求参数 9.由不等式组解集的情况求参数 10.不等式组和方程组结合问题 11.列一元一次不等式组 12.不等式组行程问题 13.不等式组工程问题 14.不等式组经济问题 15.不等式组分配问题 16.不等式组方案问题 17.不等式组阶梯收费问题 18.不等式组其他应用 强化题型 解答题15题 知识点01：一元一次不等式的应用 1.解题通用步骤（7 步） 审：读懂题意，分清已知量、未知量，找出描述不等关系的关键词； 设：设未知数，一般直接设所求量； 找：梳理不等关系（核心步骤，区别于方程的等量关系）； 列：根据不等关系列出一元一次不等式； 解：解一元一次不等式，求出解集； 验：结合实际意义筛选符合条件的解（人数、物品、车辆等只能取正整数，长度、重量为正数）； 答：规范写出完整答句。 2.常见关键词与对应不等号 不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 知识点02：一元一次不等式组相关概念 1.一元一次不等式组定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 判定三要素：①只一个未知数；②未知数次数为 1；③左右两边整式；④多个不等式联立。 2.不等式组的解集 组成不等式组的所有不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；没有公共部分则不等式组无解。 3.解不等式组：求不等式组解集的全过程。 知识点03：解不等式组标准步骤 1.分别解组内每一个一元一次不等式，写出各自解集； 2.在同一条数轴上画出两个（多个）解集； 3.观察数轴，找出重叠的公共区域； 4.写出不等式组最终解集； 5.按需找出整数解、正整数解等。 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05：含参数的不等式组（重难点） 题型：已知不等式组有解 / 无解、整数解个数，求参数取值范围； 解题思路： 1 不含参数的不等式先求解； 2 结合数轴，对比参数分界点； 3 重点判断分界点是否取等号（空心 / 实心）； 核心技巧：借助数轴数形结合，避免漏等、多解。 知识点06:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:高频易错汇总 1.系数化为 1、去分母时乘负数，忘记变号； 2.去分母漏乘不含分母的常数项； 3.数轴实心、空心混用，画线方向出错； 4.应用题关键词看错，不等号选用错误； 5.参数题型端点等号判断出错； 6.实际问题忽略未知数为正整数。 题型1列一元一次不等式组. 【典例】“a与b的差小于3．”用不等式表示其数量关系是：_______． 【答案】 【分析】先得到与的差，再根据“差小于”的条件列出对应不等式． 【详解】解：与的差为． 根据题意的不等关系，可列不等式为：． 【跟踪专练1】根据图中对话内容，选择恰当的选项（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得，7天记的英语单词个数可得． 【跟踪专练2】某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用. 解题思路为：先根据已知条件确定答错的题数. 再根据得分规则与成绩要求，结合“不低于”的含义列出对应不等式. 【详解】解：由题意可知，小海答对道题，共有道题未作答，总题数为道，因此答错的题数为道. 答对一道题得分，因此答对总分为，答错一道题扣分，因此答错总扣分为， 成绩不低于分，即总得分大于等于，因此可列不等式：. 【跟踪专练3】某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不超过总土地面积的．求的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设的户型建套， ∴的户型建套， ∵每幢楼共5层，建楼土地面积为底层占地面积，因此总建楼占地面积等于所有户型总建筑面积除以5， ∴套户型对应的建楼占地面积为，套户型对应的建楼占地面积为， 又∵建楼的土地面积不超过总土地面积的，总地块面积为， ∴． 题型2.用不等式解决实际问题 【典例】某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简） 【答案】 【分析】根据总经费不少于500元的不等关系，结合已有经费和个月节省的经费列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知，已有经费120元，个月节省的经费为元，要求总经费不少于500元， 因此可列不等式为． 【跟踪专练1】某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得5分，答错或不答都扣3分．小明得分要超过70分，他至少要答对多少道题？设小明答对了道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小明答对了道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意得，． 【跟踪专练2】随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想到A站乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为（如图所示）．已知小明步行的速度为，公交车的速度是小明步行速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为________m． 【答案】140 【分析】先设小明到A站之间的距离最大是，再根据小明到A站所用时间小于等于公交车到A站所用时间得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：设小明到A站之间的距离最大是，根据题意，得 ， 解得， 所以小明到A站之间的距离最大为． 【跟踪专练3】受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先根据放入个小球水面上升的高度，求出每个小球使水面上升的高度，再设放入个小球时水溢出，根据量筒总高度列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由图可知，放入个小球后，水面从上升到， 故每个小球使水面上升， 设放入个小球时量筒内有水溢出， ∵量筒总高度为，初始水位为， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 故量筒内相同体积的小球个数至少是个． 题型3.用不等式解决几何问题 【典例】若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【答案】90 【详解】解：设这个角为，则其补角为， 由题意，得， 解得， 这个角最大为． 【跟踪专练1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【跟踪专练2】长方形的周长小于，长与宽都是质数，且长与宽的和是奇数，则该长方形的面积是________． 【答案】6或10 【分析】设长方形的长为，宽为，则，先求出，再根据奇数和质数的性质求出，进而可得或，利用长方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则， 由题意得：，即， ∵长与宽的和是奇数， ∴中一定有一个是奇数，一个是偶数， 又∵长与宽都是质数，且， ∴（理由：质数中只有是偶数）， ∴， 解得， 又∵是质数， ∴或， 当时，该长方形的面积是； 当时，该长方形的面积是； 综上，该长方形的面积是或． 【跟踪专练3】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 题型4..一元一次不等式组的定义 【典例】我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 【跟踪专练1】下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的判断，根据一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、选项中的不等式组含两个未知数x和y，不符合定义，故此选项不符合题意； B、选项中的第一个不等式中未知数x的次数为2，不是一元一次不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； C、选项中的两个不等式都只含一个未知数x，x的次数为1，且都是整式不等式，符合一元一次不等式组的定义，故此选项符合题意； D、选项中的第一个不等式中含有（分式），不是整式不等式，不符合定义，故此选项不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 题型5.求不等组的解集 【典例】请写出满足不等式组的一个解______． 【答案】（答案不唯一，只要即可） 【详解】解：不等式组的解集为， 故（答案不唯一，只要即可）． 【跟踪专练1】若不等式组的解集是，则不等式②可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定法则，利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀判断，已知一个不等式解集为，不等式组的解集为，据此逐一验证选项即可。 【详解】解：由不等式①，得， ∵不等式组的解集是， ∴A 选项、若不等式②为，可得不等式组的解集为，故选项不符合题意； B 选项、若不等式②为，可得不等式组的解集为，故选项符合题意； C 选项、若不等式②为，不等式组无解，故选项不符合题意； D 选项、若不等式②为，可得不等式组的解集为，故选项不符合题意. 【跟踪专练2】我们知道：若，则或．那么不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据题意，将原不等式转化为或，再分别求解不等式组，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或， 对于， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； 对于， 解不等式③，得， 解不等式④，得， ∴不等式组无解； 综上，不等式的解集是． 【跟踪专练3】若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解确定关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解： ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解，且， ∴4个整数解为2, 3, 4, 5， ∴， 即， 解得． 题型6.解特殊不等式组 【典例】若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1， 解不等式6（x-m）≥3+4x，得：x≥， ∵不等式组只有3个整数解， ∴-3＜≤-2， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【跟踪专练1】已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 【跟踪专练2】定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 题型7.求不等式组整数解 【典例】若x为整数，且x满足，则x的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后找出解集中的整数，任写一个即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因此，不等式组的解集为：， 为整数， 的值可以为1． 【跟踪专练1】不等式组的最小整数解是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，再在解集中找出最小的整数即可. 【详解】解： ， 移项得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变， 原不等式组的解集为， 因此解集中的最小整数解是. 【跟踪专练2】一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的所有整数解的和为__________． 【答案】 0 【详解】解：由图知，整数解有，则． 【跟踪专练3】若关于的一元一次不等式组有2个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，得到不等式组的整体解集，再根据整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得，即， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有2个整数解， ∴不等式组的整数解为2和3， ∴． 题型8.由不等式组解集求参数 【典例】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 【跟踪专练1】关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集求参数．表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有3个整数解， ∴整数解为2，3，4， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】解不等式①得，根据不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 该不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分， ， 解得． 【跟踪专练3】若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰好只有2个整数解确定a的取值范围，找出范围内所有整数a，计算其和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好只有2个整数解， ∴这2个整数解为，， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为、、、，整数的和为． 题型9.由不等式组解集的情况求参数 【典例】已知关于的不等式组有解，则的取值范围为____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组有解， ， 解得． 【跟踪专练1】若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据“同大取大”的不等式组解集法则，结合已知解集求的取值范围． 【详解】解：∵， ∴解不等式，得； ∴解不等式，得； ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． 【跟踪专练2】若不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组无解的条件建立关于的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 【跟踪专练3】如果不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组只有两个整数解，确定的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组只有两个整数解， ∴不等式组的两个整数解为， ∴． 题型10.不等式组和方程组结合问题 【典例】已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式组中的x，y用含有a的式子表示出来，根据题意解得的x、y都是负数，可知，解出参数即可． 【详解】解：解方程组得； ∵方程组的解x、y都是负数， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求一元一次不等式组的解集，解题的关键是根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 【跟踪专练1】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【跟踪专练2】已知方程组的解满足，则m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】若方程组的解x，y满足，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体法求出的表达式，再代入求解的取值范围即可． 【详解】解：， 得， ∴两边同除以5得， ∵已知， ∴， 解得：． 题型11.列一元一次不等式组 【典例】“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 【跟踪专练1】若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可． 【详解】解：∵若干个苹果分给个小孩，每人分3个余7个， ∴苹果的总数为个． ∵每人分5个时，只有最后1人分不到5个，前个小孩每人都分到5个， ∴前个小孩共分苹果个，最后一人分到的苹果数为． ∵苹果数不能为负数，且最后一人分到的苹果不足5个， ∴． 【跟踪专练2】渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 【跟踪专练3】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总工艺品数量得到B型工艺品数量，再分别计算两种原料的总用量，根据总用量不超过剩余原料量列出不等式组即可. 【详解】∵ 制作个A型工艺品，一共制作100个工艺品， ∴ B型工艺品的数量为个. ∵ 制作个A型需甲原料千克，制作个B型需甲原料千克， 甲原料总用量不能超过剩余的29千克， ∴ . ∵ 制作个A型需乙原料千克，制作个B型需乙原料千克， 乙原料总用量不能超过剩余的千克， ∴ . 综上，可得不等式组：． 题型12.不等式组行程问题 【典例】某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据给定的地铁收费标准，先确定6元对应的最大乘坐里程，再计算7元对应的最大乘坐里程，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得，6元最多可乘坐，花费7元比6元多1元，可额外再乘坐， 因此7元最多可乘坐的里程为 ， 因此的取值范围是． 【跟踪专练1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练2】小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【跟踪专练3】．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 题型13.不等式组工程问题 【典例】习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【跟踪专练1】2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【跟踪专练2】为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 题型14.不等式组经济问题 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【跟踪专练1】学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 【跟踪专练2】某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求， ∴可得不等式组 ， 解得， ∴的取值范围是． 【跟踪专练3】某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示． 类型 进价（单位：万元/辆） 售价（单位：万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 (1)若该公司购买A，B这两种型号汽车共支付514万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？ (2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不少于20.5万元又不多于21.7万元，该公司有哪几种购车方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购买A型的汽车10辆，购买B型的汽车10辆 (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A型汽车11辆，B型汽车9辆或购进A型汽车12辆，B型汽车8辆．购进A型汽车11辆，B型汽车9辆的方案获得的利润最多，最多利润是21.4万元 【分析】（1）设购买A型的汽车x辆，购买B型的汽车y辆，列二元一次方程组即可解答； （2）设购买A型的汽车m辆，则购买B型的汽车辆，根据题意列一元一次不等式组，得到的值，再计算即可． 【详解】（1）解：设购买A型的汽车x辆，购买B型的汽车y辆 由题意得， 解得 答：购买A型的汽车10辆，购买B型的汽车10辆； （2）解：设购买A型的汽车m辆，则购买B型的汽车辆， 由题意得， 解得， 为正整数， 或， 当时，购进B型汽车为9辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为8辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有2种购进方案，分别是购进A型汽车11辆，B型汽车9辆或购进A型汽车12辆，B型汽车8辆． 购进A型汽车11辆，B型汽车9辆的方案获得的利润最多，最多利润是21.4万元． 题型15.不等式组分配问题 【典例】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 【跟踪专练1】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【答案】 【分析】设一共有名学生，根据每人分本，则多本，可知图书共有本，根据每人分本，则最后一人分到了书但不到本书，列不等式组求解． 【详解】解：设一共有名学生，则图书共有本， 由题意得：， 解得：， 又学生人数为正整数， ， 学生人数为． 【跟踪专练2】用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 题型16.不等式组方案问题 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【跟踪专练1】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【跟踪专练2】一家文具店连续两个月销售两种礼盒，甲礼盒进价80元/套，乙礼盒进价50元/套，下表是这两种礼盒的销售记录： 销售时段 销售数量 销售额 甲礼盒 乙礼盒 第1个月 40套 30套 6200元 第2个月 60套 50套 9600元 (1)甲、乙两种礼盒的销售单价分别为多少元？ (2)该文具店计划用不超过41000元采购两种礼盒共600套，求甲礼盒最多采购多少套？ (3)在（2）的条件下，全部售完后总利润能否超过13200元？若能，写出所有采购方案；若不能，请说明理由．（总利润=总销售额-总进价） 【答案】(1)甲礼盒售价110元，乙礼盒售价60元 (2)366套 (3)答：全部售完后总利润能超过13200元． 理由：单件利润：甲：元，乙：元． ， 解得． 又∵且为整数， ∴，且为整数，共6种采购方案： 甲361套乙239套； 甲362套乙238套； 甲363套乙237套； 甲364套乙236套； 甲365套乙235套； 甲366套乙234套． 【分析】（1）设未知数，根据两个月销售额列出二元一次方程组，解方程组得到两种礼盒售价． （2）设甲采购套，则乙采购套；根据总进价不超过41000元列一元一次不等式，求最大整数解． （3）先算单套利润：甲单件利润元，乙单件利润元；总利润，列不等式利润，结合(2)中、为正整数，求出符合条件的整数，对应方案． 【详解】（1）解：设甲单价元，乙单价元，根据题意，得 ， 解得， 答：甲礼盒售价110元，乙礼盒售价60元． （2）解：设采购甲礼盒套，则乙礼盒套．甲进价80元，乙进价50元，总采购资金： ， ， 解得， 为礼盒套数，取最大正整数， ， 答：甲礼盒最多采购366套． （3）略 题型17.不等式组阶梯收费问题 【典例】某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【跟踪专练2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 题型18.不等式组其他应用 【典例】某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音．已知小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意找出不等关系，列出不等式组即可求解． 【详解】解：两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤， 由题意可得， 解得． 【跟踪专练1】如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序运行两次就停止可得第一次输入，其结果；第二次输入，其结果，据此建立一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意得：第一次输入，其结果；第二次输入，其结果， 即， 解得． 【跟踪专练2】湘绣是国家级非物质文化遗产，为助力乡村产业帮扶，长沙湘绣产业园对口帮扶湘西乡村建设智能刺绣车间，引进，两款专业智能刺绣机器人，批量生产湘绣书签、迷你山水绣片等文旅文创产品．已知一台型刺绣机器人每小时比一台型刺绣机器人多刺绣30件湘绣文创产品；4台型刺绣机器人和2台型刺绣机器人同时工作1小时，一共可刺绣420件湘绣文创产品． (1)求一台型刺绣机器人、一台型刺绣机器人每小时分别可以刺绣多少件湘绣文创产品； (2)随着湖南文旅市场火爆，景区、线上助农直播间订单暴涨，帮扶团队对两款刺绣机器人进行智能化技改升级．升级后，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升．现车间投入生产的型刺绣机器人数量是型刺绣机器人数量的2倍多1台，且所有机器人每小时刺绣总产量不低于1200件，请问该帮扶车间最少需要安排多少台型刺绣机器人投入生产？ 【答案】(1)一台型刺绣机器人每小时能刺绣80件产品，一台型刺绣机器人每小时能刺绣50件产品 (2)该帮扶车间最少需要安排5台型刺绣机器人投入生产 【分析】（1）设每小时一台型刺绣机器人能刺绣件产品，一台型刺绣机器人能刺绣件产品，根据“一台型刺绣机器人每小时比一台型刺绣机器人多刺绣30件湘绣文创产品；4台型刺绣机器人和2台型刺绣机器人同时工作1小时，一共可刺绣420件湘绣文创产品”列方程组求解即可； （2）设该帮扶车间安排台型刺绣机器人投入生产，根据“所有机器人每小时刺绣总产量不低于1200件”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每小时一台型刺绣机器人能刺绣件产品，一台型刺绣机器人能刺绣件产品， 根据题意，得， 解得． 答：一台型刺绣机器人每小时能刺绣80件产品，一台型刺绣机器人每小时能刺绣50件产品． （2）解：设该帮扶车间安排台型刺绣机器人投入生产， 根据题意，得， 解得， 又为非负整数， 最小为5． 答：该帮扶车间最少需要安排5台型刺绣机器人投入生产． 解答题 1．解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，所有正整数解为3，4． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得，即． ∴这个不等式组的解集为． ∴它的所有正整数解为3，4． 2．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 3．解答下列各题 (1)解不等式： (2)解不等式组：，并写出非负整数解． 【答案】(1) (2)，非负整数解为0，1 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的非负整数解为0，1． 4．已知不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求实数的值； (2)若该不等式组无解，求实数的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出a的值； （2）根据（1）所求结合不等式组无解列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ， 解得． （2）解：∵不等式组无解， ， 解得． 5．已知关于x、y的二元一次方程组. (1)若，求的值； (2)若为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察方程组两个方程的特征，因为目标式是，所以可以把两个方程直接相加，得到的表达式，再结合建立关于的方程求解即可； （2）先用含的式子求出，再根据为负数，即，列不等式解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组， ∴得， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解： ①②，得， ∴， ∵为负数， ∴， 解得． 6．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 【答案】(1) (2)租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆 【分析】（1）由甲车数量为非负数，乙车数量为非负数，租车总数不超过5辆，三个不等关系列出不等式组； （2）解出不等式组，并由为非负整数，写出所有情况． 【详解】（1）略 （2） 不等式组的解集为 x为非负整数，，3，4 方案1：甲2辆，乙3辆 方案2：甲3辆，乙1.5辆(舍去，车辆整数) 方案3：甲4辆，乙0辆 可行方案∶租甲车2辆，乙车3辆或租甲车4辆，乙车0辆． 7．用甲、乙两种原料调制成某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格见下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量（单位） 600 100 原料价格（元） 8 4 (1)如果要求这种饮料中至少含有4200单位的维生素C，那么所需甲种原料的质量x（单位：）应满足怎样的不等式？ (2)如果要求调制这种饮料的原料费用不超过72元，那么所需甲种原料的质量x（单位：）又满足怎样的不等式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料，用甲原料的质量乘以维生素C的含量加上乙原料的质量乘以维生素C的含量大于等于4200，即可列出不等式； （2）由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料，用甲原料的质量乘以单价加上乙原料的质量乘以单价小于等于72，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料， 根据题意，得； （2）解：由题意可得这种饮料有甲原料，乙原料， 根据题意，得． 8．为庆祝六一儿童节，某学习用品商店推出两种优惠方案：①购买2个笔记本，赠送1支圆珠笔；②花10元钱办一张会员卡，笔记本和圆珠笔一律按8折优惠．笔记本每个定价5元，圆珠笔每支定价2元，不能同时享受两种优惠．小丽需购买10个笔记本和若干支圆珠笔（不少于5支），选择哪种购买方案费用较少？ 【答案】当购买圆珠笔不少于5支且少于25支时，选择方案①费用较少；当购买25支圆珠笔时，两种方案费用相同；当购买圆珠笔多于25支时，选择方案②费用较少． 【分析】先设购买圆珠笔数量为支，根据两种优惠方案分别列出总费用的表达式，再通过比较两个表达式的大小，分情况即可得到结论． 【详解】解：设小丽购买支圆珠笔，由题意得，且为正整数， 购买10个笔记本，按方案①规则，赠送支圆珠笔，只需对额外的支圆珠笔付费，可得方案①总费用元； 按方案②规则，先付10元卡费，再对所有商品打八折，可得方案②总费用元； 当时，解得，即， ∴当购买圆珠笔不少于5支且少于25支时，选择方案①费用较少； 当时，解得， 当购买25支圆珠笔时，两种方案费用相同； 当时，解得， 当购买圆珠笔多于25支时，选择方案②费用较少． 9．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 10．校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【答案】(1)弯道直径约为米 (2)第2道的起跑线应比第1道前移米 (3)米/秒米/秒 【分析】（1）先设弯道直径为米，则直道为米，再根据题意列出方程，最后解方程即可； （2）先设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米，再根据相邻跑道弯道部分的长度差，进行计算即可； （3）根据追及问题的时间关系，结合接力区的限制条件，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设弯道直径为米，则直道为米， 由题意得，， 解得，． 结果保留整数， ． 答：弯道直径约为米． （2）解：设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米， 第2道比第1道多跑的距离为：（米） 答：第2道的起跑线应比第1道前移米． （3）解：设乙的恒定速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 乙加速跑10米所用的时间为：（秒）， 设乙追上甲时，乙在匀速阶段跑了米， 则乙的总路程为米，总时间为（秒）， 甲的总路程为米，总时间为（秒）， 根据时间相等，得， 整理得，， ． 要保证在传接棒区（米至米）内完成交接， ， 解得，． 答：乙的恒定速度的取值范围是米/秒米/秒． 11．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 12．某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． (1)求，两种商品每件进价各为多少元． (2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)商品的进价是100元/件，商品的进价是60元/件 (2)购进商品的件数最多为20件 【分析】（1）设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件，根据“购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元”列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设购进件A商品，则购进件B商品，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【详解】（1）解：设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件． 根据题意， 解得， 故A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件； （2）解：设购进件A商品，则购进件B商品， 根据题意得， 解得， 的最大值为20． 故购进A商品的件数最多为20件． 13．为筹备校园社团文化展，学校社团需要采购A款文具套装20套，B款定制水杯30个，共花费2100元．已知B款水杯的单价比A款文具套装的单价高20元． (1)求A、B两款产品的单价各是多少元？ (2)根据需求，社团决定再次购进A、B两款产品共50个．恰逢商家促销活动：A款文具套装单价优惠5元，B款水杯单价打8折．如果此次采购总费用不超过1550元，且购买B款水杯不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为了节约资金，社团应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)A款文具套装的单价是30元，B款定制水杯的单价是50元 (2)3种 (3)解：为了节约资金，社团应该选择购买A款文具套装32套，购买B款定制水杯18个．理由如下： 由（2）知3种购买方案及总购买资金分别为 方案一：购买A款文具套装30套，则购买B款定制水杯20个，购买资金为（元）； 方案二：购买A款文具套装31套，则购买B款定制水杯19个，购买资金为（元）； 方案三：购买A款文具套装32套，则购买B款定制水杯18个，购买资金为（元）； ∵，    ∴为了节约资金，社团应该选择方案三：购买A款文具套装32套，购买B款定制水杯18个． 【分析】（1）设A款文具套装的单价是x元，B款定制水杯的单价是y元，根据题意列二元一次方程组即可解答； （2）设购买A款文具套装m套，则购买B款定制水杯个，根据题意列一元一次不等式组即可解答； （3）根据题意计算购买资金，比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设A款文具套装的单价是x元，B款定制水杯的单价是y元， 根据题意得， 解得， 答：A款文具套装的单价是30元，B款定制水杯的单价是50元； （2）解：设购买A款文具套装m套，则购买B款定制水杯个， 根据题意，得， 解得，即， 又∵m为整数， ∴m的值为30，31，32， ∴共有3种购买方案； （3）略 14．为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 【答案】(1)智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元 (2)最多可以采购23台智能学习平板 【分析】（1）设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元，根据表格数据建立方程组，解方程组即可； （2）设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机，根据题意建立不等式组，解不等式组，结合为正整数解答即可． 【详解】（1）解：设智能学习平板的单价为元，迷你错题打印机的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：智能学习平板的单价为1600元，迷你错题打印机的单价为180元． （2）解：设采购台智能学习平板，则采购台迷你错题打印机， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为23， 答：最多可以采购23台智能学习平板． 15．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)“五一劳动节”前夕，该公司用不超过万元购进两型汽车各若干辆，其中型汽车与型汽车共辆，请你通过计算，求出共有几种购买方案； (3)已知销售每辆型车可以获利万元，为打开型汽车的销路，该公司决定每辆型汽车降价万元，每辆型车原来获利万元，要使中所有方案获利相同，则的值为__________． 【答案】(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元； (2) (3) 【分析】设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意得，然后解方程组即可； 设购进型汽车辆，则购进型汽车辆，根据题意得，解得，又和都是正整数，则，求得，且为正整数，从而得解； 设总获利为万元，根据题意得，整理得，要使所有方案获利相同，则的取值与无关，得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意得， 解得， 答：型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，则购进型汽车辆， 根据题意得， 解得， ∵和都是正整数， ∴， ∴， ∴，且为正整数， ∴可取，共个符合条件的值， 答：共有种购买方案； （3）解：设总获利为万元， 根据题意得， 整理得， 要使所有方案获利相同，则的取值与无关， 因此的系数为，即， 解得， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一元一次不等式应用及不等式组暑假预习讲义 · 回顾列方程解应用题思路，分清等量关系与不等关系，掌握一元一次不等式应用题完整解题步骤：审题、设未知数、挖掘不等关系、列不等式、求解、结合实际筛选合理取值、规范作答。 · 准确识别 “至少、至多、不超过、不少于、不足、超过” 等关键词，对应正确不等号，能从分配、利润、行程、几何、限额计分等实际场景列出一元一次不等式。 · 解完不等式后结合实际意义取值，懂得人数、物品数量等变量需取正整数，会根据解集求最多、最少类最值，看懂基础方案选择题型。 · 掌握一元一次不等式组定义，能辨别是否为不等式组（同一个未知数、多个一元一次不等式）；理解不等式组解集是各个不等式解集的公共部分。 · 熟练解不等式组：分别求解每个不等式，在同一数轴画出解集，借助数轴找出公共区间，能准确判断不等式组有解或无解。 · 会求不等式组的整数、正整数、非负整数解，能根据不等式组的解集反向求解简单参数取值范围。 · 遇到多重限制条件的问题，会列出不等式组建模，区分单一不等关系用一元一次不等式、多重不等约束用不等式组。 · 建立数形结合思想，利用数轴辅助分析解集、整数解与参数问题，梳理高频易错点：不等号写反、忽略实际整数限制、数轴虚实圆点画错、不会找公共解集、混淆方程与不等式建模逻辑，标记疑难题型课堂重点突破。 预习必备 知识梳理 1.一元一次不等式的应用 2.不等式组相关概念 3.解不等式组标准步骤 4.四大解集模型 5.含参数的不等式组 6.不等式组解决实际问题 常考题型 精讲精练 1列一元一次不等式组. 2.用不等式解决实际问题 3.用不等式解决几何问题 4..一元一次不等式组的定义 5.求不等组的解集 6.解特殊不等式组 7.求不等式组整数解 8.由不等式组解集求参数 9.由不等式组解集的情况求参数 10.不等式组和方程组结合问题 11.列一元一次不等式组 12.不等式组行程问题 13.不等式组工程问题 14.不等式组经济问题 15.不等式组分配问题 16.不等式组方案问题 17.不等式组阶梯收费问题 18.不等式组其他应用 强化题型 解答题15题 知识点01：一元一次不等式的应用 1.解题通用步骤（7 步） 审：读懂题意，分清已知量、未知量，找出描述不等关系的关键词； 设：设未知数，一般直接设所求量； 找：梳理不等关系（核心步骤，区别于方程的等量关系）； 列：根据不等关系列出一元一次不等式； 解：解一元一次不等式，求出解集； 验：结合实际意义筛选符合条件的解（人数、物品、车辆等只能取正整数，长度、重量为正数）； 答：规范写出完整答句。 2.常见关键词与对应不等号 不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 不等于 表示两个量不相等，但无法确定谁大谁小，只说明二者存在差异 “＜” 小于 表示左边的量严格小于右边的量，不包含相等的情况 “＞” 大于 表示左边的量严格大于右边的量，不包含相等的情况 “≤” 小于或等于 即 “不大于”，表示左边的量小于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 “≥” 大于或等于 即 “不小于”，表示左边的量大于右边，或与右边相等，两种情况满足其一即可 知识点02：一元一次不等式组相关概念 1.一元一次不等式组定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 判定三要素：①只一个未知数；②未知数次数为 1；③左右两边整式；④多个不等式联立。 2.不等式组的解集 组成不等式组的所有不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；没有公共部分则不等式组无解。 3.解不等式组：求不等式组解集的全过程。 知识点03：解不等式组标准步骤 1.分别解组内每一个一元一次不等式，写出各自解集； 2.在同一条数轴上画出两个（多个）解集； 3.观察数轴，找出重叠的公共区域； 4.写出不等式组最终解集； 5.按需找出整数解、正整数解等。 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05：含参数的不等式组（重难点） 题型：已知不等式组有解 / 无解、整数解个数，求参数取值范围； 解题思路： 1 不含参数的不等式先求解； 2 结合数轴，对比参数分界点； 3 重点判断分界点是否取等号（空心 / 实心）； 核心技巧：借助数轴数形结合，避免漏等、多解。 知识点06:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点07:高频易错汇总 1.系数化为 1、去分母时乘负数，忘记变号； 2.去分母漏乘不含分母的常数项； 3.数轴实心、空心混用，画线方向出错； 4.应用题关键词看错，不等号选用错误； 5.参数题型端点等号判断出错； 6.实际问题忽略未知数为正整数。 题型1列一元一次不等式组. 【典例】“a与b的差小于3．”用不等式表示其数量关系是：_______． 【跟踪专练1】根据图中对话内容，选择恰当的选项（     ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】某次知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错一道题扣1分，不答题不得分．在这次竞赛中，小海有两道题没有作答，若希望取得不低于80分的成绩，小海至少要答对几道题？设小海答对了道题，那么由题意可列不等式为________． 【跟踪专练3】某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不超过总土地面积的．求的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 题型2.用不等式解决实际问题 【典例】某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省30元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为x个月，则可列不等式为_______．（不必化简） 【跟踪专练1】某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得5分，答错或不答都扣3分．小明得分要超过70分，他至少要答对多少道题？设小明答对了道题，则根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想到A站乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为（如图所示）．已知小明步行的速度为，公交车的速度是小明步行速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为________m． 【跟踪专练3】受《乌鸦喝水》故事的启发，小官设计了利用量筒估算小球体积的实验．如图，估计量筒中有水溢出时，量筒内相同体积的小球个数至少是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型3.用不等式解决几何问题 【典例】若一个角不大于其补角，那么这个角最大为___________． 【跟踪专练1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】长方形的周长小于，长与宽都是质数，且长与宽的和是奇数，则该长方形的面积是________． 【跟踪专练3】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型4..一元一次不等式组的定义 【典例】我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【跟踪专练1】下列是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5.求不等组的解集 【典例】请写出满足不等式组的一个解______． 【跟踪专练1】若不等式组的解集是，则不等式②可以是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我们知道：若，则或．那么不等式的解集是________． 【跟踪专练3】若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型6.解特殊不等式组 【典例】若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是_____． 【跟踪专练1】已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【跟踪专练2】定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型7.求不等式组整数解 【典例】若x为整数，且x满足，则x的值可以为______．（写出一个即可） 【跟踪专练1】不等式组的最小整数解是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的所有整数解的和为__________． 【跟踪专练3】若关于的一元一次不等式组有2个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型8.由不等式组解集求参数 【典例】若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【跟踪专练3】若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是（     ） A．25 B．26 C．27 D．28 题型9.由不等式组解集的情况求参数 【典例】已知关于的不等式组有解，则的取值范围为____． 【跟踪专练1】若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若不等式组无解，则的取值范围为______． 【跟踪专练3】如果不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型10.不等式组和方程组结合问题 【典例】已知方程组的解x、y都是负数，则a的取值范围是______． 【跟踪专练1】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】已知方程组的解满足，则m的取值范围为___________． 【跟踪专练3】若方程组的解x，y满足，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11.列一元一次不等式组 【典例】“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【跟踪专练1】若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 题型12.不等式组行程问题 【典例】某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 【跟踪专练1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【跟踪专练2】小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【跟踪专练3】．在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 题型13.不等式组工程问题 【典例】习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【跟踪专练1】2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【跟踪专练2】为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 题型14.不等式组经济问题 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【跟踪专练2】某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示． 类型 进价（单位：万元/辆） 售价（单位：万元/辆） A型 27 27.8 B型 24.4 25.8 (1)若该公司购买A，B这两种型号汽车共支付514万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？ (2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不少于20.5万元又不多于21.7万元，该公司有哪几种购车方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 题型15.不等式组分配问题 【典例】把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【跟踪专练1】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分本，则多本；若每人分本，则最后一人分到了书但不到本书．共有________学生． 【跟踪专练2】用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 题型16.不等式组方案问题 【典例】学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【跟踪专练2】一家文具店连续两个月销售两种礼盒，甲礼盒进价80元/套，乙礼盒进价50元/套，下表是这两种礼盒的销售记录： 销售时段 销售数量 销售额 甲礼盒 乙礼盒 第1个月 40套 30套 6200元 第2个月 60套 50套 9600元 (1)甲、乙两种礼盒的销售单价分别为多少元？ (2)该文具店计划用不超过41000元采购两种礼盒共600套，求甲礼盒最多采购多少套？ (3)在（2）的条件下，全部售完后总利润能否超过13200元？若能，写出所有采购方案；若不能，请说明理由．（总利润=总销售额-总进价） 题型17.不等式组阶梯收费问题 【典例】某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【跟踪专练1】某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 题型18.不等式组其他应用 【典例】某电梯乘载的重量超过300公斤时会响起警示音．已知小华、小欧的体重分别为45公斤、70公斤．小华、小欧依序最后进入电梯，小华走进后，警示音没响，小欧走进后，警示音响起．设两人没进入电梯前已乘载的重量为x公斤，则x的取值范围是_________． 【跟踪专练1】如图，七年级（1）班数学学习兴趣小组的同学们设计了一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】湘绣是国家级非物质文化遗产，为助力乡村产业帮扶，长沙湘绣产业园对口帮扶湘西乡村建设智能刺绣车间，引进，两款专业智能刺绣机器人，批量生产湘绣书签、迷你山水绣片等文旅文创产品．已知一台型刺绣机器人每小时比一台型刺绣机器人多刺绣30件湘绣文创产品；4台型刺绣机器人和2台型刺绣机器人同时工作1小时，一共可刺绣420件湘绣文创产品． (1)求一台型刺绣机器人、一台型刺绣机器人每小时分别可以刺绣多少件湘绣文创产品； (2)随着湖南文旅市场火爆，景区、线上助农直播间订单暴涨，帮扶团队对两款刺绣机器人进行智能化技改升级．升级后，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升．现车间投入生产的型刺绣机器人数量是型刺绣机器人数量的2倍多1台，且所有机器人每小时刺绣总产量不低于1200件，请问该帮扶车间最少需要安排多少台型刺绣机器人投入生产？ 解答题 1．解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 2．阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 3．解答下列各题 (1)解不等式： (2)解不等式组：，并写出非负整数解． 4．已知不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求实数的值； (2)若该不等式组无解，求实数的取值范围． 5．已知关于x、y的二元一次方程组. (1)若，求的值； (2)若为负数，求的取值范围． 6．班级组织研学，现有甲、乙两种客车：甲车载客30人，乙车载客20人．全班共120人，计划租车总数不超过5辆，全部坐满无空位． (1)设租甲车x辆，列出符合题意的不等式组； (2)求出所有可行租车方案． 7．用甲、乙两种原料调制成某种饮料，这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格见下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量（单位） 600 100 原料价格（元） 8 4 (1)如果要求这种饮料中至少含有4200单位的维生素C，那么所需甲种原料的质量x（单位：）应满足怎样的不等式？ (2)如果要求调制这种饮料的原料费用不超过72元，那么所需甲种原料的质量x（单位：）又满足怎样的不等式？ 8．为庆祝六一儿童节，某学习用品商店推出两种优惠方案：①购买2个笔记本，赠送1支圆珠笔；②花10元钱办一张会员卡，笔记本和圆珠笔一律按8折优惠．笔记本每个定价5元，圆珠笔每支定价2元，不能同时享受两种优惠．小丽需购买10个笔记本和若干支圆珠笔（不少于5支），选择哪种购买方案费用较少？ 9．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 10．校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 11．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 12．某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． (1)求，两种商品每件进价各为多少元． (2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 13．为筹备校园社团文化展，学校社团需要采购A款文具套装20套，B款定制水杯30个，共花费2100元．已知B款水杯的单价比A款文具套装的单价高20元． (1)求A、B两款产品的单价各是多少元？ (2)根据需求，社团决定再次购进A、B两款产品共50个．恰逢商家促销活动：A款文具套装单价优惠5元，B款水杯单价打8折．如果此次采购总费用不超过1550元，且购买B款水杯不少于18个，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，为了节约资金，社团应选择哪种方案？请说明理由． 14．为建设数字化智慧教室，某校总务处计划批量采购智能学习平板与迷你错题打印机两款现代科技学习设备，用于各班自习室配备．商家给出两次批量采购的报价明细固定不变，两次采购数量、对应总费用统计如下表 采购批次 智能学习平板（台） 迷你错题打印机（台） 本次采购总费用（元） 第一批采购 2 3 3740 第二批采购 5 2 8360 (1)请求出智能学习平板、迷你错题打印机的单价分别为多少元？ (2)学校第三批采购计划一次性采购两种设备总数一共40台，财务处规定采购迷你错题打印机数量不能少于15台，且本次所有设备总花费不能超过40000元．求最多可以采购多少台智能学习平板？ 15．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)“五一劳动节”前夕，该公司用不超过万元购进两型汽车各若干辆，其中型汽车与型汽车共辆，请你通过计算，求出共有几种购买方案； (3)已知销售每辆型车可以获利万元，为打开型汽车的销路，该公司决定每辆型汽车降价万元，每辆型车原来获利万元，要使中所有方案获利相同，则的值为__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $